Как называются формулы по алгебре

Очная подготовка к ЦТ по физике и математике у авторов этого сайта и других отличных репетиторов. Подробнее.

  • Главная —
  • Математика: Основные формулы

Математика: Основные формулы

Знание формул по математике является основой для успешной подготовки и сдачи различных экзаменов, в том числе и ЦТ или ЕГЭ по математике. Формулы по математике, которые надежно хранятся в памяти ученика — это основной инструмент, которым он должен оперировать при решении математических задач. На этой странице сайта представлены основные формулы по школьной математике.

Изучать основные формулы по школьной математике онлайн:

Как успешно подготовиться к ЦТ по физике и математике?

Для того чтобы успешно подготовиться к ЦТ по физике и математике, среди прочего, необходимо выполнить три важнейших условия:

  1. Изучить все темы и выполнить все тесты и задания приведенные в учебных материалах на этом сайте. Для этого нужно всего ничего, а именно: посвящать подготовке к ЦТ по физике и математике, изучению теории и решению задач по три-четыре часа каждый день. Дело в том, что ЦТ это экзамен где мало просто знать физику или математику, нужно еще уметь быстро и без сбоев решать большое количество задач по разным темам и различной сложности. Последнему научиться можно только решив тысячи задач.
  2. Определения и формулы алгебра 8 класс

    Краткое содержание алгебры 8 класс.Удобно для подготовки к контрольным работам и экзаменам.

    Просмотр содержимого документа
    «Определения и формулы алгебра 8 класс»

    8 класс алгебра Рациональные дроби и их свойства.

    Целые и дробные выражения называют рациональными выражениями.

    Значения переменных при которых выражение имеет смысл , называют допустимыми значениями переменных.

    Дробь , числитель и знаменатель которой многочлены , называют рациональной дробью.

    Основное свойство рациональной дроби: если числитель и знаменатель рациональной дроби умножить на один и тот же ненулевой многочлен , то получится равная ей дробь.

    Тождеством называется равенство , верное при всех допустимых значениях входящих в него переменных.

    Если изменить знак числителя ( или знак знаменателя ) дроби и знак перед дробью , то получим выражение , тождественно равное данному.

    Сумма и разность дробей.

    Чтобы сложить рациональные дроби с одинаковыми знаменателями , надо сложить их числители , а знаменатель оставить тем же.

    Чтобы выполнить вычитание рациональных дробей с одинаковыми знаменателями , надо из числителя первой дроби вычесть числитель второй дроби , а знаменатель оставить тем же.

    Сложение и вычитание рациональных дробей с разными знаменателями сводится к сложению и вычитанию рациональных дробей с одинаковыми знаменателями .Для этого дроби приводят к общему знаменателю.

    Произведение и частное дробей.

    Чтобы умножить дробь на дробь , нужно перемножить их числители и перемножить их знаменатели и первое произведение записать числителем , а второе – знаменателем дроби.

    Чтобы возвести дробь в степень , надо возвести в эту степень числитель и знаменатель и первый результат записать в числителе , а второй – в знаменателе дроби.

    Чтобы разделить одну дробь на другую , нужно первую дробь умножить на дробь , обратную второй.

    Функция у= и её график.

    Обратной пропорциональностью называется функция , которую можно задавать формулой у= , где х – незави симая переменная и k – не равное нулю число.

    Областью определения функции у= является множество всех чисел , отличных от нуля.

    Кривую , являющуюся графиком обратной пропорциональности , называют гиперболой. Гипербола состоит из двух ветвей.

    Всякое рациональное число , как целое , так и дробное , можно представить в виде дроби , где m- целое число , а n – натуральное. Одно и то же рациональное число
    можно представить в таком виде разными способами.

    Среди дробей , с помощью которых записывается данное рациональное число , всегда можно указать дробь с наименьшим знаменателем. Эта дробь несократима. Для целых чисел такая дробь имеет знаменатель , равный 1.

    Каждое рациональное число может быть представлено в виде бесконечной десятичной периодической дроби.

    Каждая бесконечная десятичная периодическая дробь представляет некоторое рациональное число.

    Среди рациональных чисел нет такого числа , квадрат которого равен 2.

    Если к положительным бесконечным десятичным дробям присоединить противоположные им им числа и число нуль , то получим множество чисел , которые называют действительными числами.

    Множество действительных чисел состоит из рациональных и иррациональных чисел.

    Арифметический квадратный корень.

    Квадратным корнем из числа а называют число , квадрат которого равен а.

    Арифметическим квадратным корнем из числа а называется неотрицательное число , квадрат которого равен а.

    = b , если выполняются два условия : 1) b ? 0 ; 2) = а.

    При а ‹ 0 выражение не имеет смысла.

    При любом а , при котором выражение имеет смысл , верно равенство ( = а.

    Выражение имеет смысл при любом а ? 0

    Если а ? 0 и b 0 , то Корень из произведения неотрицательных множителей равен произведению корней из этих множителей.

    Если а ? 0 и b 0 , то = . Корень из дроби , числитель которой неотрицателен , а знаменатель положителен , равен корню из числителя , делённому на корень из знаменателя.

    При любом значении х верно равенство = | x | .

    Функция у = и её график.

    Если х = 0 , то у = 0 , поэтому начало координат принадлежит графику функции. 0

    Если х › 0 , у › 0 : график расположен в первой координатной четверти.

    Большему значению аргумента соответствует дольше значение функции ; график функции идёт вверх.

    Квадратное уравнение и его корни.

    Квадратным уравнением называется уравнение вида a+bx +c = 0 , где а,b и с – некоторые числа , причём а ? 0.

    Квадратное уравнение в котором а = 1, называют приведённым квадратным уравнением.

    Если в квадратном уравнении a+bx +c = 0 хотя бы один из коэффициентов b или с равен нулю , то такое уравнение называют неполным квадратным уравнением

    При решении квадратного уравнения a+bx +c = 0 целесообразно поступать следующим образом: 1. Вычислить дискриминант и сравнить его с нулём ; 2. Если дискриминант положителен , то воспользоваться формулой корней , если дискриминант отрицателен , то записать , что корней нет.

    Сумма корней приведённого квадратного уравнения равна второму коэффициенту , взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену.(Теорема Виета).

    Если числа m и n таковы , что их сумма равна — p , а произведение равно g , то эти числа являются корнями уравнения +px +g = 0 ( Обратная теореме Виета )

    Дробные рациональные уравнения.

    При решении дробных рациональных уравнений поступают следующим образом:

    1 Найти общий знаменатель дробей , входящих в уравнение;

    2 Умножить обе части уравнения на их общий знаменатель;

    3Решить получившееся целое уравнение;

    4 Исключить из его корней те , которые обращают в нуль общий знаменатель.

    Числовые неравенства и их свойства.

    Число а больше числа b , если разность а – b – положительное число ; число а меньше числа b , если разность а – b – отрицательное число.

    Если а ‹ b и с— любое число ,то а + с ‹ b + с. Если к обеим частям верного неравенства прибавить одно и то же число , то получится верное неравенство.

    Если а ‹ b и с— положительное число ,то ас ‹ bс. Если а ‹ b и с— отрицательное число ,то ас › bс.

    Если обе части верного неравенства умножить или разделить на одно и то же положительное число , то получится верное равенство.

    Если обе части верного неравенства умножить или разделить на одно и то же отрицательное число и изменить знак неравенства на противоположный , то получится верное равенство.

    Если а и b – положительные числа и а ‹ b ,то

    Если а ‹ b и с ‹ d ,то а + с ‹ b + d. Если почленно сложить верные неравенства одного знака , то получится верное неравенство.

    Если почленно перемножить верные неравенства одного знака , левые и правые части которых – положительные числа , то получится верное неравенство.

    Если а и b – положительные числа и а ‹ b ,то , где n – натуральное число.

    Абсолютной погрешностью приближенного значения называют модуль разности точного и приближенного значений.

    Относительной погрешностью приближенного значения называется отношение абсолютной погрешности к модулю приближенного значения.

    Неравенства с одной переменной и их системы.

    Пересечением двух множеств называют множество , состоящее из всех общих элементов этих множеств.

    Объединением двух множеств называют множество , состоящее из всех элементов , принадлежащих хотя бы одному из этих множеств.

    Решением неравенства с одной переменной называется значение переменной , которое обращает его в верное числовое неравенство.

    Решением системы неравенств с одной переменной называется значение переменной , при котором верно каждое из неравенств системы.

    Степень с целым показателем и её свойства.

    Если а ? 0 и n – целое отрицательное число , то = .

    Выражению при целом отрицательном n ( так же как и при n = 0 ) не приписывают никакого значения ; это выражение не имеет смысла.

    Для каждого а ? 0 и любых целых m и n

    Для каждых а ? 0 и b ? 0 и любого n

    Стандартным видом числа а называют его запись в виде а* , где 1? а ? 10 и

    n – число. Число n называется порядком числа а.

    Геометрия 8 класс

    Если несмежные звенья замкнутой ломаной не имеют общих точек , то эта ломаная называется многоугольником, её звенья называют сторонами многоугольника , а длина ломаной называется периметром многоугольника.

    Отрезок соединяющий любые две несоседние вершины , называеся диагональю многоугольника.

    Многоугольник называется выпуклым, если он лежит по одну сторону от каждой прямой , проходящей через две его соседние вершины.

    Сумма углов выпуклого n- угольника равна ( n – 2 )*

    Внешним углом выпуклого многоугольника называется угол , смежный с углом многоугольника.

    Сумма внешних углов выпуклого многоугольника равна

    Две несмежные стороны четырехугольника называются противоположными.

    Сумма углов выпуклого четырехугольника равна

    Параллелограммом называется четырехугольник , у которого противоположные стороны попарно параллельны.

    В параллелограмме противоположные стороны равны и противоположные углы равны.

    Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам.

    Если в четырёхугольнике две стороны равны и параллельны , то этот четырёхугольник – параллелограмм.

    Если в четырёхугольнике две стороны попарно равны , то этот четырёхугольник – параллелограмм.

    Если в четырёхугольнике диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам , то этот четырёхугольник – параллелограмм.

    Теорема Фалеса: если на одной из двух прямых отложить последовательно несколько равных отрезков и через их концы провести параллельные прямые , пересекающие вторую прямую , то они отсекут на второй прямой равные между собой отрезки.

    Трапецией называется четырёхугольник у которого две стороны параллельны , а две другие стороны не параллельны.

    Трапеция называется равнобедренной , если её боковые стороны равны.

    Трапеция называется прямоугольной , если один из её углов прямой.

    Прямоугольником называется параллелограмм , у которого все углы прямые.

    В прямоугольнике противоположные стороны равны и все углы равны.

    Диагонали прямоугольника точкой пересечения делятся пополам.

    Диагонали прямоугольника равны.

    Если в параллелограмме диагонали равны , то этот параллелограмм – прямоугольник.

    Ромбом называется параллелограмм , у которого все стороны равны.

    Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и делят его углы пополам.

    Квадратом называется прямоугольник у которого все стороны равны.

    Все углы квадрата прямые.

    Диагонали квадрата равны , взаимно перпендикулярны , точкой пересечения делятся пополам и делят углы квадрата пополам.

    Осевая и центральная симметрии.

    Две точки А и В называются симметричными относительно прямой а , если эта прямая проходит через середину отрезка АВ и перпендикулярна к нему.

    Фигура называется симметричной относительно прямой а , если для каждой точки фигуры симметричная ей точка относительно прямой а также принадлежит этой фигуре.

    Прямая а называется ось симметрии фигуры.

    Две точки А и В называются симметричными относительно точки О , если О – середина отрезка АВ.

    Фигура называется симметричной относительно точки О , если для каждой точки фигуры симметричная ей точка относительно точки О также принадлежит этой фигуре.

    Тока О называется центром симметрии фигуры.

    Равные многоугольники имеют равные площади.

    Если многоугольник составлен из нескольких многоугольников , то его площадь равна сумме площадей этих многоугольников.

    Площадь квадрата равна квадрату его стороны.

    Площадь прямоугольника равна произведению его смежных сторон.

    Площадь параллелограмма равна произведению его основания на высоту.

    Площадь треугольника равна половине произведения его основания на высоту.

    Площадь прямоугольного треугольника равна произведению его катетов.

    Если высоты двух треугольников равны , то их площади относятся как основания.

    Если угол одного треугольника равен углу другого треугольника , то площади этих треугольников относятся как произведения сторон , заключающих равные углы.

    Площадь трапеции равна произведению полу суммы её оснований на высоту.

    В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетеов.

    Обратная теорема: если квадрат одной стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон , то треугольник прямоугольный.

    Формула Герона : площадь S треугольника со сторонами a,b,c выражается формулой S = , где p = (a + b + c) — полупериметр треугольника.

    Определение подобных фигур.

    Отношение отрезков АВ и СD называется отношение их длин , т.е. АВ/CD.

    Два треугольника называются подобными , если их углы соответственно равны и стороны одного треугольника пропорциональны сходственным сторонам другого треугольника.

    Число k равное отношению сходственных сторон подобных треугольников , называется коэффициентом подобия.

    Отношение площадей двух подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.

    Признаки подобия треугольников.

    1 признак: если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого , то такие треугольники подобны.

    2 признак: если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы , заключённые между этими сторонами , равны , то такие треугольники подобны.

    3 признак: если три стороны одного треугольника пропорциональны трём сторонам другого треугольника , то такие треугольники подобны.

    Средней линией треугольника называется отрезок , соединяющий середины двух его сторон.

    Средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон и равна половине этой стороны.

    Отрезок ХУ называется средним пропорциональным ( или средним геометрическим) для отрезков АВ и СD , если ХУ =

    Высота прямоугольного треугольника , проведённая из вершины прямого угла , есть среднее пропорциональное для отрезков , на которые делится гипотенуза этой высотой.

    Катет прямоугольного треугольника есть среднее пропорциональное для гипотенузы и отрезка гипотенузы , заключенного между катетом и высотой , проведённой из вершины прямого угла.

    Соотношения между сторонами и углами прямоугольного треугольника.

    Синусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к гипотенузе.

    Косинусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе.

    Тангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к прилежащему катету.

    Тангенс угла равен отношению синуса к косинусу этого угла.

    Если острый угол одного прямоугольного треугольника равен острому углу другого прямоугольного треугольника , то синусы этих углов равны , косинусы этих углов равны и тангенсы этих углов равны.

    Основное тригонометрическое тождество: = 1

    Как называются формулы по алгебре

  3. Формулы и прочее —
  4. Математика: Все главные формулы
  5. Математика: Все главные формулы

    Оглавление:

    Формулы сокращенного умножения

    Последние две формулы также часто удобно использовать в виде:

    Квадратное уравнение и формула разложения квадратного трехчлена на множители

    Пусть квадратное уравнение имеет вид:

    Тогда дискриминант находят по формуле:

    Если D > 0, то квадратное уравнение имеет два корня, которые находят по формуле:

    Если D = 0, то квадратное уравнение имеет один корень (его кратность: 2), который ищется по формуле:

    Если D 0. Ноль можно возводить только в положительную степень.

    Основные свойства математических корней:

    Для арифметических корней:

    Последнее справедливо: если n – нечетное, то для любого a; если же n – четное, то только при a больше либо равном нолю. Для корня нечетной степени выполняется также следующее равенство:

    Для корня четной степени имеется следующее свойство:

    Формулы с логарифмами

    Определение логарифма:

    Определение логарифма можно записать и другим способом:

    Свойства логарифмов:

    Вынесение степени за знак логарифма:

    Другие полезные свойства логарифмов:

    Арифметическая прогрессия

    Формулы n-го члена арифметической прогрессии:

    Соотношение между тремя соседними членами арифметической прогрессии:

    Формула суммы арифметической прогрессии:

    Свойство арифметической прогрессии:

    Геометрическая прогрессия

    Формулы n-го члена геометрической прогрессии:

    Соотношение между тремя соседними членами геометрической прогрессии:

    Формула суммы геометрической прогрессии:

    Формула суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии:

    Свойство геометрической прогрессии:

    Тригонометрия

    Пусть имеется прямоугольный треугольник:

    Тогда, определение синуса:

    Основное тригонометрическое тождество:

    Простейшие следствия из основного тригонометрического тождества:

    Формулы двойного угла

    Синус двойного угла:

    Косинус двойного угла:

    Тангенс двойного угла:

    Котангенс двойного угла:

    Тригонометрические формулы сложения

    Тригонометрические формулы преобразования суммы в произведение

    Тригонометрические формулы преобразования произведения в сумму

    Произведение синуса и косинуса:

    Формулы понижения степени

    Формула понижения степени для синуса:

    Формула понижения степени для косинуса:

    Формула понижения степени для тангенса:

    Формула понижения степени для котангенса:

    Формулы половинного угла

    Формула половинного угла для тангенса:

    Формула половинного угла для котангенса:

    Тригонометрические формулы приведения

    Формулы приведения задаются в виде таблицы:

    Тригонометрическая окружность

    По тригонометрической окружности легко определять табличные значения тригонометрических функций:

    Тригонометрические уравнения

    Формулы решений простейших тригонометрических уравнений. Для синуса существует две равнозначные формы записи решения:

    Для остальных тригонометрических функций запись однозначна. Для косинуса:

    Решение тригонометрических уравнений в некоторых частных случаях:

    Геометрия на плоскости (планиметрия)

    Пусть имеется произвольный треугольник:

    Тогда, сумма углов треугольника:

    Площадь треугольника через две стороны и угол между ними:

    Площадь треугольника через сторону и высоту опущенную на неё:

    Полупериметр треугольника находится по следующей формуле:

    Формула Герона для площади треугольника:

    Площадь треугольника через радиус описанной окружности:

    Основное свойство высот треугольника:

    Еще одно полезное свойство высот треугольника:

    Теорема косинусов:

    Теорема синусов:

    Радиус окружности, вписанной в правильный треугольник:

    Радиус окружности, описанной около правильного треугольника:

    Площадь правильного треугольника:

    Теорема Пифагора для прямоугольного треугольника (c — гипотенуза, a и b — катеты):

    Радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник:

    Радиус окружности, описанной вокруг прямоугольного треугольника:

    Площадь прямоугольного треугольника (h — высота опущенная на гипотенузу):

    Свойства высоты, опущенной на гипотенузу прямоугольного треугольника:

    Длина средней линии трапеции:

    Площадь параллелограмма через сторону и высоту опущенную на неё:

    Площадь параллелограмма через две стороны и угол между ними:

    Площадь квадрата через длину его стороны:

    Площадь квадрата через длину его диагонали:

    Площадь ромба (первая формула — через две диагонали, вторая — через длину стороны и угол между сторонами):

    Площадь прямоугольника через две смежные стороны:

    Площадь произвольного выпуклого четырёхугольника через две диагонали и угол между ними:

    Связь площади произвольной фигуры, её полупериметра и радиуса вписанной окружности (очевидно, что формула выполняется только для фигур в которые можно вписать окружность, т.е. в том числе для любых треугольников):

    Теорема о пропорциональных отрезках хорд:

    Теорема о касательной и секущей:

    Теорема о двух секущих:

    Теорема о центральном и вписанном углах (величина центрального угла в два раза больше величины вписанного угла, если они опираются на общую дугу):

    Свойство вписанных углов (все вписанные углы опирающиеся на общую дугу равны между собой):

    Свойство центральных углов и хорд:

    Свойство центральных углов и секущих:

    Условие, при выполнении которого возможно вписать окружность в четырёхугольник:

    Условие, при выполнении которого возможно описать окружность вокруг четырёхугольника:

    Сумма углов n-угольника:

    Центральный угол правильного n-угольника:

    Площадь правильного n-угольника:

    Длина окружности:

    Длина дуги окружности:

    Площадь круга:

    Площадь кругового сегмента:

    Геометрия в пространстве (стереометрия)

    Главная диагональ куба:

    Объём прямоугольного параллелепипеда:

    Главная диагональ прямоугольного параллелепипеда (эту формулу также можно назвать: «трёхмерная Теорема Пифагора»):

    Площадь боковой поверхности прямой призмы (P – периметр основания, l – боковое ребро, в данном случае равное высоте h):

    Объём кругового цилиндра:

    Площадь боковой поверхности прямого кругового цилиндра:

    Площадь боковой поверхности правильной пирамиды (P – периметр основания, l – апофема, т.е. высота боковой грани):

    Объем кругового конуса:

    Площадь боковой поверхности прямого кругового конуса:

    Длина образующей прямого кругового конуса:

    Объём шара:

    Площадь поверхности шара (или, другими словами, площадь сферы):

    Координаты

    Длина отрезка на координатной оси:

    Длина отрезка на координатной плоскости:

    Длина отрезка в трёхмерной системе координат:

    Координаты середины отрезка (для координатной оси используется только первая формула, для координатной плоскости — первые две формулы, для трехмерной системы координат — все три формулы):

    Таблица умножения

    Таблица квадратов двухзначных чисел

    Расширенная PDF версия документа «Все главные формулы по школьной математике»:

  6. Выучить все формулы и законы в физике, и формулы и методы в математике. На самом деле, выполнить это тоже очень просто, необходимых формул по физике всего около 200 штук, а по математике даже чуть меньше. В каждом из этих предметов есть около десятка стандартных методов решения задач базового уровня сложности, которые тоже вполне можно выучить, и таким образом, совершенно на автомате и без затруднений решить в нужный момент большую часть ЦТ. После этого Вам останется подумать только над самыми сложными задачами.
  7. Посетить все три этапа репетиционного тестирования по физике и математике. Каждый РТ можно посещать по два раза, чтобы прорешать оба варианта. Опять же на ЦТ, кроме умения быстро и качественно решать задачи, и знания формул и методов необходимо также уметь правильно спланировать время, распределить силы, а главное правильно заполнить бланк ответов, не перепутав ни номера ответов и задач, ни собственную фамилию. Также в ходе РТ важно привыкнуть к стилю постановки вопросов в задачах, который на ЦТ может показаться неподготовленному человеку очень непривычным.

Успешное, старательное и ответственное выполнение этих трех пунктов позволит Вам показать на ЦТ отличный результат, максимальный из того на что Вы способны.

Нашли ошибку?

Если Вы, как Вам кажется, нашли ошибку в учебных материалах, то напишите, пожалуйста, о ней на почту. Написать об ошибке можно также в социальной сети (адрес электронной почты и ссылки в социальных сетях здесь). В письме укажите предмет (физика или математика), название либо номер темы или теста, номер задачи, или место в тексте (страницу) где по Вашему мнению есть ошибка. Также опишите в чем заключается предположительная ошибка. Ваше письмо не останется незамеченным, ошибка либо будет исправлена, либо Вам разъяснят почему это не ошибка.

ЗАПРЕЩЕНО использование представленных на сайте материалов или их частей в любых коммерческих целях, а также их распространение, перепечатка или воспроизведение в любой форме. Нарушение прав правообладателей преследуется по закону.

Формулы сокращенного умножения:
степень суммы и степень разности

Формулы сокращенного умножения включают в себя следующие группы формул:

Степень суммы
Степень разности
Квадрат многочлена
Куб трехчлена
Сумма нечетных степеней
Разность нечетных степеней
Разность четных степеней

Степень суммы

Группа формул «Степень суммы» составляет Таблицу 1. Эти формулы можно получить, выполняя вычисления в следующем порядке:

(x + y) 2 = (x + y)(x + y) ,
(x + y) 3 = (x + y) 2 (x + y) ,
(x + y) 4 = (x + y) 3 (x + y)

Группу формул «Степень суммы» можно получить также с помощью треугольника Паскаля и с помощью бинома Ньютона, которым посвящены специальные разделы нашего справочника.

Таблица 1. – Степень суммы

Название формулы Формула
Квадрат (вторая степень)
суммы
(x + y) 2 = x 2 + 2xy + y 2
Куб (третья степень) суммы (x + y) 3 = x 3 + 3x 2 y + 3xy 2 + y 3
Четвертая степень суммы (x + y) 4 = x 4 + 4x 3 y + 6x 2 y 2 + 4xy 3 + y 4
Пятая степень суммы (x + y) 5 = x 5 + 5x 4 y + 10x 3 y 2 + 10x 2 y 3 + 5xy 4 + y 5
Шестая степень суммы (x + y) 6 = x 6 + 6x 5 y + 15x 4 y 2 + 20x 3 y 3 + 15x 2 y 4 + 6xy 5 + y 6

Квадрат (вторая степень) суммы

Куб (третья степень) суммы

Четвертая степень суммы

Пятая степень суммы

Шестая степень суммы

Общая формула для вычисления суммы

с произвольным натуральным значением n рассматривается в разделе «Бином Ньютона» нашего справочника.

Степень разности

Если в формулах из Таблицы 1 заменить y на – y , то мы получим группу формул «Степень разности» (Таблица 2.):

Таблица 2. – Степень разности

Название формулы Формула
Квадрат (вторая степень)
разности
(xy) 2 = x 2 – 2xy + y 2
Куб (третья степень) разности (xy) 3 = x 3 – 3x 2 y + 3xy 2 – y 3
Четвертая степень разности (xy) 4 = x 4 – 4x 3 y + 6x 2 y 2 – 4xy 3 + y 4
Пятая степень разности (xy) 5 = x 5 – 5x 4 y + 10x 3 y 2 – 10x 2 y 3 + 5xy 4 – y 5
Шестая степень разности (xy) 6 = x 6 – 6x 5 y + 15x 4 y 2 – 20x 3 y 3 + 15x 2 y 4 – 6xy 5 + y 6

Квадрат (вторая степень) разности

Куб (третья степень) разности

Четвертая степень разности

Пятая степень разности

Шестая степень разности

Квадрат многочлена

Следующая формула применяется достаточно часто и называется «Квадрат многочлена» :

Словами эту формулу можно выразить так: — «Квадрат многочлена равен сумме квадратов всех его членов плюс сумма всевозможных удвоенных произведений его членов».

Куб трехчлена

Следующая формула называется «Куб трехчлена» :

Другие формулы сокращенного умножения приведены в разделе «Формулы сокращенного умножения: сумма степеней, разность степеней» нашего справочника.

Равносильные формулы алгебры логики

Определение. Две формулы алгебры логики A и B называются равносильными, если они принимают одинаковые логические значения при любом наборе значений входящих в формулы элементарных высказываний (переменных).

Обозначение. A ? B .

.

Определение. Формула A называется тождественно истинной (тавтологией), если она принимает значение 1 при всех значениях входящих в нее переменных (напр., ).

Определение. Формула A называется тождественно ложной (противоречием), если она принимает значение 0 при всех значениях входящих в нее переменных (напр., ).

Утверждение. Отношение равносильности рефлексивно, симметрично, транзитивно.

Связь между понятиями равносильности и эквивалентности: если формулы A и B равносильны, то формула A — B тавтология, и обратно, если формула A — B тавтология, то формулы A и B равносильны.

Равносильности алгебры логики можно разбить на 3 группы:

1. Основные равносильности.

· – законы идемпотентности;

· ;

· ;

· ;

· ;

· – закон противоречия;

· – закон исключенного третьего;

· – закон снятия двойного отрицания;

· – законы поглощения.

1. Равносильности, выражающие одни логические операции через другие:

· ;

· ;

· ;

· ;

· ;

· .

Замечание. Из равносильностей группы 2 следует, что всякую формулу алгебры логики можно заменить равносильной ей формулой, содержащей только две логические операции: конъюнкцию и отрицание, или дизъюнкцию и отрицание. Дальнейшее исключение операций невозможно. Например, если использовать только конъюнкцию, то уже такая простая формула, как не может быть выражена с помощью операции конъюнкции.

Существуют операции, с помощью которых может быть выражена любая из 5 логических операций:

1) Связка Шеффера – дизъюнкция отрицаний.

Обозначение. x | y ? (« x не совместно с y »).

Логические значения связки Шеффера описываются следующей таблицей истинности:

Имеют место следующие равносильности: а) ; б) .

2) Связка Лукасевича – конъюнкция отрицаний.

Обозначение . x v y ? («ни x , ни y »).

Логические значения связки Лукасевича описываются следующей таблицей истинности:

2. Равносильности, выражающие основные законы алгебры логики:

· – коммутативность конъюнкции;

· – коммутативность дизъюнкции;

· – ассоциативность конъюнкции;

· – ассоциативность дизъюнкции;

· – дистрибутивность конъюнкции относительно дизъюнкции;

· – дистрибутивность дизъюнкции относительно конъюнкции.

Замечание. Равносильности группы 3 показывают, что над формулами алгебры логики можно проводить те же преобразования, что и в алгебре чисел.

Равносильные преобразования формул

Используя равносильности групп 1–3 можно часть формулы или формулу заменить равносильной ей формулой. Такие преобразования формул называются равносильными.

Равносильные преобразования используются для доказательства равносильностей , для приведения формул к заданному виду, для упрощения формул. Формула A считается проще равносильной ей формулы B , если она содержит меньше букв, меньше логических операций. При этом обычно операции эквивалентность и импликация заменяются операциями дизъюнкции и конъюнкции, а отрицание относят к элементарным высказываниям.

Читайте так же:

  • Реклама на крыше как называется Виды рекламы виды рекламы по месту и способу размещения; виды рекламы в зависимости от цели рекламы; виды рекламы по масштабности и объекту воздействия: ATL и BTL; В зависимости от […]
  • Сушеный абрикос без косточкой как называется Плоды абрикоса привлекательны для рациона человека превосходными вкусовыми качествами и богатым химическим составом. Поэтому они популярны в кулинарии, косметологии и нетрадиционной […]
  • Мужские стрижки как называются Виды мужских стрижек Рано или поздно перед желающим постричься мужчиной встает проблема выбора прически. Основная трудность ее заключается в невозможности быстро сориентироваться среди […]
  • Как называется конёк крыши Владельцы частных домов должны заботиться не только о привлекательном облике кровли, но и о ее защите. Для этого нужно обеспечивать кровельным полотнам надежную герметизацию – защиту от […]
  • Гвоздики серьги как называются Как называются серьги-гвоздики? Массивные украшения могут проиграть аккуратному и элегантному ювелирному изделию. В качестве подтверждения этой теории достаточно ознакомиться с […]
  • Как называется выезд из страны на постоянное место жительства Что такое иммиграция и эмиграция, и чем они отличаются Преобладающая часть людей не различает такие понятия, как эмиграция и иммиграция, и пользуются ими абсолютно не умело. На деле эти […]

Leave a Reply

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *