Что будет если положительное число умножить на отрицательное

Умножение отрицательных чисел, правило, примеры.

В этой статье мы разберемся с процессом умножения отрицательных чисел. Сначала сформулируем правило умножения отрицательных чисел и обоснуем его. После этого перейдем к решению характерных примеров.

Навигация по странице.

Правило умножения отрицательных чисел

Сразу озвучим правило умножения отрицательных чисел: чтобы умножить два отрицательных числа, надо перемножить их модули.

Запишем это правило с помощью букв: для любых отрицательных действительных чисел ?a и ?b (при этом числа a и b – положительные) справедливо равенство (?a)·(?b)=a·b .

Докажем правило умножения отрицательных чисел, то есть, докажем равенство (?a)·(?b)=a·b .

В статье умножение чисел с разными знаками мы обосновали справедливость равенства a·(?b)=?a·b , аналогично показывается, что (?a)·b=?a·b . Эти результаты и свойства противоположных чисел позволяют записать следующие равенства (?a)·(?b)=?(a·(?b))=?(?(a·b))=a·b . Это доказывает правило умножения отрицательных чисел.

Из приведенного правила умножения понятно, что произведение двух отрицательных чисел является положительным числом. Действительно, так как модуль любого числа является положительным, то произведение модулей также является положительным числом.

В заключение этого пункта отметим, что рассмотренное правило можно использовать для умножения действительных чисел, рациональных чисел и целых чисел.

Примеры умножения отрицательных чисел

Пришло время разобрать примеры умножения двух отрицательных чисел, при решении будем пользоваться правилом, полученном в предыдущем пункте.

Перемножьте два отрицательных числа ?3 и ?5 .

Модули умножаемых чисел равны 3 и 5 соответственно. Произведение этих чисел равно 15 (при необходимости смотрите умножение натуральных чисел), таким образом, произведение исходных чисел равно 15 .

Весь процесс умножения исходных отрицательных чисел кратко записывается так: (?3)·(?5)= 3·5=15 .

Умножение отрицательных рациональных чисел с помощью разобранного правила можно свести к умножению обыкновенных дробей, умножению смешанных чисел или умножению десятичных дробей.

Вычислите произведение (?0,125)·(?6) .

По правилу умножения отрицательных чисел имеем (?0,125)·(?6)=0,125·6 . Осталось лишь закончить вычисления, выполним умножение десятичной дроби на натуральное число столбиком:

Наконец, заметим, что если один или оба множителя являются иррациональными числами, заданными в виде корней, логарифмов, степеней и т.п., то их произведение часто приходится записывать как числовое выражение. Значение полученного выражения вычисляется лишь при необходимости.

Проведите умножение отрицательного числа на отрицательное число .

Найдем сначала модули умножаемых чисел: и (смотрите свойства логарифма). Тогда по правилу умножения отрицательных чисел имеем . Полученное произведение и является ответом.

.

Продолжить изучение темы можно, обратившись к разделу умножение действительных чисел.

Умножение отрицательных чисел

Используя понятие модуля числа, сформулируем правила умножения положительных и отрицательных чисел.

Умножение чисел с одинаковыми знаками

Первый случай, который может вам встретиться — это умножение чисел с одинаковыми знаками.

Чтобы умножить два числа с одинаковыми знаками надо:

  • перед полученным произведением поставить знак « + » (при записи ответа знак «плюс» перед первым числом слева можно опускать).
  • Умножение чисел с разными знаками

    Второй возможный случай — это умножение чисел с разными знаками.

    Чтобы умножить два числа с разными знаками, надо:

    • перемножить модули чисел;
    • перед полученным произведением поставить знак « ? ».
    • Примеры умножения отрицательных и положительных чисел.

      Правила знаков для умножения

      Запомнить правило знаков для умножения очень просто. Данное правило совпадает с правилом раскрытия скобок.

      Минус на минус даёт плюс,

      Плюс на минус даёт минус.

      В «длинных» примерах, в которых есть только действие умножение, знак произведения можно определять по количеству отрицательных множителей.

      При чётном числе отрицательных множителей результат будет положительным, а при нечётном количестве — отрицательным.

      В примере пять отрицательных множителей. Значит, знак результата будет «минус».

      Теперь вычислим произведение модулей, не обращая внимание на знаки.

      Конечный результат умножения исходных чисел будет:

      Умножение на ноль и единицу

      Если среди множителей есть число ноль или положительная единица, то умножение выполняется по известным правилам.

      Особую роль при умножении рациональных чисел играет отрицательная единица « ?1 ».

      При умножении на « ?1 » число меняется на противоположное.

      В буквенном выражении это свойство можно записать:

      При совместном выполнении сложения, вычитания и умножения рациональных чисел сохраняется порядок действий, установленный для положительных чисел и нуля.

      Пример умножения отрицательных и положительных чисел.

      Умножение положительных и отрицательных чисел

      Этот видеоурок доступен по абонементу

      У вас уже есть абонемент? Войти

      Выразив одно из слагаемых, это выражение можно записать иначе:

      То есть, вычитая из нуля любое число, получаем противоположное.

      2. Для сложения чисел с одинаковыми знаками отбрасываем знаки чисел и берем их модули. Далее складываем модули и перед суммой поставим знак, который был общим у данных чисел.

      3. Для сложения чисел с разными знаками отбрасываем знаки перед числами, из большего модуля вычитаем меньший, перед разностью ставим тот знак, который был у числа с бОльшим модулем.

      Умножение на 1 и –1

      При умножении на единицу ничего не меняется, то есть любое число можно представить в виде произведения его же на единицу.

      При умножении на (–1) число меняется на противоположное, то есть любое отрицательное число можно представить в виде произведения положительного числа и (–1).

      Любое положительное число можно представить как произведение отрицательного числа на (–1).

      Если число умножить один раз на (–1), то оно изменит знак. Если два раза, то оно изменит знак два раза, то есть вернется в исходное положение.

      Умножение чисел с разными знаками

      Рассмотрим примеры произведения чисел с разными знаками:

      1.

      Каждое отрицательное число представим в виде произведения (–1) и положительного числа.

      Произведение (–1) на (–1) – это будет единица, следовательно:

      2.

      Представляем (–5) в виде произведения 5 на (–1):

      3.

      Правила знаков для умножения

      1. При четном числе отрицательных множителей (четное число минусов) результат будет положительным.

      2. При нечетном числе отрицательных множителей результат будет отрицательным.

      1.

      В данном выражении один отрицательный множитель, поэтому результат будет отрицательным.

      2.

      В данном выражении четное количество отрицательных множителей, поэтому результат будет положительным.

      Рис. 1. Правила знаков для умножения (Источник)

      Свойство умножения на ноль остается верным и в случае отрицательных чисел. Ноль умножить на любое число – будет ноль.

      Список литературы

    • Виленкин Н.Я., Жохов В.И., Чесноков А.С., Шварцбурд С.И. Математика 6. – М.: Мнемозина, 2020.
    • Мерзляк А.Г., Полонский В.В., Якир М.С. Математика 6 класс. – Гимназия. 2006.
    • Депман И.Я., Виленкин Н.Я. За страницами учебника математики. – М.: Просвещение, 1989.
    • Рурукин А.Н., Чайковский И.В. Задания по курсу математика 5–6 класс. – М.: ЗШ МИФИ, 2011.
    • Рурукин А.Н., Сочилов С.В., Чайковский К.Г. Математика 5–6. Пособие для учащихся 6-х классов заочной школы МИФИ. – М.: ЗШ МИФИ, 2011.
    • Шеврин Л.Н., Гейн А.Г., Коряков И.О., Волков М.В. Математика: Учебник-собеседник для 5–6 классов средней школы. – М.: Просвещение, Библиотека учителя математики, 1989.
    • Домашнее задание

      1. Вопросы в конце раздела 35 (§7), задание 1121 (стр. 192) – Виленкин Н.Я., Жохов В.И., Чесноков А.С., Шварцбурд С.И. Математика 6 (Источник)
      2. Температура воздуха понижается каждый час на 2 градуса. Сейчас термометр показывает нуль градусов. Какую температуру он покажет через 3 часа?
      3. Найдите значение выражений:

      4. Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

        1. Интернет-портал Mnemonica.ru (Источник).
        2. Интернет-портал Youtube.com (Источник).
        3. Интернет-портал School-assistant.ru (Источник).
        4. Интернет-портал Bymath.net (Источник).

        Если вы нашли ошибку или неработающую ссылку, пожалуйста, сообщите нам – сделайте свой вклад в развитие проекта.

        Умножение отрицательных чисел: правило, примеры

        В данной статье сформулируем правило умножения отрицательных чисел и дадим ему объяснение. Будет подробно рассмотрен процесс умножения отрицательных чисел. На примерах показаны все возможные случаи.

        Умножение отрицательных чисел

        Правило умножения отрицательных чисел заключается в том, что для того, чтобы умножить два отрицательных числа, необходимо перемножить их модули. Данное правило записывается так: для любых отрицательных чисел – a , — b данное равенство считается верным.

        Выше приведено правило умножения двух отрицательных чисел. Исходя из него, докажем выражение: ( — а ) · ( — b ) = a · b . Статья умножение чисел с разными знаками рассказывает о том, что равенств а · ( — b ) = — a · b справедливое, как и ( — а ) · b = — a · b . Это следует из свойства противоположных чисел, благодаря которому равенства запишутся следующим образом:

        ( — a ) · ( — b ) = ( — a · ( — b ) ) = — ( — ( a · b ) ) = a · b .

        Тут явно видно доказательство правила умножения отрицательных чисел. Исходя из примеров явно, что произведение двух отрицательных чисел – положительное число. При перемножении модулей чисел результат всегда положительное число.

        Данное правило применимо для умножения действительных чисел, рациональных чисел, целых чисел.

        Теперь рассмотрим подробно примеры умножения двух отрицательных чисел. При вычислении необходимо пользоваться правилом, написанным выше.

        Произвести умножение чисел — 3 и — 5 .

        Решение.

        По модулю умножаемые данные два числа равны положительным числам 3 и 5 . Их произведение дает в результате 15 . Отсюда следует, что произведение заданных чисел равно 15

        Запишем кратко само умножение отрицательных чисел:

        ( — 3 ) · ( — 5 ) = 3 · 5 = 15

        Ответ: ( — 3 ) · ( — 5 ) = 15 .

        При умножении отрицательных рациональных чисел, применив разобранное правило, можно мобилизоваться к умножению дробей, умножению смешанных чисел, умножению десятичных дробей.

        Вычислить произведение ( — 0 , 125 ) · ( — 6 ) .

        Используя правило умножения отрицательных чисел, получим, что ( ? 0 , 125 ) · ( ? 6 ) = 0 , 125 · 6 . Для получения результата необходимо выполнить умножение десятичной дроби на натуральное число столбиков. Это выглядит так:

        Получили, что выражение примет вид ( ? 0 , 125 ) · ( ? 6 ) = 0 , 125 · 6 = 0 , 75 .

        Ответ: ( ? 0 , 125 ) · ( ? 6 ) = 0 , 75 .

        В случае, когда множители – иррациональные числа, тогда их произведение может быть записано в виде числового выражения. Значение вычисляется только по необходимости.

        Необходимо произвести умножение отрицательного — 2 на неотрицательное log 5 1 3 .

        Находим модули заданных чисел:

        — 2 = 2 и log 5 1 3 = — log 5 3 = log 5 3 .

        Следуя из правил умножения отрицательных чисел, получим результат — 2 · log 5 1 3 = — 2 · log 5 3 = 2 · log 5 3 . Это выражение и является ответом.

        Ответ: — 2 · log 5 1 3 = — 2 · log 5 3 = 2 · log 5 3 .

        Для продолжения изучения темы необходимо повторить раздел умножение действительных чисел.

        Почему минус на минус дает плюс?

        1) Почему минус один умножить на минус один равно плюс один?
        2) Почему минус один умножить на плюс один равно минус один?

        «Враг моего врага — мой друг».

        Проще всего ответить: «Потому что таковы правила действий над отрицательными числами». Правила, которые мы учим в школе и применяем всю жизнь. Однако учебники не объясняют, почему правила именно такие. Мы сначала постараемся понять это, исходя из истории развития арифметики, а потом ответим на этот вопрос с точки зрения современной математики.

        Давным-давно людям были известны только натуральные числа: 1, 2, 3, . Их использовали для подсчета утвари, добычи, врагов и т. д. Но числа сами по себе довольно бесполезны — нужно уметь с ними обращаться. Сложение наглядно и понятно, к тому же сумма двух натуральных чисел — тоже натуральное число (математик сказал бы, что множество натуральных чисел замкнуто относительно операции сложения). Умножение — это, по сути, то же сложение, если мы говорим о натуральных числах. В жизни мы часто совершаем действия, связанные с этими двумя операциями (например, делая покупки, мы складываем и умножаем), и странно думать, что наши предки сталкивались с ними реже — сложение и умножение были освоены человечеством очень давно. Часто приходится и делить одни величины на другие, но здесь результат не всегда выражается натуральным числом — так появились дробные числа.

        Без вычитания, конечно, тоже не обойтись. Но на практике мы, как правило, вычитаем из большего числа меньшее, и нет нужды использовать отрицательные числа. (Если у меня есть 5 конфет и я отдам сестре 3, то у меня останется 5 – 3 = 2 конфеты, а вот отдать ей 7 конфет я при всем желании не могу.) Этим можно объяснить, почему люди долго не пользовались отрицательными числами.

        В индийских документах отрицательные числа фигурируют с VII века н.э.; китайцы, видимо, начали употреблять их немного раньше. Их применяли для учета долгов или в промежуточных вычислениях для упрощения решения уравнений — это был лишь инструмент для получения положительного ответа. Тот факт, что отрицательные числа, в отличие от положительных, не выражают наличие какой-либо сущности, вызывал сильное недоверие. Люди в прямом смысле слова избегали отрицательных чисел: если у задачи получался отрицательный ответ, считали, что ответа нет вовсе. Это недоверие сохранялось очень долго, и даже Декарт — один из «основателей» современной математики — называл их «ложными» (в XVII веке!).

        Рассмотрим для примера уравнение . Его можно решать так: перенести члены с неизвестным в левую часть, а остальные — в правую, получится , , . При таком решении нам даже не встретились отрицательные числа.

        Но можно было случайно сделать и по-другому: перенести слагаемые с неизвестным в правую часть и получить , . Чтобы найти неизвестное, нужно разделить одно отрицательное число на другое: . Но правильный ответ известен, и остается заключить, что .

        Что демонстрирует этот нехитрый пример? Во-первых, становится понятна логика, которой определялись правила действий над отрицательными числами: результаты этих действий должны совпадать с ответами, которые получаются другим путем, без отрицательных чисел. Во-вторых, допуская использование отрицательных чисел, мы избавляемся от утомительного (если уравнение окажется посложнее, с большим числом слагаемых) поиска того пути решения, при котором все действия производятся только над натуральными числами. Более того, мы можем больше не думать каждый раз об осмысленности преобразуемых величин — а это уже шаг в направлении превращения математики в абстрактную науку.

        Правила действий над отрицательными числами сформировались не сразу, а стали обобщением многочисленных примеров, возникавших при решении прикладных задач. Вообще, развитие математики можно условно разбить на этапы: каждый следующий этап отличается от предыдущего новым уровнем абстракции при изучении объектов. Так, в XIX веке математики поняли, что у целых чисел и многочленов, при всей их внешней непохожести, есть много общего: и те, и другие можно складывать, вычитать и перемножать. Эти операции подчиняются одним и тем же законам — как в случае с числами, так и в случае с многочленами. А вот деление целых чисел друг на друга, чтобы в результате снова получались целые числа, возможно не всегда. То же самое и с многочленами.

        Потом обнаружились другие совокупности математических объектов, над которыми можно производить такие операции: формальные степенные ряды, непрерывные функции. Наконец, пришло понимание, что если изучить свойства самих операций, то потом результаты можно будет применять ко всем этим совокупностям объектов (такой подход характерен для всей современной математики).

        В итоге появилось новое понятие: кольцо. Это всего-навсего множество элементов плюс действия, которые можно над ними производить. Основополагающими здесь являются как раз правила (их называют аксиомами), которым подчиняются действия, а не природа элементов множества (вот он, новый уровень абстракции!). Желая подчеркнуть, что важна именно структура, которая возникает после введения аксиом, математики говорят: кольцо целых чисел, кольцо многочленов и т. д. Отталкиваясь от аксиом, можно выводить другие свойства колец.

        Мы сформулируем аксиомы кольца (которые, естественно, похожи на правила действий с целыми числами), а затем докажем, что в любом кольце при умножении минуса на минус получается плюс.

        Кольцом называется множество с двумя бинарными операциями (т. е. в каждой операции задействованы два элемента кольца), которые по традиции называют сложением и умножением, и следующими аксиомами:

        • сложение элементов кольца подчиняется переместительному ( для любых элементов A и B) и сочетательному () законам; в кольце есть специальный элемент 0 (нейтральный элемент по сложению) такой, что , и для любого элемента A есть противоположный элемент (обозначаемый ), что ;
        • умножение подчиняется сочетательному закону: ;
        • сложение и умножение связаны такими правилами раскрытия скобок: и .
        • Заметим, что кольца, в самой общей конструкции, не требуют ни перестановочности умножения, ни его обратимости (т. е. делить можно не всегда), ни существования единицы — нейтрального элемента по умножению. Если вводить эти аксиомы, то получаются другие алгебраические структуры, но в них будут верны все теоремы, доказанные для колец.

          Теперь докажем, что для любых элементов A и B произвольного кольца верно, во-первых, , а во-вторых . Из этого легко следуют утверждения про единицы: и .

          Для этого нам потребуется установить некоторые факты. Сперва докажем, что у каждого элемента может быть только один противоположный. В самом деле, пусть у элемента A есть два противоположных: B и С. То есть . Рассмотрим сумму . Пользуясь сочетательным и переместительным законами и свойством нуля, получим, что, с одной стороны, сумма равна B: , а с другой стороны, она равна C: . Значит, .

          Заметим теперь, что и A, и являются противоположными к одному и тому же элементу , поэтому они должны быть равны.

          Первый факт получается так: , то есть противоположно .

          Чтобы быть математически строгими, объясним еще, почему для любого элемента B. В самом деле, . То есть прибавление не меняет сумму. Значит, это произведение равно нулю.

          А то, что в кольце ровно один ноль (ведь в аксиомах сказано, что такой элемент существует, но ничего не сказано про его единственность!), мы оставим читателю в качестве несложного упражнения.

          Умножение и деление чисел с разными знаками

          Положительные и отрицательные числа изучаются в самом начале курса математики, в шестом классе. Хотя дальнейшее обучение требует постоянно работать с этими числами, неудивительно, что по прошествии времени некоторые мелочи забываются — и люди начинают совершать грубые ошибки.

          Умножение и деление — одни из самых частых действий с числами, имеющими разные знаки. Разберемся и вспомним, как нужно перемножать и делить такие числа между собой, ставя в ответе правильный знак.

          Умножение чисел с разными знаками

          Это правило — одно из самых простых в арифметике.

        • Если перед нами есть некое положительное число «а», и его требуется умножить на отрицательное число «z», то мы просто перемножаем числа — а потом ставим перед результатом знак «минус».
        • Можно сказать и так — чтобы умножить друг на друга числа с разными знаками, нужно перемножить между собой модули множителей, а потом вернуть знак «минус» в ответ.
        • Для утверждения справедлива следующая цифровая запись: -а*z = — (|а|*|z|). Также напомним, что для нуля действуют особые правила — если на него умножается какое-либо число, положительное или отрицательное, ответ в любом случае будет равен нулю.

          Возьмем пару простых примеров.

        • Если выражение выглядит, как – 5*6, то решать его нужно следующим образом: -5*6 = — (|5|*|6|) = — 30.
        • Если выражение следующего типа — — 7*0, то в ответе сразу пишется 0.
        • Деление чисел с разными знаками

          Для таких случаев тоже действует очень простое правило. Оно похоже на предыдущее — если задача требует разделить «–а» на «b», или «a» на «–b», то для начала мы берем модули чисел, их абсолютные значения, и совершаем процесс деления безо всякой перестановки делимого и делителя.

          Таким образом находится частное — а затем к нему добавляется знак «минус». Неважно, выступает ли в роли делимого отрицательное число, или наоборот, мы делим число со знаком «плюс» на отрицательное — ответ всегда будет со знаком «минус». Иначе говоря, числовым методом мы записываем это так: -a : b = — (|a| : |b|).

          Например, — 10: 2 = — (10:2) = — 5, или 21: (-3) = — (21:3) = — 7. В конечном итоге деление совсем не сложное и сводится к привычным нам действиям над модулями чисел.

          И точно так же, как в предыдущем случае, на особенном положении находится нуль. Его присутствие в выражении автоматически дает нуль в ответе. И неважно, это 0:а или а:0 — и попытка деления нуля, и деление на нуль дают одинаковый результат.

          Что будет если положительное число умножить на отрицательное

          Правильно ли мы понимаем умножение?

          «- А и Б сидели на трубе. А упало, Б пропало, что осталось на трубе?
          — Осталась ваша буква И».

          (Из к/ф «Отроки во Вселенной»)

          Почему при умножении числа на ноль получается ноль?

          Почему при перемножении двух отрицательных чисел получается положительное число?

          Что только не придумывают педагоги, чтобы дать ответы на эти два вопроса.

          Но никому не хватает смелости признать, что в формулировке умножения три смысловые ошибки!

          Возможны ли ошибки в основах арифметики? Ведь математика позиционирует себя точной наукой.

          Школьные учебники математики не дают ответов на эти вопросы, заменяя объяснения набором правил, которые нужно запомнить. Может быть считают эту тему трудной для объяснения в средних классах школы? Попробуем разобраться в этих вопросах.

          7 — множимое. 3 — множитель. 21- произведение.

          По официальной формулировке:

        • умножить число на другое число — значит сложить столько множимых, сколько предписывает множитель.

        По принятой формулировке множитель 3 говорит нам о том, что в правой части равенства должно быть три семерки.

        Но эта формулировка умножения не может объяснить поставленные выше вопросы.

        Исправим формулировку умножения

        Обычно в математике многое имеют в виду, но об этом не говорят и не записывают.

        Имеется в виду знак плюс перед первой семеркой в правой части равенства. Запишем этот плюс.

        Но к чему прибавляется первая семерка. Имеется в виду, что к нулю, разумеется. Запишем и ноль.

        А если мы будем умножать на три минус семь?

        Мы записываем сложение множимого -7, на самом деле мы производим многократное вычитание из нуля. Раскроем скобки.

        Теперь можно дать уточненную формулировку умножения.

      5. Умножение — это многократное прибавление к нулю (или вычитание из нуля) множимого (-7) столько раз, сколько указывает множитель. Множитель (3) и его знак (+ или -) указывает количество операций прибавления к нулю или вычитания из нуля.
      6. По этой уточненной и несколько измененной формулировке умножения легко объясняются «правила знаков» при умножении, когда множитель отрицательный.

        7 * (-3) — должно быть после нуля три знака «минус» = 0 — (+7) — (+7) — (+7) = — 21

        — 7 * (-3) — снова должно быть после нуля три знака «минус» =

        = 0 — (-7) — (-7) — (-7) = 0 + 7 + 7 + 7 = + 21

        Умножение на ноль

        7 * 0 = 0 + . нет операций прибавления к нулю.

        Если умножение это прибавление к нулю, а множитель показывает количество операций прибавления к нулю, то множитель ноль показывает, что к нулю ничего не прибавляется. Поэтому и остается ноль.

        Итак, в существующей формулировке умножения мы нашли три смысловые ошибки, которые блокируют понимание двух «правил знаков» (когда множитель отрицательный) и умножение числа на ноль.

      7. Нужно не складывать множимое, а прибавлять его к нулю.
      8. Умножение это не только прибавление к нулю, но и вычитание из нуля.
      9. Множитель и его знак показывают не количество слагаемых, а количество знаков плюс или минус при разложении умножения на слагаемые (или вычитаемые).
      10. Несколько уточнив формулировку, нам удалось объяснить правила знаков при умножении и умножение числа на ноль без помощи переместительного закона умножения, без распределительного закона, без привлечения аналогий с числовой прямой, без уравнений, без доказательств от обратного и т.п.

        Правила знаков по уточненной формулировке умножения выводятся очень просто.

        -7 * (+3) = 0 + (-7) + (-7) + (-7) = 0 — 7 — 7 — 7 = -21 (- + = -)

        +7 * (-3) = 0 — (+7) — (+7) — (+7) = 0 — 7 — 7 — 7 = -21 (+ — = -)

        -7 * (-3) = 0 — (-7) — (-7) — (-7) = 0 + 7 + 7 + 7 = +21 (- — = +)

        Множитель и его знак (+3 или -3) указывает на количество знаков «+» или «-» в правой части равенства.

        Измененная формулировка умножения соответствует операции возведения числа в степень.

        2^0 = 1 (единица ни на что не умножается и не делится, поэтому остается единицей)

        2^-2 = 1 : 2 : 2 = 1/4

        2^-3 = 1 : 2 : 2 : 2 = 1/8

        Математики согласны, что возведение числа в положительную степень — это многократное умножение единицы. А возведение числа в отрицательную степень — это многократное деление единицы.

        Операция умножения должна быть аналогична операции возведения в степень.

        2*0 = 0 (к нулю ничего не прибавляется и из нуля ничего не вычитается)

        Измененная формулировка умножения ничего не меняет в математике, но возвращает первоначальный смысл операции умножения, объясняет «правила знаков», умножение числа на ноль, согласовывает умножение с возведением в степень.

        Проверим, согласуется ли наша формулировка умножения с операцией деления.

        15 : 5 = 3 (обратная операция умножения 5 * 3 = 15)

        Частное (3) соответствует количеству операций прибавления к нулю (+3) при умножении.

        Разделить число 15 на 5 — значит найти, сколько раз нужно вычесть 5 из 15-ти. Делается это последовательным вычитанием до получения нулевого результата.

        Чтобы найти результат деления, нужно подсчитать количество знаков «минус». Их три.

        15 : 5 = 3 операции вычитания пятерки из 15 до получения нуля.

        15 — 5 — 5 — 5 = 0 (деление 15 : 5)

        0 + 5 + 5 + 5 = 15 (умножение 5 * 3)

        Деление с остатком.

        17 : 5 = 3 и 2 остаток

        Если есть деление с остатком, почему нет умножения с придатком?

        2 + 5 * 3 = 0 + 2 + 5 + 5 + 5 = 17

        Смотрим разницу формулировок на калькуляторе

        Существующая формулировка умножения (три слагаемых).

        Исправленная формулировка умножения (три операции прибавления к нулю).

        (Три раза нажимаем «равняется».)

        Множитель 3 указывает, что к нулю нужно прибавить множимое 10 три раза.

        Попробуйте выполнить умножение (-10) * (-3) путем сложения слагаемого (-10) минус три раза!

        Что значит знак минус у тройки? Может так?

        Опс. Не получается разложить произведение на сумму (или разность) слагаемых (-10).

        С помощью измененной формулировки это выполняется правильно.

        (-10) * (-3) = 0 — (-10) — (-10) — (-10) = 0 + 10 + 10 + 10 = 30

        Множитель (-3) указывает, что из нуля нужно вычесть множимое (-10) три раза.

        Правила знаков при сложении и вычитании

        Выше был показан простой способ вывода правил знаков при умножении, путем изменения смысла формулировки умножения.

        Но для вывода мы использовали правила знаков при сложении и вычитании. Они почти такие же, как и для умножения. Создадим визуализацию правил знаков для сложения и вычитания, чтобы и первокласснику было понятно.

        Что такое «минус», «отрицательный»?

        Ничего отрицательного в природе нет. Нет отрицательной температуры, нет отрицательного направления, нет отрицательной массы, нет отрицательных зарядов. Даже синус по своей природе может быть только положительным.

        Но математики придумали отрицательные числа. Для чего? Что означает «минус»?

        Минус означает противоположное направление. Левый — правый. Верх — низ. По часовой стрелке — против часовой стрелки. Вперед — назад. Холодно — горячо. Легкий — тяжелый. Медленно — быстро. Если подумать, можно привести много других примеров, где удобно использовать отрицательные значения величин.

        В известном нам мире бесконечность начинается с нуля и уходит в плюс бесконечность.

        «Минус бесконечности» в реальном мире не существует. Это такая же математическая условность, как и понятие «минус».

        Итак, «минус» обозначает противоположное направление: движения, вращения, процесса, умножения, сложения. Проанализируем разные направления при сложении и вычитании положительных и отрицательных (увеличивающихся в другом направлении) чисел.

        Сложность понимания правил знаков при сложении и вычитании связана с тем, что обычно эти правила пытаются объяснить на числовой прямой. На числовой прямой смешиваются три разные составляющие, из которых выводятся правила. И из-за смешивания, из-за сваливания разных понятий в одну кучу, создаются трудности понимания.

        Для понимания правил, нам нужно разделить:

      11. первое слагаемое и сумму (они будут на горизонтальной оси);
      12. второе слагаемое (оно будет на вертикальной оси);
      13. направление операций сложения и вычитания.
      14. Такое разделение наглядно показано на рисунке. Мысленно представьте, что вертикальная ось может вращаться, накладываясь на горизонтальную ось.

        Операция сложения всегда выполняется вращением вертикальной оси по часовой стрелке (знак «плюс»). Операция вычитания всегда выполняется путем вращения вертикальной оси против часовой стрелки (знак «минус»).

        Пример. Схема в нижнем правом углу.

        Видно, что два рядом стоящих знака минуса (знак операции вычитания и знак числа 3) имеют разный смысл. Первый минус показывает направление вычитания. Второй минус — знак числа на вертикальной оси.

        Находим первое слагаемое (-2) на горизонтальной оси. Находим второе слагаемое (-3) на вертикальной оси. Мысленно вращаем вертикальную ось против часовой стрелки до совмещения (-3) с числом (+1) на горизонтальной оси. Число (+1) есть результат сложения.

        дает такой же результат, как операция сложения на схеме в верхнем правом углу.

        Поэтому два рядом стоящих знака «минус» можно заменить одним знаком «плюс».

        Мы все привыкли пользоваться готовыми правилами арифметики, не задумываясь об их смысле. Поэтому мы часто даже не замечаем, чем правила знаков при сложении (вычитании) отличаются от правил знаков при умножении (делении). Кажется, они одинаковые? Почти. Незначительная разница видна на следующей иллюстрации.

        Теперь у нас есть все необходимое, чтобы вывести правила знаков для умножения. Последовательность вывода следующая.

      15. Наглядно показываем, как получаются правила знаков для сложения и вычитания.
      16. Вносим смысловые изменения в существующую формулировку умножения.
      17. На основе измененной формулировки умножения и правил знаков для сложения выводим правила знаков для умножения.
      18. Ниже написаны правила знаков при сложени и вычитании, полученные из визуализации. И красным цветом, для сравнения, те же правила знаков из учебника математики. Серый плюс в скобках — это плюс-невидимка, который не записывается у положительного числа.

        Между слагаемыми всегда два знака: знак операции и знак числа (плюс мы не записываем, но подразумеваем). Правила знаков предписывают замену одной пары знаков на другую пару без изменения результата сложения (вычитания). Фактически, правил всего два.

        Правила 1 и 3 (по визуализации) — дублируют правила 4 и 2.. Правила 1 и 3 в школьной интерпретации не совпадают с визуальной схемой, следовательно, они не относятся к правилам знаков при сложении. Это какие-то другие правила.

        Школьное правило 1. (красный цвет) разрешает заменять два плюса подряд одним плюсом. Правило не относится к замене знаков при сложении и вычитании.

        Школьное правило 3. (красный цвет) разрешает не записывать знак плюс у положительного числа после операции вычитания. Правило не относится к замене знаков при сложении и вычитании.

        Смысл правил знаков при сложении- замена одной ПАРЫ знаков другой ПАРОЙ знаков без изменения результата сложения.

        Школьные методисты смешали в одном правиле два правила:

        — два правила знаков при сложении и вычитании положительных и отрицательных чисел (замена одной пары знаков другой парой знаков);

        — два правила, по которым можно не писать знак «плюс» у положительного числа.

        Два разных правила, смешанных в одно, похожи на правила знаков при умножении, где из двух знаков следует третий. Похожи один в один.

        Здорово запутали! Ещё раз то же самое, для лучшего распутывания. Выделим красным цветом знаки операций, чтобы отличать их от знаков чисел.

        1. Сложение и вычитание. Два правила знаков, по которым взаимозаменяются пары знаков между слагаемыми. Знак операции и знак числа.

        2. Два правила, по которым знак плюс у положительного числа разрешается не писать. Это правила формы записи. К сложению не относятся. Для положительного числа записывается только знак операции.

        3. Четыре правила знаков при умножении. Когда из двух знаков множителей следует третий знак произведения. В правилах знаков для умножения только знаки чисел.

        Теперь, когда мы отделили правила формы записи, должно быть хорошо видно, что правила знаков для сложения и вычитания совсем не похожи на правила знаков при умножении.

        Дата размещения материала на сайте: 10 июля 2020 года

        Читайте так же:

        • Что делать если отчисляют за долги Отчисляют с последнего курса из-за долгов у меня за 5 курс второй семестр 9 долгов было а эта женщина декан 25 декабря заявляет мне что надо их сдать до 31 декабря иначе в январе они будут […]
        • Что делать если самп не устанавливается Не Могу Установить Самп На Гта Са Стим - #1 josste #2 Jaсkat Пользователи --> Читатель №: 19059 --> Репутация: --> 4 806 --> Пол: Не определился #3 Spartak! Пользователи […]
        • Что делать если я устала учиться Устала от однообразия и от учёбы:(( Здравствуйте! Мне 19. Последнее время у меня началась какя-то депрессия, всё надоело! Я думаю, это связано с учёбой. Весь 11 класс я готовилась к […]
        • Что будет если обновить айфон 4s на ios 84 Старые iPhone навсегда лишатся интернета и электронной почты из-за ошибки в iOS В смартфонах iPhone 4S и iPhone 5, а также в некоторых старых версиях планшетов iPad существует программная […]
        • Что делать если рыбки умирают одна за одной Умерли все рыбы за один день Сообщение Frohlich » 24 ноя 2020, 12:49 Сообщение Roman » 24 ноя 2020, 12:51 Сообщение Frohlich » 24 ноя 2020, 14:43 Пишу с телефона. Не очень получается […]
        • Что делать если воняет перегаром Как избавится от перегара. 5 методов которые помогут устранить неприятный запах Перегар – это недоокисленные продукты распада алкоголя которые бродят внутри человеческого организма после […]

    Leave a Reply

    Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *