Как называется часть логарифма

Что такое логарифм

Логарифмы всегда считались сложной темой в школьном курсе математики. Существует много разных определений логарифма, но большинство учебников почему-то используют самые сложные и неудачные из них.

Мы же определим логарифм просто и наглядно. Для этого составим таблицу:

2 1 2 2 2 3 2 4 2 5 2 6
2 4 8 16 32 64

Итак, перед нами степени двойки. Если взять число из нижней строчки, то можно легко найти степень, в которую придется возвести двойку, чтобы получилось это число. Например, чтобы получить 16, надо два возвести в четвертую степень. А чтобы получить 64, надо два возвести в шестую степень. Это видно из таблицы.

А теперь — собственно, определение логарифма:

по основанию a от аргумента x — это степень, в которую надо возвести число a , чтобы получить число x .

Обозначение: log a x = b , где a — основание, x — аргумент, b — собственно, чему равен логарифм.

Например, 2 3 = 8 ? log2 8 = 3 (логарифм по основанию 2 от числа 8 равен трем, поскольку 2 3 = 8). С тем же успехом log2 64 = 6, поскольку 2 6 = 64.

Операцию нахождения логарифма числа по заданному основанию называют . Итак, дополним нашу таблицу новой строкой:

2 1 2 2 2 3 2 4 2 5 2 6
2 4 8 16 32 64
log2 2 = 1 log2 4 = 2 log2 8 = 3 log2 16 = 4 log2 32 = 5 log2 64 = 6

К сожалению, далеко не все логарифмы считаются так легко. Например, попробуйте найти log2 5. Числа 5 нет в таблице, но логика подсказывает, что логарифм будет лежать где-то на отрезке [2; 3]. Потому что 2 2 3 , а чем больше степень двойки, тем больше получится число.

Если взять калькулятор и посчитать, чему равны такие логарифмы, то получатся очень длинные числа. Взгляните сами:
log2 5 = 2,32192809.
log3 8 = 1,89278926.
log5 100 = 2,86135311.

Такие числа называются иррациональными: цифры после запятой можно писать до бесконечности, и они никогда не повторяются. Если логарифм получается иррациональным, его лучше так и оставить: log2 5, log3 8, log5 100.

Важно понимать, что логарифм — это выражение с двумя переменными (основание и аргумент). Многие на первых порах путают, где находится основание, а где — аргумент. Чтобы избежать досадных недоразумений, просто взгляните на картинку:

[Подпись к рисунку]

Перед нами — не что иное как определение логарифма. Вспомните: логарифм — это степень, в которую надо возвести основание, чтобы получить аргумент. Именно основание возводится в степень — на картинке оно выделено красным. Получается, что основание всегда находится внизу! Это замечательное правило я рассказываю своим ученикам на первом же занятии — и никакой путаницы не возникает.

Как считать логарифмы

С определением разобрались — осталось научиться считать логарифмы, т.е. избавляться от знака «log». Для начала отметим, что из определения следует два важных факта:

  1. Аргумент и основание всегда должны быть больше нуля. Это следует из определения степени рациональным показателем, к которому сводится определение логарифма.
  2. Основание должно быть отличным от единицы, поскольку единица в любой степени все равно остается единицей. Из-за этого вопрос «в какую степень надо возвести единицу, чтобы получить двойку» лишен смысла. Нет такой степени!
  3. Такие ограничения называются областью допустимых значений (ОДЗ). Получается, что ОДЗ логарифма выглядит так: log a x = b ? x > 0, a > 0, a ? 1.

    Заметьте, что никаких ограничений на число b (значение логарифма) не накладывается. Например, логарифм вполне может быть отрицательным: log2 0,5 = ?1, т.к. 0,5 = 2 ?1 .

    Впрочем, сейчас мы рассматриваем лишь числовые выражения, где знать ОДЗ логарифма не требуется. Все ограничения уже учтены составителями задач. Но когда пойдут логарифмические уравнения и неравенства, требования ОДЗ станут обязательными. Ведь в основании и аргументе могут стоять весьма неслабые конструкции, которые совсем необязательно соответствуют приведенным выше ограничениям.

    Теперь рассмотрим общую схему вычисления логарифмов. Она состоит из трех шагов:

  4. Представить основание a и аргумент x в виде степени с минимально возможным основанием, большим единицы. Попутно лучше избавиться от десятичных дробей;
  5. Решить относительно переменной b уравнение: x = a b ;
  6. Полученное число b будет ответом.
  7. Вот и все! Если логарифм окажется иррациональным, это будет видно уже на первом шаге. Требование, чтобы основание было больше единицы, весьма актуально: это снижает вероятность ошибки и значительно упрощает выкладки. Аналогично с десятичными дробями: если сразу перевести их в обычные, ошибок будет в разы меньше.

    Посмотрим, как работает эта схема на конкретных примерах:

  8. Представим основание и аргумент как степень пятерки: 5 = 5 1 ; 25 = 5 2 ;
  9. Составим и решим уравнение:
    log5 25 = b ? (5 1 ) b = 5 2 ? 5 b = 5 2 ? b = 2;
  10. Получили ответ: 2.
  11. [Подпись к рисунку]

  12. Представим основание и аргумент как степень тройки: 3 = 3 1 ; 1/81 = 81 ?1 = (3 4 ) ?1 = 3 ?4 ;
  13. Составим и решим уравнение: [Подпись к рисунку]
  14. Получили ответ: ?4.
  15. Представим основание и аргумент как степень двойки: 4 = 2 2 ; 64 = 2 6 ;
  16. Составим и решим уравнение:
    log4 64 = b ? (2 2 ) b = 2 6 ? 2 2 b = 2 6 ? 2 b = 6 ? b = 3;
  17. Получили ответ: 3.
  • Представим основание и аргумент как степень двойки: 16 = 2 4 ; 1 = 2 0 ;
  • Составим и решим уравнение:
    log16 1 = b ? (2 4 ) b = 2 0 ? 2 4 b = 2 0 ? 4 b = 0 ? b = 0;
  • Получили ответ: 0.
  • Представим основание и аргумент как степень семерки: 7 = 7 1 ; 14 в виде степени семерки не представляется, поскольку 7 1 2 ;
  • Из предыдущего пункта следует, что логарифм не считается;
  • Ответ — без изменений: log7 14.
  • Небольшое замечание к последнему примеру. Как убедиться, что число не является точной степенью другого числа? Очень просто — достаточно разложить его на простые множители. И если такие множители нельзя собрать в степени с одинаковыми показателями, то и исходное число не является точной степенью.

    Задача. Выясните, являются ли точными степенями числа: 8; 48; 81; 35; 14.

    8 = 2 · 2 · 2 = 2 3 — точная степень, т.к. множитель всего один;
    48 = 6 · 8 = 3 · 2 · 2 · 2 · 2 = 3 · 2 4 — не является точной степенью, поскольку есть два множителя: 3 и 2;
    81 = 9 · 9 = 3 · 3 · 3 · 3 = 3 4 — точная степень;
    35 = 7 · 5 — снова не является точной степенью;
    14 = 7 · 2 — опять не точная степень;

    Заметим также, что сами простые числа всегда являются точными степенями самих себя.

    Десятичный логарифм

    Некоторые логарифмы встречаются настолько часто, что имеют специальное название и обозначение.

    от аргумента x — это логарифм по основанию 10, т.е. степень, в которую надо возвести число 10, чтобы получить число x . Обозначение: lg x .

    Например, lg 10 = 1; lg 100 = 2; lg 1000 = 3 — и т.д.

    Отныне, когда в учебнике встречается фраза типа «Найдите lg 0,01», знайте: это не опечатка. Это десятичный логарифм. Впрочем, если вам непривычно такое обозначение, его всегда можно переписать:
    lg x = log10 x

    Все, что верно для обычных логарифмов, верно и для десятичных.

    Натуральный логарифм

    Существует еще один логарифм, который имеет собственное обозначение. В некотором смысле, он даже более важен, чем десятичный. Речь идет о натуральном логарифме.

    от аргумента x — это логарифм по основанию e , т.е. степень, в которую надо возвести число e , чтобы получить число x . Обозначение: ln x .

    Многие спросят: что еще за число e ? Это иррациональное число, его точное значение найти и записать невозможно. Приведу лишь первые его цифры:
    e = 2,718281828459.

    Не будем углубляться, что это за число и зачем нужно. Просто помните, что e — основание натурального логарифма:
    ln x = log e x

    Таким образом, ln e = 1; ln e 2 = 2; ln e 16 = 16 — и т.д. С другой стороны, ln 2 — иррациональное число. Вообще, натуральный логарифм любого рационального числа иррационален. Кроме, разумеется, единицы: ln 1 = 0.

    Для натуральных логарифмов справедливы все правила, которые верны для обычных логарифмов.

    Определение логарифма

    Логарифмом числа b по основанию а называется показатель степени, в которую нужно возвести а , чтобы получить b .

    Десятичные логарифмы (логарифмы по основанию 10) обозначаются как
    Натуральные логарифмы (логарифмы по основанию е ) обозначаются как

    Числом е в математике принято обозначать предел, к которому стремиться выражение

    Число е является иррациональным числом — числом, несоизмеримым с единицей, оно не может быть точно выраженным ни целым ни дробным рациональным числом.

    Буква е — первая буква латинского слова exponere — выставлять напоказ, отсюда в математике название экспоненциальная — показательная функция.

    Число е широко применяется в математике, и во всех науках, так или иначе применяющих для своих нужд математические расчеты.

    Логарифмы

    Логарифм . Основное логарифмическое тождество .

    Свойства логарифмов. Десятичный логарифм . Натуральный логарифм.

    Логарифмом положительного числа N по основанию ( b > 0, b 1 ) называется показатель степени x , в которую нужно возвести b , чтобы получить N .

    Эта запись равнозначна следующей: b x = N .

    П р и м е р ы : log3 81 = 4 , так как 3 4 = 81 ;

    log1/3 27 = 3 , так как ( 1/3 ) — 3 = 3 3 = 27 .

    Вышеприведенное определение логарифма можно записать в виде тождества:

    Основные свойства логарифмов.

    2) log 1 = 0 , так как b 0 = 1 .

    3) Логарифм произведения равен сумме логарифмов сомножителей:

    4) Логарифм частного равен разности логарифмов делимого и делителя:

    5) Логарифм степени равен произведению показателя степени на логарифм её основания:

    Следствием этого свойства является следующее: логарифм корня равен логарифму подкоренного числа, делённому на степень корня:

    6) Если в основании логарифма находится степень, то величину, обратную показателю степени, можно вынести за знак лога рифма:

    Два последних свойства можно объединить в одно:

    7) Формула модуля перехода ( т. e . перехода от одного основания логарифма к другому основанию ):

    В частном случае при N = a имеем:

    Десятичным логарифмом называется логарифм по основанию 10. Он обозначается lg , т.е. log 10 N = lg N . Логарифмы чисел 10, 100, 1000, . p авны соответственно 1, 2, 3, …, т.е. имеют столько положительных

    единиц, сколько нулей стоит в логарифмируемом числе после единицы. Логарифмы чисел 0.1, 0.01, 0.001, . p авны соответственно –1, –2, –3, …, т.е. имеют столько отрицательных единиц, сколько нулей стоит в логарифмируемом числе перед единицей ( считая и нуль целых ). Логарифмы остальных чисел имеют дробную часть, называемую мантиссой. Целая часть логарифма называется характеристикой. Для практического при менения десятичные логарифмы наиболее удобны.

    Натуральным логарифмом называется логарифм по основанию е . Он обозначается ln , т.е. log e N = ln N . Число е является иррациональным, его приближённое значение 2.718281828. Оно является пределом, к которому стремится число ( 1 + 1 / n ) n при неограниченном возрастании n ( см. первый замечательный предел на странице «Пределы числовых последовательностей»).
    Как это ни покажется странным, натуральные логарифмы оказались очень удобными при проведении различного рода операций, связанных с анализом функций. Вычисление логарифмов по основанию е осуществляется гораздо быстрее, чем по любому другому основанию.

    Copyright © 2004 — 2007 Др. Юрий Беренгард. All rights reserved.

    Свойства логарифмов и примеры их решений. Исчерпывающий гид (2020)

    Хочешь подготовиться к ОГЭ или ЕГЭ по математике на отлично?

    Хочешь проверить свои силы и узнать результат насколько ты готов к ЕГЭ или ОГЭ?

    Важное замечание!
    Если вместо формул ты видишь абракадабру, почисти кэш. Как это сделать в твоем браузере написано здесь: «Как почистить кэш браузера».

    Как научиться решать логарифмы?

    Объясним все человеческим языком. Логарифмы – ОЧЕНЬ простая тема.

    Чтобы понять как их решать – нужно: разобраться со свойствами логарифма и понимать что как называется, понимать разницу между видами логарифмов (десятичными и натуральными).

    Ну и уметь возводить число в степень, знать таблицу умножения (а это ты точно умеешь).

    Все. Больше ничего не нужно.

    Прочитай эту статью, обязательно реши примеры и решение логарифмов навсегда станет для тебя задачкой easy-peasy lemon squeezy — очень легкой 🙂

    Что такое логарифм?

    Для начинающих объясним все человеческим языком. Логарифмы – очень простая тема. Чтобы понять как их решать – нужно всего лишь разобраться что как называется, знать таблицу умножения и уметь возводить в число в степень. Все. Больше ничего не нужно.

    Начнем с простого. Как решить уравнение ?

    Очень легко – просто ответь на вопрос в какую степень нужно возвести число чтобы получить ? Решаем методом подбора: два в первой степени – нет, два во второй степени – нет, два в третей степени – ДА! Двойку нужно возвести в ТРЕТЬЮ степень, чтобы получить восемь ( ) и значит решением уравнения будет число три ( ).

    Следующий вопрос. Как решить уравнение ?

    Опять просто ответь на вопрос в какую степень нужно возвести число , чтобы получить число ? Попытаемся подобрать: два во второй степени равно четыре – мало, два в третьей степени равно восемь – много. Метод подбора сразу ответ не дает… Да и вообще, в этом случае подобрать решение не получится – ведь это не только нецелое число, это число даже не рациональное. Для нахождения таких решений было придумано понятие логарифм: . В общем виде он записывается так:

    То есть логарифм – это степень, в которую нужно возвести основание , чтобы получить аргумент .

    Вернёмся к . Если ты посчитаешь на калькуляторе, то получишь и т.д. Это число иррациональное. Оно мало того, что не подбирается, оно еще и не кончается…

    Ну и как с такими числами работать? Как их запоминать? Как их записывать?

    В нашем случае решение уравнения можно записать как или как .

    Согласись второе выражение гораздо удобнее, чем первое. И оно, кстати, абсолютно точное.
    Словами это произносится как: «Решением уравнения два в степени икс равно пяти является логарифм пяти по основанию два, или логарифм по основанию два от пяти».

    Кстати, а ты заметил что и у степени числа и у логарифма основание всегда находится «ВНИЗУ». Легко запомнить правда? А вот «вверху», у степени находится ее показатель, а у логарифма – аргумент.

    Выражение можно также записать в виде . Читается так: «Логарифм восьми по основанию два равен трем» или «Логарифм по основанию два от восьми равен трем».

    Теперь более общая запись:

    Читается так: «Логарифм по основанию от равен », и означает: «Чтобы получить число , нужно число возвести в степень »:

    Иными словами, – это степень, в которую нужно возвести , чтобы получить .

    Примеры вычисления логарифмов

    1. , так как число нужно возвести во вторую степень, чтобы получить .
    2. Чему равен ? Заметим, что , тогда , то есть нужно возвести в степень , чтобы получить .
    3. А чему равен ? Обращать внимание нужно, в первую очередь, на основание. Возможно ли представить как в какой-то степени? Да, возможно: запишем это число в виде обычной дроби: . Значит, .
    4. Еще пример. Чему равен ? В какую степень надо возвести , чтобы получить ? Вспоминаем, что любое число в нулевой степени равно (подробнее читай в разделе «Степень и ее свойства»). Значит, . Более того, логарифм с любым основанием от единицы равен .
    5. . В этом случае аргумент равен корню основания: . Но мы помним, что корень тоже можно представить в виде степени (с дробным показателем): .
    6. Попробуй найти следующие логарифмы самостоятельно:

      Десятичные логарифмы

      Логарифм по основанию называется десятичным логарифмом и записывается упрощенно: вместо , например:

      Когда нужная степень не подбирается

      Как я уже говорил, далеко не всегда удается подобрать такую степень. Но это не значит, что такого числа не существует, просто его можно вычислить только на калькуляторе.

      Например, . Видим, что это число расположено между и , и это понятно: ведь это значит, чтобы получить , нужно возводить в степень больше , но меньше .

      На ЕГЭ пользоваться калькулятором нельзя, но даже если бы было можно, нельзя записывать приближенные вычисления. Поэтому, если перед нами задача первой части, ответ обязательно должен получиться «хороший», и его можно посчитать в уме. В письменной части могут попасться и «плохие» числа; в этом случае пугаться не нужно, в ответе можно просто написать логарифм. Например, ответ вполне может выглядеть так: , или даже так: .

      Получается, что теперь мы можем мнгновенно записать решение любого элементарного показательного уравнения:

      Но увлекаться и халтурить тоже не стоит – если в ответе оставить , высший балл за задачу не поставят. То есть, если ответ возможно упростить и представить в виде рационального числа, это обязательно нужно будет сделать. Потренируйся на следующих простых примерах:

      ОДЗ логарифма

      Теперь поговорим об ограничениях (ОДЗ – область допустимых значений переменных).

      Мы помним, что, например, квадратный корень нельзя извлекать из отрицательных чисел; или если у нас дробь, то знаменатель не может быть равен нулю. Подобные ограничения есть и у логарифмов:

      То есть и аргумент, и основание должны быть больше нуля, а основание еще и не может равняться . Почему так?

      Начнем с простого: допустим, что . Тогда, например, число не существует, так как в какую бы степень мы не возводили , всегда получается . Более того, не существует ни для какого . Но при этом может равняться чему угодно (по той же причине – в любой степени равно ). Поэтому объект не представляет никакого интереса, и его просто выбросили из математики.

      Похожая проблема у нас и в случае : в любой положительной степени – это , а в отрицательную его вообще нельзя возводить, так как получится деление на ноль (напомню, что ).

      При мы столкнемся с проблемой возведения в дробную степень (которая представляется в виде корня: . Например, (то есть ), а вот не существует.

      Поэтому и отрицательные основания проще выбросить, чем возиться с ними.

      Ну а поскольку основание a у нас бывает только положительное, то в какую бы степень мы его ни возводили, всегда получим число строго положительное. Значит, аргумент должен быть положительным. Например, не существует, так как ни в какой степени не будет отрицательным числом (и даже нулем, поэтому тоже не существует).

      В задачах с логарифмами первым делом нужно записать ОДЗ. Приведу пример:

      Вспомним определение: логарифм – это степень, в которую надо возвести основание , чтобы получить аргумент . И по условию, эта степень равна : .

      Получаем обычное квадратное уравнение: . Решим его с помощью теоремы Виета: сумма корней равна , а произведение . Легко подобрать, это числа и .

      Но если сразу взять и записать оба этих числа в ответе, можно получить 0 баллов за задачу. Почему? Давайте подумаем, что будет, если подставить эти корни в начальное уравнение?

      – это явно неверно, так как основание не может быть отрицательным, то есть корень – «сторонний».

      Чтобы избежать таких неприятных подвохов, нужно записать ОДЗ еще до начала решения уравнения:

      Тогда, получив корни и , сразу отбросим корень , и напишем правильный ответ.

      Пример 1 (попробуй решить самостоятельно):

      Найдите корень уравнения . Если корней несколько, в ответе укажите меньший из них.

      Основное логарифмическое тождество

      Вспомним определение логарифма в общем виде:

      Подставим во второе равенство вместо логарифм:

      Это равенство называется основным логарифмическим тождеством. Хотя по сути это равенство – просто по-другому записанное определение логарифма:

      – это степень, в которую нужно возвести , чтобы получить .

      Реши еще следующие примеры:

      Пример 2.

      Решение:

      Пример 3.

      Свойства логарифмов

      К сожалению, задачи не всегда такие простые – зачастую сперва нужно упростить выражение, привести его к привычному виду, и только потом будет возможно посчитать значение. Это проще всего сделать, зная свойства логарифмов. Так что давай выучим основные свойства логарифмов. Каждое из них я буду доказывать, ведь любое правило проще запомнить, если знать, откуда оно берется.

      Все эти свойства нужно обязательно запомнить, без них большинство задач с логарифмами решить не получится.

      0,\text< >\ne \text <1>\right)\text< >\Rightarrow \text< >8.\text< ><<\log >_>b=\frac<1><<<\log >_>a>,\text< >\left( b\ne 1 \right).\end«>

      А теперь обо всех свойствах логарифмов подробнее.

      Свойство 1:

      Свойство 2: Сумма логарифмов

      Сумма логарифмов с одинаковыми основаниями равна логарифму произведения: .

      Пусть , тогда . Пусть , тогда .

      Пример: Найдите значение выражения: .

      Только что выученная формула помогает упростить сумму логарифмов, а не разность, так что сразу эти логарифмы не объединить. Но можно сделать наоборот – «разбить» первый логарифм на два:А вот обещанное упрощение:
      .
      Зачем это нужно? Ну например: чему равно ?

      Теперь очевидно, что .

      Теперь упрости сам:

      Задачи:

      Свойство 3: Разность логарифмов:

      Разность логарифмов с одинаковыми основаниями равна логарифму частного: .

      Доказательство:

      Все точно так же, как и в пункте 2:

      Пусть , тогда . Имеем:

      Пример из прошлого пункта теперь становится еще проще:

      Пример посложнее: . Догадаешься сам, как решить?

      Здесь нужно заметить, что у нас нету ни одной формулы про логарифмы в квадрате. Это что-то сродни выражению – такое сразу не упростить.

      Поэтому отвлечемся от формул про логарифмы, и подумаем, какие вообще формулы мы используем в математике чаще всего? Еще начиная с 7 класса!

      Это – формулы сокращенного умножения. Нужно привыкнуть к тому, что они везде! И в показательных, и в тригонометрических, и в иррациональных задачах они встречаются. Поэтому их нужно обязательно помнить.

      Нажми на ссылку «Формулы сокращенного умножения», и внимательно на них посмотри. Какую из них можно применить здесь?

      Если присмотреться к первым двум слагаемым, становится ясно, что это разность квадратов:

      Дальше все просто – применяем только что выученные правила 2 и 3. Что получилось?

      Ответ для проверки:

      Упрости сам.

      Примеры

      Ответы.

      Свойство 4: Вынесение показателя степени из аргумента логарифма:

      Если в аргументе логарифма стоит степень, показатель этой степени можно вынести за знак логарифма: .

      Доказательство: И здесь тоже используем определение логарифма:пусть , тогда . Имеем: , ч.т.д.

      Можно понять это правило так:

      То есть степень аргумента выносится вперед логарифма, как коэффициент.

      Пример: Найдите значение выражения .

      Решение: .

      Реши сам:

      Примеры:

      Ответы:

      Свойство 5: Вынесение показателя степени из основания логарифма:

      Если в основании логарифма стоит степень, показатель этой степени можно вынести за знак логарифма: .

      Имеем: , ч.т.д.
      Запоминаем: из основания степень выносится как обратное число, в отличии от предыдущего случая!

      Свойство 6: Вынесение показателя степени из основания и аргумента логарифма:

      Если в основании и аргументе логарифма стоят степени, показатели этих степеней можно вынести за знак логарифма: .

      Или если степени одинаковые: .

      Свойство 7: Переход к новому основанию:

      Если основания логарифмов разные, то для того чтобы дальше работать с логарифмами нужно перейти к логарифмам с одним основанием: 0;\text< >\ne \text <1>\right)»> .

      Доказательство: Пусть , тогда .

      Свойство 8: Замена местами основания и аргумента логарифма:

      Можно менять местами основание и аргумент логарифма, но при этом все выражение «переворачивается», т.е. логарифм оказывается в знаменателе: .

      Доказательство: Это частный случай формулы 7: если подставить , получим: , ч.т.д.

      Рассмотрим еще несколько примеров.

      Пример 4.

      Пример 5.

      Найдите значение выражения .

      Пример 6.

      Пример 7.

      Как тебе статья?

      Если ты читаешь эти строки, значит ты прочитал всю статью.

      А теперь расскажи нам как тебе статья?

      Научился ты решать логарифмы? Если нет, то в чем проблема?

      Пиши нам в комментах ниже.

      Мы будем рады прочитать.

      И, да, удачи на экзаменах.

      На ЕГЭ и ОГЭ и вообще в жизни

      P.S. ПОСЛЕДНИЙ БЕСЦЕННЫЙ СОВЕТ 🙂

      Ну вот, тема закончена. Если ты читаешь эти строки, значит ты очень крут.

      Потому что только 5% людей способны освоить что-то самостоятельно. И если ты дочитал до конца, значит ты попал в эти 5%!

      Теперь самое главное.

      Ты разобрался с теорией по этой теме. И, повторюсь, это… это просто супер! Ты уже лучше, чем абсолютное большинство твоих сверстников.

      Проблема в том, что этого может не хватить…

      Для успешной сдачи ЕГЭ, для поступления в институт на бюджет и, САМОЕ ГЛАВНОЕ, для жизни.

      Я не буду тебя ни в чем убеждать, просто скажу одну вещь…

      Люди, получившие хорошее образование, зарабатывают намного больше, чем те, кто его не получил. Это статистика.

      Но и это — не главное.

      Главное то, что они БОЛЕЕ СЧАСТЛИВЫ (есть такие исследования). Возможно потому, что перед ними открывается гораздо больше возможностей и жизнь становится ярче? Не знаю.

      Что нужно, чтобы быть наверняка лучше других на ЕГЭ и быть в конечном итоге… более счастливым?

      НАБИТЬ РУКУ, РЕШАЯ ЗАДАЧИ ПО ЭТОЙ ТЕМЕ.

      На экзамене у тебя не будут спрашивать теорию.

      Тебе нужно будет решать задачи на время.

      И, если ты не решал их (МНОГО!), ты обязательно где-нибудь глупо ошибешься или просто не успеешь.

      Это как в спорте — нужно много раз повторить, чтобы выиграть наверняка.

      Найди где хочешь сборник, обязательно с решениями, подробным разбором и решай, решай, решай!

      Я рекомендую использовать для этих целей наш учебник «YouClever» (который ты сейчас читаешь) и решебник и программу подготовки «100gia».

      И сейчас у меня есть специальное предложение, посвященное переезду учебника «YouClever» на новую платформу.

      Не пропусти это предложение, оно больше не повторится.

      СПЕЦИАЛЬНОЕ ПРЕДЛОЖЕНИЕ НА УЧЕБНИК «YOUCLEVER» И РЕШЕБНИК И ПРОГРАММУ ПОДГОТОВКИ «100GIA»

      Кликай по ссылке. Длительность акции — 1 неделя (до 8 ноября, 24 часов)

      И в заключение.

      Если наши задачи тебе не нравятся, найди другие. Только не останавливайся на теории.

      “Понял” и “Умею решать” — это совершенно разные навыки. Тебе нужны оба.

      Найди задачи и решай!

      Комментарии

      Я получила очень хорошую для меня информацию.

      Спасибо, Катерина. Нам очень приятно слышать, что наш учебник полезен.

      В 3ем свойстве в примере после доказательства сначала стоит логарифм от корня из 3ех по основанию 2, а потом корень исчезает, поясните, пожалуйста, почему?

      Прекрасное объяснение! Просто великолепное! В примере после третьего свойства действительно есть опечатка. знак корня у третьего члена лишний. Есть также потерянный член в конце предпоследней строчки решения пятой задачи третьего свойства. В финальной строчке он нашелся 🙂

      Спасибо за предоставленную информацию ,но у меня всё же остался один вопрос — -как решить как решить логарифм который находится в степени и при всём этом складывается с натуральным числом (например 2). Просто не могу понять , что делать с числом ?

      Александр, примени свойство степени «произведение степеней с одинаковым основанием»: https://youclever.org/book/stepen-i-ee-svojstva

      Логарифм — это показатель степени. Это надо выучить наизусть. Подробнее: Логарифм — это показатель степени, в которую нужно возвести основание логарифма, чтобы получить число под знаком логарифма.

      А как решать функцию логарифмическую, если логарифм под знаком модуля? Например y=[lgx]-lgx?

      Как сложить логарифмы если у обоих аргумент x, но у первого основание 2, а у второго 3?

      Шура, нужно воспользоваться формулой перехода к другому основанию Например, log_3 (x) = log_2 (x) / log_2 (3).

      Большое спасибо за очередную великолепную статью, все понятно.

      Десятичные логарифмы широко применяются в приближенных вычислениях; в связи с этим имеются подробные и весьма точные таблицы десятичных логарифмов.

      Для применения к приближенным вычислениям нам потребуются некоторые свойства и понятия, относящиеся к десятичным логарифмам.

      Рассмотрим все числа вида $10^$, где $n$ — целое число:

      $\cdots; 10^ <-3>= 0,001; 10^ <-2>= 0,01; 10^ <-1>= 0,1; 10^ <0>= 1; 10^<1>=10; 10^<2>=100; 10^ <3>= 1000; \cdots$

      Будем говорить, что эти числа представляются единицей с нулями (с последующими нулями, если $n > 0$, и с предшествующими нулями, если $n 0$; тогда можно указать такие две степени числа 10 с последовательными целыми показателями $n$ и $n + 1$, между которыми находится данное число $N$:

      $10^ 1$ и $N 1$ (десятичный логарифм $lg N$ в этом случае положителен). Обозначим через $k$ число цифр в записи целой части $N$. Ясно, что в этом случае

      Например, для $N = 378,6$ (трехзначная целая часть)

      Логарифмируя неравенства (1), получаем

      и видим, что характеристика $lg N$ равна $k – 1$ (например, характеристика логарифма 378,6 равна 2).

      Итак, характеристика десятичного логарифма числа, большего единицы, на единицу меньше количества цифр его целой части.

      $lg 3,524 = 0, \cdots; lg 47,01 = 1; \cdots, lg 936,3 = 2, \cdots$

      Запись числа $N$ начинается в этом случае с нуля целых; за этим нулем может следовать еще несколько нулей перед первой отличной от нуля цифрой числа. Если число нулей перед первой ненулевой цифрой (включая и нуль целых) равно $l$, то

      Неравенства (3) показывают, что

      т. е. характеристика логарифма $lg N$ равна $-l$.

      Итак, характеристика десятичного логарифма положительного числа, меньшего единицы, равна взятому со знаком минус числу нулей в данном числе, предшествующих первой значащей цифре, включая и нуль целых.

      Например:
      $lg 0,3052 = \overline<1>, \cdots; lg 0,0587 = \overline <2>\cdots; lg 0,0096 = \overline<3>, \cdots$

      Мы выяснили, что характеристика десятичного логарифма числа определяется непосредственно по виду самого числа, если оно целое или представлено в виде десятичной дроби. Для определения характеристики, таким образом, не нужны никакие вычисления (и таблицы). Что же касается мантиссы, то она, как правило, берется из таблиц (например, из таблиц Брадиса). При этом следует пользоваться одним замечательным свойством мантиссы: если в логарифмируемом числе перенести запятую на любое количество знаков влево или вправо, то мантисса десятичного логарифма от этого не изменится (изменится только характеристика логарифма). В самом деле, перенести в числе запятую — это значит умножить его на некоторую целую (положительную или отрицательную) степень числа 10. Например, при переносе запятой на 2 знака вправо число умножится на $10^ <2>= 100$, а при переносе запятой на 2 знака влево оно умножится на $10^ <-2>= 1/100$. Пусть

      где $n$ — характеристика, а $m$ — мантисса этого логарифма. После переноса запятой в числе $N$ на $k$ знаков получится число $N \cdot 10^< \pm k>$t (верхний знак относится к случаю переноса запятой вправо, а нижний — к случаю переноса запятой влево). На основании правил логарифмирования имеем

      $lg (N \cdot 1^<\pm k>) = lg N \pm k lg 10 = lg N \pm k$.

      Но $k$ — целое число, так что прибавление $\pm k$ к $lg N$ может отразиться лишь на его характеристике:

      $lg (N \cdot 10^<\pm k>) = n + m \pm k = (n \pm k) + m$.

      Из рассмотренного можно заключить, что если числа записаны с помощью одних и тех же и одинаково расположенных цифр и отличаются одно от другого только местоположением в них запятой, то десятичные логарифмы таких чисел имеют одну и ту же мантиссу (но, конечно, разные характеристики!). Таковы, например, числа $42,59, 4,259, 0,4259, 0,04259$ и т. д.

      В качестве примера найдем без таблиц разность $lg 28,76 — lg 0,002876$.

      Логарифмы, из которых составлена данная разность, отличаются лишь характеристиками, а мантиссы у них одинаковы и при вычитании взаимно уничтожаются. Поэтому искомая разность логарифмов равна разности их характеристик: $lg 28,76 – lg 0,002876 = 1 — ( — 3) = 1 + 3 = 4$. Этот пример можно решить и так:

      $lg 28,76 — lg 0,002876 = lg \frac<28,76> <0,002876>= lg 10000 = lg 10^ <4>= 4$.

      Как называется часть логарифма

      Логарифмом числа \(b\) (\(b > 0\)) по основанию \(a\) (\(a > 0\), \(a \ne 1\)) называется показатель степени \(x\), в которую надо возвести основание \(a\), чтобы получить число \(b\):
      \(<\log _a>b = x\; \Leftrightarrow \; = b,\text< где >b > 0, a > 0, a \ne 1\)

      Логарифм числа, равного основанию
      \(<\log_a>a = 1\)

      Логарифм корня
      \(<\log _a>\sqrt[\large p\normalsize] = \large\frac<1>

      \normalsize<\log _a>b\)

      Формула перехода от одного основания логарифма к другому основанию
      \(<\log _a>b = \large\frac<<<<\log >_d>b>><<<<\log >_d>a>>\normalsize,\text< где >d \ne 1.\)

      Основное логарифмическое тождество
      \(_a>b>\normalsize> = b,\text< где >b > 0,a > 0,a \ne 1.\)

      Десятичным логарифмом называется логарифм по основанию \(10\). Он обозначается в виде
      \(<\log _<10>>b = \log b = \lg b.\)

      Натуральным логарифмом называется логарифм по основанию \(e\), где трансцендентное число \(e\) приблизительно равно \(e \approx 2.718281828 \ldots \) Натуральный логарифм обозначается как
      \(<\log _e>b = \ln b.\)

      Число \(e\) как предел числовой последовательности
      \(e = \lim\limits_ \left( <1 + \large\frac<1>>\normalsize \right)\)

      Константа перехода от натурального лагарифма к десятичному логарифму
      \(M = 1/\ln 10 = \lg e \approx 0.4343 \ldots \)

      Переход от натурального лагарифма к десятичному логарифму
      \(\lg b = M \cdot \ln b \approx 0.4343\ln b\)

      Переход от десятичного логарифма к натуральному логарифму
      \(\ln a = 1/M \cdot \lg b \approx 2.3026\lg b\)

      Общие свойства логарифмов.

      267.Два действия, обратные возведению в степень.

      Возьмем такие равенства:

      2 3 = 2 . 2 . 2 = 8

      Эти три примера выражают собой различные случаи действия, называемого возвышением в степень .
      В этом действии даются: основание степени (число 2) и показатель степени (числа 3, 3 /2, —2,5), а требуется найти самую степень (8; 2,828; 0,1767). Посмотрим, какие есть действия, обратные возвышению в степень.

      Таких действий можно указать следующие два:

      1) Пусть требуется узнать, какое число надо возвести в степень с показателем 3, чтобы получить число 12. Обозначив искомое число буквой х, мы можем написать уравнение:

      Действие, посредством которого находится основание х по данной степени и данному показателю ее, называется извлечением корня ; оно обозначается, как мы знаем, так:

      2) Положим, надо узнать, какой показатель должен быть у степени, в которую надо возвести основание 4, чтобы получить 16.Обозначив искомый показатель буквой х, можем написать уравнение:

      Действие, посредством которого находится показатель степени по данной степени и данному основанию, называется нахождением логарифма данного числа (16) по данному основанию (4). В нашем примере х = 2, так как 4 2 = 16.

      Итак, возведение в степень имеет два обратных действия. Поставим вопрос, различны ли эти действия?
      Ведь и для умножения можно усмотреть два обратных действия:
      первое — нахождение 1-го сомножителя по данным произведению и 2-му сомножителю,
      второе нахождение 2-го сомножителя по данным произведению и 1-му сомножителю.

      Однако действия эти рассматриваются не как различные, а как одно и то же действие, называемое делением. Причина слияния этих двух обратных действий в одно заключается в переместительном свойстве умножения, по которохму произведение не меняется от перемены мест 1-го и 2-го сомножителя .

      В таком же положении находится и сложение (2 слагаемых); этому действию также можно указать два обратных действия — нахождение неизвестного числа (1-го слагаемого), к которому надо прибавить данное число (2-е слагаемое), чтобы получить данную сумму; другое — нахождение неизвестного числа (2-го слагаемого), которое надо прибавить к данному числу (к 1-му слагаемому), чтобы получить данную сумму.

      Однако эти два действия рассматриваются как одно, называемое вычитанием, вследствие того, что сложение обладает переместительным свойством, по которому сумма не зависит от порядка слагаемых.

      Если бы это свойство принадлежало также и возведению в степень, то тогда и два указанных выше обратных действия составляли бы в сущности одно. Но возведение в степень не обладает свойством переместительности; напр., 2 3 не равно 3 2 , 10 2 не равно 2 10 и т. д. Вследствие этого нахождение основания по данным показателю и степени (извлечение корня) существенно отличается от нахождения показателя по данным основанию и степени (нахождение логарифма).

      Заметим, что последнее действие в элементарной алгебре подробно не рассматривается; указываются главным образом его практические применения.

      268. Определение логарифма.
      Логарифмом данного числа по данному основанию называется показатель степени, в которую надо возвести это основание, чтобы получить данное число.

      Если, напр., основание будет 4, то

      ;

      Если возьмем за основание 10, то

      Вместо того, чтобы писать: „логарифм числа 16 по основанию 4″ пишут сокращенно так:

      помещая внизу знака log то число, которое служит основанием. Впрочем, если заранее известно, какое число принято за основание, то его не пишут. Вместо знака log ( сокращения слова «logarithme») иногда пишут lg или Log.

      Прежде чем говорить о применениях логарифмов, мы предварительно рассмотрим свойства так называемой логарифмической функции.

      269.Логарифмическая функция и ее график.

      Если в равенстве у = а x мы рассматриваем показатель х как независимое переменное , то тогда у будет функция от х, которую мы назвали раньше показательной . Но если в этом равенстве за независимое переменное мы будем считать у, то тогда х будет некоторая функция от у, а именно х есть логарифм числа у по основанию а, что можно выразить так:

      Обозначая по принятому независимое переменное буквой х, а функцию от этого переменного буквой у (т. е. заменяя х на у и наоборот), мы ту же самую функцию можем записать так:

      Такая функция называется логарифмической . Вспоминая то, что мы раньше говорили об обратной функции (Отдел 7 глава 3 §180), мы видим, что логарифмическая функция обратна показательной.

      Построим графики следующих трех логарифмических функций:

      Для этого составим таблицы значений этих функций. Всего проще их можно сделать из таблиц соответственных показательных функций

      поменяв в этих таблицах значения абсциссы х на значения ординаты у и наoборот. Сделав это, мы получим такие 3 таблицы:

      Нанеся все эти значения на чертеж и обведя все точки непрерывными кривыми, получим три графика взятых функций. Согласно свойству обратных функций , кривые эти — те же самые, которыми выражаются функции у = 2 х ; у = ( 1 /2) х ; у = 10 х , только они расположены симметрично с этими кривыми относительно биссектрисы угла хОу.

      Имея график логарифмической функции, мы можем при помощи его найти логарифм (приближенный) числа, помещающегося между взятыми для чертежа значениями x. Возьмем, напр., график функции у = log2x и найдем при его помощи log2 6.
      Для этого возьмем на чертеже абциссу, равную 6, и построим соответствующую ей ординату. Измерив эту ординату, найдем приблизительно 2,6; это и будет log 6.

      270. Свойства логарифмической функции.
      При рассмотрении начерченных графиков мы наглядно представляем себе следующие свойства логарифмов:

      1) Так как графики всецело расположены направо от оси у -ов, то отрицательные числа не имеют логарифмов (вспомним, что при всяком значении х функция а х положительн

      2) Всякой положительной абсциссе соответствует своя определенная ордината; значит, всякое положительное число имеет логарифм.

      3) Все кривые пересекаются с осью х-ов в одной и той же точке, отстоящей от начала координат на + l. Это значит, что при всяком основании логарифм единицы есть нуль (а 0 =1).

      4) Когда a >1, то части кривых, соответствующие абсциссам, меньшим 1, лежат в угле x0y’, а части кривых, соответствующие абсциссам, большим. 1, расположены в угле х0у. Это значит, что при основании, большем 1, логарифмы чисел, меньших 1, отрицательны, а логарифмы чисел, больших 1, положительны. Это вполне соответствует тому свойству показательной функции, что при положительном значении х функция а х больше 1, а при отрицательном — меньше 1 (если а > 1).
      При а 1) с возрастанием числа от 0 до 1 логарифм его возрастает от до 0; с возрастанием числа от 1 до логарифм его возрастает от 1 до Из этого между прочим следует, что большему числу соответствует больший логарифм (при основании, меньшем 1 (a 1 ; 100 = 10 2 ; 1000 = 10 3 ;. 0,1 = 10 -1 , 0,01 = 10 -2 0,001 = 10 -3 и т. п. Другие числа выразить степенью 10 затруднительно. Так, если требуется найти показатель степени, в которую нужно возвести 10, чтобы получить число 5, то мы можем только сказать, что искомый показатель больше 0, но меньше 1, так как 10 0 =1, что меньше 5, а 10 1 = 10, что больше 5; значит, показатель степени, в которую надо возвысить 10 для получения 5, должен быть некоторая положительная дробь меньшая 1. Мы можем даже сказать, что эта дробь больше 1 /2 , но меньше 3 /4, так как , что меньше 5, a , что больше 5.

      Но найти точно показатель х, чтобы 10 x = 5, очень затруднительно. Есть отделы математики, в которых указываются способы, как можно для всякогo данного числа N найти такой показатель х, при котором степень 10 x или в точности равняется N, или отличается от этого числа как угодно мало. Ученые, пользуясь этими способами, составили так называемые логарифмические таблицы, в которых помещены различные числа и около каждого из этих чисел указан показатель степени (логарифм), в которую надо возвести 10, чтобы получить это число. Разъясним, для какой цели могут служить такие таблицы.
      Пусть требуется вычислить число х по формуле:

      Извлекать корень 5-й степени мы не умеем. В подобных случаях нам могут помочь логарифмические таблицы. Находим в этих таблицах число 40 и около него логарифм этого числа. Пусть это будет 1,6. Это значит, что

      Так как при извлечении корня из степени показатель подкоренного числа (какой бы он ни был) делится на показатель корня, то

      Теперь в тех же таблицах в столбце логарифмов находим 0,32 и около него соответствующее число, пусть это будет, положим, 2,09. Это и будет приближенное значение

      Мы вскоре увидим, что логарифмические таблицы во многих случаях позволяют производить такие действия над числами, которые без таблиц мы или совсем не могли бы выполнить (как в примере, только что указанном), или на выполнение которых потребовалось бы очень много времени.

      Теперь нам предстоит ознакомиться, во-первых, с тем, как при совершении какого-либо действия над данными числами можно найти логарифм искомого числа при помощи логарифмов этих данных чисел (взятых из таблиц) и, во-вторых, как найдя такой логарифм, отыскать по нему в таблицах искомое число.

      272. Нахождение логарифма произведения, частного, степени и корня.

      а) Пусть требуется выполнить умножение: 378 • 45,2

      Попробуем выполнить это действие посредством логарифмов. Найдем в таблицах логарифмы чисел 378 и 45,2. Пусть они будут: 2,5775 и 1,6551 (по основанию 10). Это значит, что

      378 = 10 2,5775 и 45,2 = 10 1,6551

      378 . 45,2 = 10 2,5775 . 10 1,6551

      Так как при умножении степеней одного и того же числа показатели этих степеней складываются (какие бы ни были эти показатели), то

      378 . 45,2 = 10 2,5775 + 1,6551 = 10 4,2326

      Значит, логарифм произведения 378 . 45,2 есть число 4,2326, получившееся от сложения логарифмов данных сомножителей (по этому логарифму в таблицах найдем и само произведение).

      Положим вообще, что N1 и N2 будут два числа, произведение которых требуется вычислить. Пусть мы нашли в таблицах логарифмы этих чисел х1 и х2. Основание этих логарифмов может быть число 10, но может быть и какое-нибудь другое число, которое мы обозначим а. Тогда мы будем иметь равенства:

      ; ; следовательно

      т. е. логарифм произведения (по какому угодно основанию) равен сумме логарифмов сомножителей (взятых по тому же основанию).

      Заключение это остается верным и тогда, когда сомножителей будет более 2, так как при умножении степеней одного и того же числа показатели их складываются и тогда, когда, этих степеней будет более 2.

      б) Положим, надо выполнить деление:

      Найдем в таблицах логарифмы этих чисел (напр, по основанию 10).
      Пусть log 5637 = 3,751 и log 26,3 = 1,42. Тогда:

      5637 = 10 3,751 и 26,3 = 10 1,42

      Следовательно, 5637:26,3=10 3,751 :10 1,42 =10 3,751-1,42 =10 2,331

      Отсюда видно, что логарифм частного 5637:26,3 есть число 2,331, получившееся от вычитания логарифма делителя из логарифма делимого.

      Вообще, если ; ; то

      т. е. логарифм частного равен логарифму делимого без логарифма делителя.

      Так как всякая дробь есть частное от деления числителя на знаменатель, то логарифм дроби равен логарифму числителя без логарифма знаменателя.

      log 2 /3 = log 2 — log 3;
      log 2 3 /4 == log 11 /4 = tog 11 — log 4;
      log 0,6= log6 —log 10.

      Логарифмы двух взаимообратных чисел по одному и тому же основанию отличаются друг от друга только знаком.

      т. e. логарифм степени равен показателю этой степени, умноженному на логарифм возводимого в степень числа.

      Напр.: log (15,3) 2 = 2 log 15,3;
      log 3 -2 = — 2 log 3.

      г) Так как то, применяя правило о логарифме степени, получим:

      т. e. логарифм корня равен логарифму подкоренного числа, деленному на показатель корня.

      273. Логарифмирование алгебраического выражения.

      Логарифмировать алгебраическое выражение значит выразить логарифм его посредством логарифмов отдельных чисел, составляющих это выражение. Выводы предыдущего параграфа позволяют это сделать в применении к произведению, частному, степени и дроби.
      Напр.:

      1) 2) 3)

      а) Если в выражении, которое требуется вычислить, встречается сумма или разность чисел, то их надо находить без помощи таблиц обыкновенным сложением или вычитанием. Напр.:

      log (35 +7,24) 5 = 5 log (35 + 7,24) = 5 log 42,24.

      б) Умея логарифмировать выражения, мы можем, обратно, по данному результату логарифмирования найти то выражение, от которого получился этот результат; так, если

      log х = log a + log b — 3 log с,

      то легко сообразить, что

      в) Прежде чем перейти к рассмотрению устройства логарифмических таблиц, мы укажем некоторые свойства десятичных логарифмов, т.е. таких, в которых за основание принято число 10 ( только такие логарифмы употребляются для вычислений).

      Свойства десятичных логарифмов.

      275. а) Так как 10 1 = 10, 10 2 = 100, 10 3 =1000, 10 4 = 10000 и т. д., то log 10 = 1, log 100 = 2, log 1000 = 3, log 10000 = 4, и т. д.

      Значит, логарифм целого числа, изображаемого единицею с нулями, есть целое положительное число, содержащее столько единиц, сколько нулей в изображении числа.

      Таким образом: log 100 000 = 5, log 1000 000 = 6, и т. д.

      log 0,1 = —l; log 0,01 = — 2; log 0,001 == —3; log 0,0001 = — 4, и т. д.

      Значит, логарифм десятичной дроби, изображаемой единицею с предшествующими нулями, есть целое отрицательное число содержащее столько отрицательных единиц, сколько нулей в изображении дроби, считая в том числе и 0 целых.

      Таким образом: log 0,00001= — 5, log 0,000001 = —6, и т. д.

      в) Возьмем целое число, не изображаемое единицею с нулями, напр. 35, или целое число с дробью, напр. 10,7. Логарифм такого числа не может быть целым числом, так как, возвысив 10 в степень с целым показателем (положительным или отрицательным), мы получим 1 с нулями (следующими за 1, или ей предшествующими). Предположим теперь, что логарифм такого числа есть какая-нибудь дробь a /b. Тогда мы имели бы равенства

      Но эти равенства невозможны, как как 10 а есть 1 с нулями, тогда как степени 35 b и 10,7 b ни при каком показателе b не могут дать 1 c нулями. Значит, нельзя допустить, чтобы log 35 и log 10,7 были равны дробям. Но из свойств логарифмической функции мы знаем (§ 270, 2), что всякое положительное число имеет логарифм; следовательно, каждое из чисел 35 и 10,7 имеет свой логарифм, и так как он не может быть ни числом целым, ни числом дробным, то он есть число иррациональное и, следовательно, не может быть выражен точно посредством цифр. Обыкновенно иррациональные логарифмы выражают приближенно в виде десятичной дроби с несколькими десятичными знаками. Целое число этой дроби (хотя бы это было „0 целых») называется характеристикой , а дробная часть — мантиссой логарифма. Если, напр., логарифм есть 1,5441, то характеристика его равна 1, а мантисса есть 0,5441.

      г) Возьмем какое-нибудь целое или смешанное число, напр. 623 или 623,57. Логарифм такого числа состоит из характеристики и мантиссы. Оказывается, что десятичные логарифмы обладают тем удобством, что характеристику их мы всегда можем найти по одному виду числа. Для этого сосчитаем, сколько цифр в данном целом числе, или в целой части смешанного числа, В наших примерах этих цифр 3. Поэтому каждое из чисел 623 и 623,57 больше 100, но меньше 1000; значит, и логарифм каждого из них больше log 100, т. е. больше 2, но меньше log 1000, т. е. меньше 3 (вспомним, что большее число имеет и больший логарифм). Следовательно, log 623 = 2. и log 623,57 = 2. (точки заменяют собою неизвестные мантиссы).

      Подобно этому найдем:

      10 3 ,7482 ( Такое число читается: 3 с минусом, 7482 десятитысячных .), т. е. ставят знак минус над характеристикой с целью показать, что он относится только к этой характеристике, а не к мантиссе, которая остается положительной. Таким образом, из приведенной выше таблички видно, что

      log 0,35 == 1 . ; log 0,07 = 2 . ; log 0,0008 = 4 .

      Пусть вообще . есть десятичная дробь, у которой перед первой значащей цифрой ? стоит m нулей, считая в том числе и 0 целых. Тогда, очевидно, что

      m 3 ,5649, то 3 ,5649 + 1 = 2 ,5649; 3 ,5649 + 2 = 1 ,5649, и т. п.

      От умножения числа на 10, 100, 1000. вообще на 1 с нулями, мантисса логарифма не изменяется, а характеристика увеличивается на столько единиц, сколько нулей во множителе.

      Подобно этому, приняв во внимание, что логарифм частного равен логарифму делимого без логарифма делителя, мы получим:

      log N /10 = log N— log 10 = log N —1;

      log N /100 = log N— log 100 = log N —2;

      log N /1000 = log N— log 1000 = log N —3; и т. п.

      Если условимся при вычитании целого числа из логарифма вычитать это целое число всегда из характеристики, а мантиссу оставлять без изменения, то можно сказать:

      От деления числа на 1 с нулями мантисса логарифма не изменяется, а характеристика уменьшается на столько единиц, сколько нулей в делителе.

      276. Следствия. Из свойства (е) можно вывести следующие два следствия:

      а) Мантисса логарифма десятичного числа не изменяется от перенесения в числе запятой, потому что перенесение запятой равносильно умножению или делению на 10, 100, 1000 и т. д. Таким образом, логарифмы чисел:

      0,00423, 0,0423, 4,23, 423

      отличаются только характеристиками, но не мантиссами (при условии, что все мантиссы положительны).

      б) Мантиссы чисел, имеющих одну и ту же значащую часть, но отличающихся только нулями на конце, одинаковы: так, логарифмы чисел: 23, 230, 2300, 23 000 отличаются только характеристиками.

      Замечание. Из указанных свойств десятичных логарифмов видно, что характеристику логарифма целого числа и десятичной дроби мы можем находить без помощи таблиц (в этом заключается большое удобство десятичных логарифмов); вследствие этого в логарифмических таблицах помещаются только одни мантиссы; кроме того, так как нахождение логарифмов дробей сводится к нахождению логарифмов целых чисел (логарифм дроби = логарифму числителя без логарифма знаменателя), то в таблицах помещаются мантиссы логарифмов только целых чисел.

      Устройство и употребление четырехзначных таблиц.

      277. Системы логарифмов. Системою логарифмов называется совокупность логарифмов, вычисленных для ряда последовательных целых чисел по одному и тому же основанию. Употребительны две системы: система обыкновенных или десятичных логарифмов, в которых за основание взято число 10, и система так называемых натуральных логарифмов, в которых за основание (по некоторым причинам, которые уясняются в других отделах математики) взято иррациональное число 2,7182818. Для вычислений употребляются десятичные логарифмы, вследствие тех удобств, которые были нами указаны, когда мы перечисляли свойства таких логарифмов.

      Натуральные логарифмы называются также Неперовыми по имени изобретателя логарифмов, шотландского математика Непера (1550—1617 гг.), а десятичные логарифмы — Бригговыми по имени профессора Бригга (современника и друга Непера), впервые составившего таблицы этих логарифмов 1) .

      278. Преобразование отрицательного логарифма в такой, у которого мантисса положительна, и обратное преобразование. Мы видели, что логарифмы чисел, меньших 1, отрицательны. Значит, они состоят из отрицательной характеристики и отрицательной мантиссы. Такие логарифмы всегда можно преобразовать так, что у них мантисса будет положительная, а характеристика останется отрицательной. Для этого достаточно прибавить к мантиссе положительную единицу, а к характеристике — отрицательную (от чего, конечно, величина логарифма не изменится).

      Если, напр., мы имеем логарифм — 2,0873, то можно написать:

      — 2,0873 = — 2 — 1 + 1 — 0,0873 = — (2 + 1) + (1 — 0,0873) = — 3 + 0,9127,

      Обратно, всякий логарифм с отрицательной характеристикой и положительной мантиссой можно превратить в отрицательный. Для этого достаточно к положительной мантиссе приложить отрицательную единицу, а к отрицательной характеристике — положительную 2) : так, можно написать:

      279. Описание четырехзначных таблиц. Для решения большинства практических задач вполне достаточны четырехзначные таблицы, обращение с которыми весьма просто 3) . Таблицы эти (с надписью на верху их „логарифмы») помещены в конце этой книги, а небольшая часть их (для объяснения расположения) напечатана на этой странице. В них содержатся мантиссы

      логарифмов всех целых чисел от 1 до 9999 включительно, вычисленные с четырьмя десятичными знаками, причем последний из этих знаков увеличен на 1 во всех тех случаях, когда 5-й десятичный знак должен был бы оказаться 5 или более 5; следовательно, 4-значные таблицы дают приближенные мантиссы с точностью до 1 /2 десятитысячной доли (с недостатком или с избытком).

      Так как характеристику логарифма целого числа или десятичной дроби мы можем, на основании свойств десятичных логарифмов, проставить непосредственно, то из таблиц мы должны взять только мантиссы; при этом надо вспомнить, что положение запятой в десятичном числе, а также число нулей, стоящих в конце числа, не имеют влияния на величину мантиссы. Поэтому при нахождении мантиссы по данному числу мы отбрасываем в этом числе запятую, а также и нули на конце его, если таковые есть, и находим мантиссу образовавшегося после этого целого числа. При этом могут представиться следующие случаи.

      1) Целое число состоит из 3-х цифр. Напр., пусть надо найти мантиссу логарифма числа 536. Первые две цифры этого числа, т. е. 53, находим в таблицах в первом слева вертикальном столбце (см. таблицу). Найдя число 53, продвигаемся от него по горизонтальной строке вправо до пересечения этой строчки с вертикальным столбцом, проходящим через ту из цифр 0, 1, 2, 3. 9, поставленных наверху (и внизу) таблицы, которая представляет собою 3-ю цифру данного числа, т. е. в нашем примере цифру 6. В пересечении получим мантиссу 7292 (т. е. 0,7292), принадлежащую логарифму числа 536. Подобно этому для числа 508 найдем мантиссу 0,7059, для числа 500 найдем 0,6990 и т. п.

      2) Целое число состоит из 2-х или из 1-й цифры. Тогда мысленно приписываем к этому числу один или два нуля и находим мантиссу для образовавшегося таким образом трехзначного числа. Напр., к числу 51 приписываем один нуль, от чего получаем 510 и находим мантиссу 7070; к числу 5 приписываем 2 нуля и находим мантиссу 6990 и т. д.

      3) Целое число выражается 4 цифрами. Напр., надо найти мантиссу log 5436. Тогда сначала находим в таблицах, как было сейчас указано, мантиссу для числа, изображенного первыми 3-мя цифрами данного числа, т. е. для 543 (эта мантисса будет 7348); затем продвигаемся от найденной мантиссы по горизонтальной строке направо (в правую часть таблицы, расположенную за жирной вертикальной чертой) до пересечения с вертикальным столбцом, проходящим через ту из цифр: 1, 2 3. 9, стоящих на верху (и в низу) этой части таблицы, которая представляет собою 4-ю цифру данного числа, т. е. в нашем примере цифру 6. В пересечении находим поправку (число 5), которую надо приложить в уме к мантиссе 7348, чтобы получить мантиссу числа 5436; мы получим таким образом мантиссу 0,7353.

      4) Целое число выражается 5-ю или более цифрами. Тогда отбрасываем все цифры, кроме первых 4-х, и берем приближенное четырехзначное число, причем последнюю цифру этого числа увеличиваем на 1 в том. случае, когда отбрасываемая 5-я цифра числа есть 5 или больше 5. Так, вместо 57842 мы берем 5784, вместо 30257 берем 3026, вместо 583263 берем 5833 и т. и. Для этого округленного четырехзначного числа находим мантиссу так, как было сейчас объяснено.

      Руководствуясь этими указаниями, найдем для примера логарифмы следующих чисел:

      36,5; 804,7; 0,26; 0,00345; 7,2634; 3456,06.

      Прежде всего, не обращаясь пока к таблицам, проставим одни характеристики, оставляя место для мантисс, которые выпишем после:

      log 36,5 = 1. log 0,00345 = 3 .

      log 804,7 = 2. log 7,2634 = 0.

      log 0,26 = 1 . log 3456,86 = 3.

      Далее по таблицам выставляем прямо мантиссы:

      log 36,5 = 1,5623; log 0,00345 = 3 ,5378;

      log 804,7 = 2,9057; log 7,2634 = 0,8611;

      log 0,26 = 1 ,4150; log 3456,86 = 3,5387.

      280. Замечание. В некоторых четырехзначных таблицах (напр, в таблицах В. Лорченко и Н. Оглоблина, С. Глазенапа, Н. Каменьщикова) поправки на 4-ю цифру данного числа не помещены. Имея дело с такими таблицами, приходится поправки эти находить при помощи простого вычисления, которое можно выполнять на основании следующей истины: если числа превосходят 100, а разности между ними меньше 1, то без чувствительной погрешности можно принять, что разности между логарифмами пропорциональны разностям между соответствующими числами 4) . Пусть, напр., надо найти мантиссу, соответствующую числу 5367. Мантисса эта, конечно, та же самая, что и для числа 536,7. Находим в таблицах для числа 536 мантиссу 7292. Сравнивая эту мантиссу с соседней вправо мантиссой 7300, соответствующей числу 537, мы замечаем, что если число 536 увеличится на 1, то мантисса его увеличится на 8 десятитысячных (8 есть так называемая табличная разность между двумя соседними мантиссами); если же число 536 увеличится на 0,7, то мантисса его увеличится не на 8 десятитысячных, а на некоторое меньшее число х десятитысячных, которое, согласно допущенной пропорциональности, должно удовлетворять пропорции:

      что по округлении составляет 6 десятитысячных. Значит, мантисса для числа 536,7 (и следовательно, для числа 5367) будет: 7292 + 6 = 7298.

      Заметим, что нахождение по двум рядом стоящим в таблицах числам промежуточного числа называется интерполированием. Интерполирование, описанное здесь, называется пропорциональным , так как оно основано на допущении, что изменение логарифма пропорционально изменению числа. Оно называется также линейным , так как предполагает, что графически изменение логарифмической функции выражается прямою линией.

      281. Предел погрешности приближенного логарифма. Если число, которого логарифм отыскивается, есть число т о ч н о е, то за предел погрешности его логарифма, найденного но 4-значным таблицам, можно, как мы говорили в § 279, принять 1 /2 десятитысячной доли. Если же данное число не точное , то к этому пределу погрешности надо еще добавить предел другой погрешности, происходящей от неточности самого числа. Доказано (мы опускаем это доказательство), что за такой предел можно принять произведение

      в котором а есть предел погрешности самого неточного числа в предположении, что в его целой части взяты 3 цифры, a d табличная разность мантисс, соответствующих двум последовательным трехзначным числам, между которыми заключается данное неточное число. Таким образом предел окончательной погрешности логарифма выразится тогда формулой:

      Пример. Найти log ?, принимая за ? приближенное число 3,14, точное до 1 /2сотой.

      Перенеся в числе 3,14 запятую после 3-й цифры, считая слева, мы получим трехзначное число 314, точное до 1 /2 единицы; значит, предел погрешности неточного числа, т. е. то, что мы обозначили буквой а, есгь 1 /2 Из таблиц находим:

      Табличная разность d между мантиссами чисел 314 и 315 равна 14, поэтому погрешность найденного логарифма будет менее

      Так как о логарифме 0,4969 мы не знаем, с недостатком ли он или с избытком, то можем только ручаться, что точный логарифм ? заключается между 0,4969 — 0,0008 и 0,4969 + 0,0008, т. е. 0,4961 2 ,2863, „ х = 0,01933

      Вот еще примеры:

      Если в мантиссе указано 5 или более цифр, то берем только первые 4 цифры, отбрасывая остальные (и увеличивая 4-ю цифру на 1, если 5-я цифра есть пять или более). Напр., вместо мантиссы 35478 берем 3548, вместо 47562 берем 4756.

      283. Замечание. Поправку на 4-ю и следующие цифры мантиссы можно находить и посредством интерполирования. Так, если мантисса будет 84357, то, найдя число 6966, соответствущее мантиссе 843 мы можем рассуждать далее так :: если мантисса увеличивается на 1 (тысячную), т. е. сделаетоя 844, то число, как видно из таблиц, увеличится на 16 единиц; если же мантисса увеличится не на 1 (тысячную), а на 0,57 (тысячной), то число увеличится на х единиц, причем х должно удовлетворять пропорции:

      х : 16 = 0,57 : 1, откуда х = 16•0,57 = 9,12.

      Значит, искомое число будет 6966+ 9,12 = 6975,12 или (ограничиваясь только четырьмя цифрами) 6975.

      284. Предел погрешности найденного числа. Доказано, что в том случае, когда в найденном числе запятая стоит после 3-й слева цифры, т. е. когда характеристика логарифма есть 2, за предел погрешности можно принять сумму

      где а есть предел погрешности логарифма (выраженный в десятитысячных долях), по которому отыскивалось число, и d — разность между мантиссами двух трехзначных последовательных чисел, между которыми заключается найденное число (с запятой после 3-й цифры слева). Когда характеристика будет не 2, а какая-нибудь иная, то в найденном числе запятую придется перенести влево или вправо, т. е. разделить или умножить число на некоторую степень 10. При этом погрешность результата также разделится или умножится на ту же степень 10.

      Пусть, например, мы отыскиваем число по логарифму 1,5950, о котором известно, чго он точен до 3 десятитысячных; значит, тогда а = 3. Число, соответствующее этому логарифму, найденное по таблице антилогарифмов, есть 39,36. Перенеся запятую после 3-й цифры слева, будем иметь число 393,6, заключающееся между 393 и 394. Из таблиц логарифмов видим, что разность между мантиссами, соответствующими этим двум числам, составляет 11 десятитысячных; значит d = 11. Погрешность числа 393,6 будет меньше

      Значит, погрешность числа 39,36 будет меньше 0,05.

      285. Действия над логарифмами с отрицательными характеристиками. Сложение и вычитание логарифмов не представляют никаких затруднений, как это видно из следующих примеров:

      Не представляет никаких затруднений также и умножение логарифма на положительное число, напр.:

      В последнем примере отдельно умножена положительная мантисса на 34, затем отрицательная характеристика на 34.

      Если логарифм о отрицательной характеристикой и положительной мантиссой умножается на отрицательное число, то поступают двояко: или предварительно данный логарифм обращают в отрицательный, или же умножают отдельно мантиссу и характеристику и результаты соединяют вместе, например:

      3 ,5632 • ( — 4) = — 2,4368 • (— 4) = 9,7472;

      3 ,5632 •( — 4) = + 12 — 2,2528 = 9,7472.

      При делении могут представиться два случая: 1) отрицательная характеристика делится и 2) не делится на делитель. В первом случае отдельно делят характеристику и мантиссу:

      Во втором случае прибавляют к характеристике столько отрицательных единиц, чтобы образовавшееся число делилось на делитель; к мантиссе прибавляют столько же положительных единиц:

      3 ,7608 : 8 = ( — 8 + 5,7608) : 8 = 1 ,7201.

      Это преобразование надо совершать в уме, так что действие располагается так:

      286. Замена вычитаемых логарифмов слагаемыми. При вычислении какого-нибудь сложного выражения помощью логарифмов приходится некоторые логарифмы складывать, другие вычитать; в таком случае, при обыкновенном способе совершения действий, находят отдельно сумму слагаемых логарифмов, потом сумму вычитаемых и из первой суммы вычитают вторую. Напр., если имеем:

      log х = 2,7305 — 2 ,0740 + 3 ,5464 — 8,3589,

      то обыкновенное выполнение действий расположится так:

      Есть однако возможность заменить вычитание сложением. Так:

      Теперь можно расположить вычисление так:

      287. Примеры вычислений.

      Пример 1. Вычислить выражение:

      если А = 0,8216, В = 0,04826, С= 0,005127 и D = 7,246.

      Логарифмируем данное выражение:

      log х = 1 /3 log A + 4 log В — 3 log С — 1 /3 log D

      Теперь, для избежания излишней потери времени и для уменьшения возможности ошибок, прежде всего расположим все вычисления, не исполняя пока их и не обращаясь, следовательно, к таблицам:

      После этого берем таблицы и проставляем логарифмы на оставленных свободных местах:

      Прeдел погрешности. Сначала найдем предел погрешности числа x1 = 194,5, равный:

      Значит, прежде всего надо найти а, т. е. предел погрешности приближенного логарифма, выраженный в десятитысячных долях. Допустим, что данные числа А, В, С и D все точные. Тогда погрешности в отдельных логарифмах будут следующие (в десятитысячных долях):

      ( 1 /2 прибавлена потому, что при делении на 3 логарифма 1,9146 мы округлили частное, отбросив 5-ю цифру его, и, следовательно, сделали еще ошибку,меньшую 1 /2 десятитысячной).

      Теперь находим предел погрешности логарифма:

      Определим далее d . Так как x1 = 194,5, то 2 целых последовательных числа, между которыми заключается x1 будут 194 и 195. Табличная разность d между мантиссами, соответствующими этим числам, равна 22. Значит, предел погрешности числа x1 есть:

      Так как x = x1 : 10, то предел погрешности в числе x равен 0,3:10 = 0,03. Таким образом, найденное нами число 19,45 разнится от точного числа менее, чем на 0,03. Так как мы не знаем, с недостатком или с избытком найдено наше приближение, то можем только ручаться, что

      19,45 + 0,03 > х > 19,45 — 0,03, т. е.

      и потому, если примем х =19,4, то будем иметь приближение с недостатком с точностью до 0,1.

      Пример 2. Вычислить:

      х = (— 2,31) 3 5 v 72 = — (2,31) 3 5 v 72 .

      Так как отрицательные числа не имеют логарифмов, то предварительно находим:

      После вычисления окажется:

      Пример 3. Вычислить:

      Сплошного логарифмирования здесь применить нельзя, так как под знаком корня стоит с у м м а. В подобных случаях вычисляют формулу по частям .

      Сначала находим N = 5 v 8 , потом N1 = 4 v 3 ; далее простым сложением определяем N + N1, и, наконец, вычисляем 3 v N + N 1; окажется:

      Показательные и логарифмические уравнения.

      288. Показательными уравнениями называются такие, в которых неизвестное входит в показатель степени, а логарифмическими — такие, в которых неизвестное входит под знаком log. Такие уравнения могут быть разрешаемы только в частных случаях, причем приходится основываться на свойствах логарифмов и на том начале, что если числа равны, то равны и их логарифмы, и, обратно, если логарифмы равны, то равны и соответствующие им числа.

      Пример 1. Решить уравнение: 2 x = 1024.

      Логарифмируем обе части уравнения:

      Пример 2. Решить уравнение: a 2x a x = 1. Положив a x = у, получим квадратное уравнение:

      Так как 1—v 5 x всегда есть число положительное), а первое дает:

      Пример 3. Решить уравнение:

      Уравнение можно написать так:

      Из равенства логарифмов заключаем о равенстве чисел:

      Это есть квадратное уравнение, решение которого не представляет затруднений.

      Сложные проценты, срочные уплаты и срочные взносы.

      289. Основная задача на сложные проценты. В какую сумму обратится капитал а рублей, отданный в рост по р сложных процентов, по прошествии t лет (t — целое число)?

      Говорят, что капитал отдан по сложным процентам, если принимаются во внимание так называемые „проценты на проценты», т. е. если причитающиеся на капитал процентные деньги присоединяются в конце каждого года к капиталу для наращения их процентами в следующие годы.

      Каждый рубль капитала, отданного по р %, в течение одного года принесет прибыли p /100 рубля, и, следовательно, каждый рубль капитала через 1 год обратится в 1+ p /100 рубля (напр., если капитал отдан по 5% , то каждый рубль его через год обратится в 1+ 5 /100, т. е. в 1,05 рубля).

      Обозначив для краткости дробь p /100 одною буквою, напр, r, можем сказать, что каждый рубль капитала через год обратится в 1 + r рублей; следовательно, а рублей обратятся через 1 год в а(1 + r) руб. Еще через год, т. е. через 2 года от начала роста, каждый рубль из этих а (1 + r) руб. обратится снова в 1 + r руб.; значит, весь капитал обратится в а (1 + r) 2 руб. Таким же образом найдем, что через три года капитал будет а (1 + r) 3 , через четыре года будет а (1 + r) 4 . вообще через t лет, если t есть целое число, он обратится в а (1 + r) t руб. Таким образом, обозначив через А окончательный капитал, будем иметь следующую формулу сложных процентов:

      Пример. Пусть a =2 300 руб., p = 4, t =20 лет; тогда формула дает:

      Чтобы вычислить А, применяем логарифмы:

      log a = log 2 300 + 20 log 1,04 = 3,3617 + 20 • 0,0170 = 3,3617+0,3400 = 3,7017.

      Замечание. В этом примере нам пришлось log 1,04 умножить на 20. Так как число 0,0170 есть приближенное значение log 1,04 с точностью до 1 /2 десятитысячной доли, то произведение этого числа на 20 будет точно только до 1 /2 20, т. е. до 10 десятитысячных =1 тысячной. Поэтому в сумме 3,7017 мы не можем ручаться не только за цифру десятитысячных, но и за цифру тысячных. Чтобы в подобных случаях можно было получить большую точность, лучше для числа 1 + r брать логарифмы не 4-значные, а с большим числом цифр, напр. 7-значные. Для этой цели мы приводим здесь небольшую табличку, в которой выписаны 7-значные логарифмы для наиболее употребительных значений р.

      290. Основная задача на срочные уплаты. Некто занял а рублей по р % с условием погасить долг, вместе с причитающимися на него процентами, в t лет, внося в конце каждого года одну и ту же сумму. Какова должна быть эта сумма?

      Сумма x, вносимая ежегодно при таких условиях, называется срочною уплатою. Обозначим опять буквою r ежегодные процентные деньги с 1 руб., т. е. число p /100. Тогда к концу первого года долг а возрастает до а (1 + r), аза уплатою х рублей он сделается а (1 + r)—х.

      и вообще и концу t-го года он окажется:

      Многочлен, стоящий внутри скобок [], представляет сумму членов геометрической прогрессии; у которой первый член есть 1, последний (1 + r) t —1 , а знаменатель (1 + r). По формуле для суммы членов геометрической прогрессии (отдел 10 глава 3 § 249) находим:

      и величина долга после t-ой уплаты будет:

      По условию задачи, долг в конце t-го года должен равняться 0; поэтому:

      откуда

      При вычислении этой формулы срочных уплат помощью логарифмов мы должны сначала найти вспомогательное число N = (1 + r) t по логарифму: log N= t log (1 + r); найдя N, вычтем из него 1, тогда получим знаменатель формулы для х, после чего вторичным логарифмированием найдем:

      log х = log a + log N + log r — log (N — 1).

      291. Основная задача на срочные взносы. Некто вносит в банк в начале каждого года одну и ту же сумму а руб. Определить, какой капитал образуется из этих взносов по прошествии t лет, если банк платит по р сложных процентов.

      Обозначив через r ежегодные процентные деньги с 1 рубля, т. е. p /100, рассуждаем так: к концу первого года капитал будет а (1 + r);

      в начале 2-го года к этой сумме прибавится а рублей; значит, в это время капитал окажется а (1 + r) + a . К концу 2-го года он будет а (1 + r) 2 + а (1 + r);

      в начале 3-го года снова вносится а рублей; значит, в это время капитал будет а (1 + r) 2 + а (1 + r) + а; к концу 3-го он окажется а (1 + r) 3 + а (1 + r) 2 + а (1 + r) Продолжая эти рассуждения далее, найдем, чтo к концу t-го года искомый капитал A будет:

      Такова формула срочных взносов, делаемых в начале каждого года.

      Ту же формулу можно получить и таким рассуждением:. первый взнос в а рублей, находясь в банке t лет, обратится, согласно формуле сложных процентов, в а (1 + r) t руб. Второй взнос, находясь в банке одним годом меньше, т. е. t — 1 лет, обратится в а (1 + r) t— 1 руб. Подобно этому третий взнос даст а (1 + r) t— 2 и т. д., и, наконец, последний взнос, находясь в банке только 1 год, обратится в а (1 + r) руб. Значит, окончательный капитал A руб. будет:

      что, после упрощения, дает найденную выше формулу.

      При вычислении помощью логарифмов этой формулы надо поступить так же, как и при вычислении формулы срочных уплат, т. е. сначала найти число N = (1 + r) t по его логарифму: log N= t log (1 + r), затем число N— 1 и уже тогда логарифмировить формулу:

      log A = log a + log (1 + r) + log (N — 1) — 1оg r

      Замечание. Если бы срочный взнос в а руб. производился не в начале, а в конце каждого года (как, напр., вносится срочная уплата х для погашения долга), то, рассуждая подобно предыдущему, найдем, что к концу t-го года искомый капитал А’ руб. будет (считая в том числе и последний взнос а руб., не приносящий процентов):

      т. е. А’ оказывается в (1 + r) pаз менее А, что и надо было ожидать, так как каждый рубль капитала А’ лежит в банке годом меньше, чем соответствующий рубль капитала А.

      Читайте так же:

      • Как называется версия программы Программное обеспечение ? Программа подготовки отчетных документов для ПФР "Spu_orb" версии 2.96 по формам АДВ-1, АДВ-2, АДВ-3, АДВ-8, АДВ-9, СЗВ-1, СЗВ-3, СЗВ-4-1, СЗВ-4-2, СЗВ-6-1, […]
      • Фэн шуй звезда 8 Летящие звезды Летящие, или Блуждающие звезды - это 9 различных видов энергии Ци, которые постоянно движутся (летят) по одной и той же траектории и действующие в разное время в […]
      • Календарь фэн шуй на 2020 журнал "Фэн-Шуй" : 34 выпуск Фэн Шуй : практическая энциклопедия. Годичные Летящие звезды. Лучшие направления в 2020 году. Календарь романтики . Дата выхода : 09.12.2020 Содержание 34-го […]
      • 23 марта знак зодиака камень Камни овна, драгоценные камни для знака зодиака Овен Камни для знака зодиака ОВЕН: алмаз, горный хрусталь, циркон. Не рекомендуются камни для знака зодиака Овен: авантюрин , оникс, […]
      • Фэн шуй окно на запад Фен-шуй в квартире, фен-шуй двери, фен-шуй окна, фен-шуй гостиной, детской, кухни, туалета: (499)136-89-85 Ремонт Дизайн интерьера Услуги О нас Контакты Главная Вопросы Отзывы о […]
      • Как научиться решать дроби 6 класс Сложение дробей При сложении дробей могут встретиться разные случаи. Сложение дробей с одинаковыми знаменателями Такой случай наиболее простой. При сложении дробей с равными знаменателями […]

    Leave a Reply

    Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *