Найдите значение выражения b a b если известно что

ВАРИАНТ 1 I часть II часть ( по алгебре можно решать одно задание по выбору 17.

    Галина Колзакова 2 лет назад Просмотров:

    1 ВАРИАНТ 1 I часть При выполнении заданий 1-15 следует записать только ответ. Правильное решение каждого задания оценивается одним баллом. 1. Выполните действия ( ). 2. При каком значении переменной выражение не имеет смысла? 3. Решите неравенство. 4. Найдите точку пересечения графика функции с осью. 5. Первый член геометрической прогрессии, а знаменатель. Найдите пятый член этой прогрессии. 6. Найдите натуральные числа, произведение которых равно, если известно, что одно из чисел на 2 меньше второго. 7. Сколько всего автомобилей было на стоянке, если 36 из них было белого цвета, что составляло всех автомобилей? 8.Сколько процентов часа составляют минут? 9. Решите систему уравнений < 10. В коробке черных и белых шаров. Из коробки наугад вынимается шар. Найти вероятность того, что этот шар белый. 11. Основания трапеции относятся как 3, а ее средняя линия равна 168 см. Найдите основания трапеции. 12. Точки ( ) и ( ) являются концами диаметра окружности. Найдите координаты центра окружности. 13.Движение переводит угол в другой угол. Чему равняется величина полученного угла? 14. Найдите абсолютную величину вектора ( ). 15. Сколько осей симметрии имеет прямоугольник, не являющийся квадратом? II часть Решение заданий должно содержать краткую запись без обоснования. Правильное решение каждого задания оценивается двумя баллами. 16. Найдите седьмой член и сумму четырнадцати первых членов арифметической прогрессии. 17. Упростите выражение

    2 18. Найдите площадь круга, описанного около правильного треугольника со стороной см. III часть Решение заданий должно содержать обоснование. В н?м необходимо записать 19. Постройте график функции. По графику найдите: а) область значений; б) при каких значениях функция принимает положительные значения. 20. Расстояние между двумя городами 93 км. Из одного города в другой выехал велосипедист. Через час навстречу ему из второго города выехал второй велосипедист, скорость которого была на 3 км/ч больше скорости первого. Велосипедисты встретились на расстоянии 45 км от первого города. Найдите скорость каждого велосипедиста. 21. Основания равнобокой трапеции равны 1 см и 17 см, а диагональ делит ее тупой угол пополам. Найдите площадь трапеции. IV часть (для классов с углублённым изучением) Решение заданий должно содержать обоснование. В н?м необходимо записать 22. Решить уравнение ( )( )( ) 23. Медиана треугольника образует со сторонами и углы и соответственно. Найдите медиану, если сторона

    3 ВАРИАНТ 2 I часть При выполнении заданий 1-15 следует записать только ответ. Правильное решение каждого задания оценивается одним баллом. 1. Выполните действия ( ). 2. При каком значении переменной выражение не имеет смысла? 3. Решить неравенство. 4. Найти точку пересечения графика функции с осью. 5. Первый член геометрической прогрессии, а знаменатель. Найдите четвертый член этой прогрессии. 6. Найдите натуральные числа, произведение которых равно если известно, что одно из чисел на 4 больше второго. 7. Среди учащихся класса 15 мальчиков, что составляет учащихся класса. Сколько всего учащихся в классе? 8. Сколько процентов часа составляют минуты? 9. Решите систему уравнений < 10. В коробке красных и синих шаров. Из коробки наугад вынимается шар. Найти вероятность того, что этот шар синий. 11. Основания трапеции относятся как, а ее средняя линия равна 28 см. Найдите основания трапеции. 12. Найдите координаты центра окружности, если концами его диаметра являются точки ( ) и ( ). 13. Движение переводит угол в другой угол. Чему равна величина полученного угла? 14. Найдите абсолютную величину вектора ( ). 15. Сколько центров симметрии имеет трапеция? II часть Решение заданий должно содержать краткую запись без обоснования. Правильное решение каждого задания оценивается двумя баллами. 16. Найдите шестой член и сумму двенадцати первых членов арифметической прогрессии. 17. Упростите выражение 18. Найдите площадь круга, вписанного в правильный треугольник со стороной см.

    4 III часть Решение заданий должно содержать обоснование. В н?м необходимо записать 19. Построить график функции. По графику найдите: а) область значений; б) при каких значениях функция принимает отрицательные значения. 20. Из пункта в пункт, расстояние между которыми км, велосипедист ехал с определенной скоростью, а возвращался со скоростью на км/ч больше и потратил на 30 минут меньше, чем на дорогу из в. Найдите начальную скорость велосипедиста. 21. Основания равнобокой трапеции равны 15 см и 39 см, а диагональ делит ее острый угол пополам. Найти площадь трапеции. IV часть (для классов с углублённым изучением) Решение заданий должно содержать обоснование. В н?м необходимо записать 22. Решить уравнение ( )( )( ) 23. Медиана треугольника равна и образует со сторонами и углы и соответственно. Найти сторону

    6 III часть Решение заданий должно содержать обоснование. В н?м необходимо записать 19. Постройте график функции. Пользуясь графиком, найдите: а) область значений функции; б) промежуток убывания функции. 20. Из пункта в пункт, расстояние между которыми км, вышел пешеход. Спустя 30 минут после него из этого же пункта выехал велосипедист, скорость которого на км/ч больше скорости пешехода. В пункт велосипедист прибыл на минут раньше, чем пешеход. Найдите скорости велосипедиста и пешехода. 21.Стороны треугольника равны 8 см, 9 см и 13 см. Найдите медиану, проведенную к наибольшей стороне. IV часть (для классов с углублённым изучением) Решение заданий должно содержать обоснование. В н?м необходимо записать 22. Решить неравенство ( ) 23. Запишите уравнение окружности с центром в точке ( ) касающейся прямой

    8 Решение заданий должно содержать обоснование. В н?м необходимо записать 19. Постройте график функции. Пользуясь графиком, найдите: а) область значений функции; б) промежуток возрастания функции. 20. Из пункта в пункт, расстояние между которыми км, выехал велосипедист. Вслед за ним через минут из пункта выехал мотоциклист, скорость которого на км/ч больше скорости велосипедиста. Найдите скорость велосипедиста и мотоциклиста, если в пункт мотоциклист прибыл на минут раньше, чем велосипедист. 21. Стороны треугольника равны 10 см и 15 см, а медиана, проведенная к третьей стороне, равна 8,5 см. Найдите третью сторону треугольника. IV часть (для классов с углублённым изучением) Решение заданий должно содержать обоснование. В н?м необходимо записать 22. Решить неравенство ( ) 23.Запишите уравнение окружности с центром в точке ( ), касающейся прямой

    10 III часть Решение заданий должно содержать обоснование. В н?м необходимо записать 19. Построить график функции. 20. Из двух городов, расстояние между которыми км, шли два поезда навстречу друг другу и встретились на середине пути. Скорость первого поезда была на км/ч больше, чем скорость второго поезда. Найдите скорость каждого поезда, если первый вышел на час позже второго. 21. Найдите угол в треугольнике с вершинами ( ), ( ) ( ). IV часть (для классов с углублённым изучением) Решение заданий должно содержать обоснование. В н?м необходимо записать последовательные логические действия и их объяснения.правильное решение каждого задания оцениваетсятремя баллами. 22. Решить уравнение ( )( )( )( ) 23. Диагонали трапеции перпендикулярны. Докажите, что средняя линия трапеции равна отрезку, соединяющему середины оснований.

    12 III часть Решение заданий должно содержать обоснование. В н?м необходимо записать 19. Построить график функции. 20. Два автомобиля выезжают одновременно из одного города в другой. Скорость первого на км/ч больше скорости второго, поэтому первый автомобиль прибывает на место на час раньше. Найдите скорость каждого автомобиля, если расстояние между городами км. 21. Найдите угол в треугольнике с вершинами ( ), ( ), ( ). IV часть (для классов с углублённым изучением) Решение заданий должно содержать обоснование. В н?м необходимо записать 22. Решить уравнение ( )( )( )( ) 23. Средняя линия трапеции равна отрезку, соединяющему середины оснований. Докажите, что диагонали этой трапеции перпендикулярны.

    18 18. Стороны треугольника равны см, см и см. Вычислите радиус окружности вписанной в треугольник. III часть Решение заданий должно содержать обоснование. В н?м необходимо записать 19. Постройте график функции. Найдите: а) при каких значениях аргумента значения функции положительные; б) при каких значениях аргумента функция убывает. 20. Из двух сел, расстояние между которыми равно 50 км, выехали одновременно навстречу друг другу два велосипедиста и встретились через 2 часа. Найдите скорость каждого велосипедиста, если один из них потратил на весь путь из одного села во второе на 1 ч 40 мин меньше, чем другой. 21. Векторы и взаимно перпендикулярны, их модули равны между собой. Известно, что ( ), начало координат. Найдите координаты точки. IV часть (для классов с углублённым изучением) Решение заданий должно содержать обоснование. В н?м необходимо записать 22. Докажите, что при всех целых значение выражения ( )( ) ( ) является квадратом целого числа. 23. На стороне треугольника отметили точку так, что. В каком отношении отрезок делит медиану треугольника?

    20 17. Найдите сумму шести первых членов геометрической прогрессии ( ), если, а знаменатель. 18. Стороны треугольника равны см, см и см. Вычислите радиус окружности, описанной около треугольника. III часть Решение заданий должно содержать обоснование. В н?м необходимо записать 19. Постройте график функции. Найдите: а) при каких значениях аргумента значения функции отрицательные; б) промежутки возрастания функции. 20. Два автомобиля выехали одновременно из городов и навстречу друг другу. Через час они встретились и, не останавливаясь, продолжили двигаться с теми же скоростями. Один из них прибыл в город на 50 мин позже, чем другой в город. Найдите скорость каждого автомобиля, если расстояние между городами составляет 100 км. 21. Векторы и взаимно перпендикулярны и равны между собой по абсолютной величине. Известно, что ( ), начало координат. Найдите координаты точки. IV часть (для классов с углублённым изучением) Решение заданий должно содержать обоснование. В н?м необходимо записать 22. Докажите, что при всех целых значение выражения ( ) ( )( ) является квадратом целого числа. 23. На стороне треугольника отметили точку так, что. В каком отношении медиана ВК треугольника делит отрезок?

    26 16. Решите неравенство и найдите его наибольшее отрицательное и наименьшее положительное целые решения. 17. Найдите четыре числа, которые образуют геометрическую прогрессию, если третий член данной прогрессии больше первого на, а второй больше четвертого на. 18. Окружность задана уравнением. Найдите координаты центра и радиус окружности. Принадлежит ли данной окружности точка ( )? III часть Решение заданий должно содержать обоснование. В н?м необходимо записать 19. Постройте график функции Пользуясь графиком, найдите: а) область значений функции; б) промежуток убывания функции. 20. Тракторист должен вспахать поле площадью 180 га. Однако ежедневно он вспахивал на 2 га больше, чем планировал, и закончил работу на 1 день раньше, чем планировалось. За сколько дней тракторист вспахал поле? 21. Диагональ равнобокой трапеции делит высоту, проведенную из вершины тупого угла, на отрезки длиной 10 см и 8 см. Найдите площадь трапеции, если ее меньшее основание равно боковой стороне трапеции. IV часть (для классов с углублённым изучением) Решение заданий должно содержать обоснование. В н?м необходимо записать 22. Для каждого значения параметра найдите количество решений системы уравнений < 23. В треугольнике АВС известно, что, см, см. Докажите, что его медианы и перпендикулярны.

    28 17. Найдите четыре числа, которые образуют геометрическую прогрессию, первый член которойменьше третьего на, а второй больше четвертого на. 18. Окружность задана уравнением. Найдите координаты центра и радиус окружности. Принадлежит ли данной окружности точка ( )? III часть Решение заданий должно содержать обоснование. В н?м необходимо записать задания оцениваетсятремя баллами. 19. Постройте график функции Пользуясь графиком, найдите: а) область значений функции; б) промежуток возрастания функции. 20. Тракторист должен был вспахать поле площадью 200 га. Каждый день он вспахивал на 5 га больше, чем планировал, а поэтому закончил вспашку на 2 дня раньше срока. За сколько дней тракторист вспахал поле? 21. Большая диагональ прямоугольной трапеции делит высоту, проведенную из вершины тупого угла, на отрезки длиной 20 см и 12 см. Большая боковая сторона трапеции равна ее меньшему основанию. Найдите площадь трапеции. IV часть (для классов с углублённым изучением) Решение заданий должно содержать обоснование. В н?м необходимо записать 22. Для каждого значения параметраа найдите количество решений системы уравнений < 23. Точки и середины сторон и параллелограмма соответственно. Докажите, что отрезки и делят диагональ на три равные части.

    30 III часть Решение заданий должно содержать обоснование. В н?м необходимо записать 19. Постройте график функции. Найдите: а) при каких значениях аргумента значения функции положительны; б) при каких значениях аргумента функция убывает. 20. Из пунктов и, расстояние между которыми равно км, одновременно навстречу друг другу вышли два пешехода и встретились через часа. Пешеход, который вышел из, приходит в на час минуту раньше, чем второй приходит в. Найдите скорость каждого пешехода. 21. Основания прямоугольной трапеции равны 18 см и 12 см, а диагональ является биссектрисой ее острого угла. Вычислите площадь трапеции. IV часть (для классов с углублённым изучением) Решение заданий должно содержать обоснование. В н?м необходимо записать 22. Найдите множество решений неравенства ( ) 23. В прямоугольном треугольнике ( ) проведена медиана. Известно, что, а площадь треугольника равна. Найдите медиану.

    32 III часть Решение заданий должно содержать обоснование. В н?м необходимо записать 19. Постройте график функции и найдите: а) при каких значениях аргумента значения функции отрицательны; б) промежутки возрастания функции. 20. Два велосипедиста выехали одновременно из пункта в пункт, расстояние между которыми км. Через часа один велосипедист обогнал второго на км. Найдите скорость каждого велосипедиста, если известно, что первый прибыл в на минут раньше, чем второй? 21. Основания прямоугольной трапеции равны 9 см и 17 см, а диагональ является биссектрисой ее тупого угла. Вычислите площадь трапеции. IV часть (для классов с углублённым изучением) Решение заданий должно содержать обоснование. В н?м необходимо записать 22. Найдите множество решений неравенства ( ) 23.Отрезок медиана треугольника. Известно, что. Докажите, что.

    34 III часть Решение заданий должно содержать обоснование. В н?м необходимо записать 19. Постройте график функции. Пользуясь графиком, найдите: 1) промежуток убывания функции; 2) при каких значениях х функция принимает отрицательные значения. 20. Катер проходит 4 км против течения реки и 15 км по течению за то же время, которое требуется плоту, чтобы проплыть 2 км по этой реке. Найдите скорость течения, если собственная скорость катера равна 18 км/ч. 21. В равнобедренный треугольник с основанием 40 см вписана окружность. Высота, проведенная к основанию, равна 15 см. Найдите расстояние между точками касания окружности с боковыми сторонами треугольника. IV часть (для классов с углублённым изучением) Решение заданий должно содержать обоснование. В н?м необходимо записать 22. Определите количество корней уравнения в зависимости от значения параметра. 23. В выпуклом четырехугольнике известно, что Биссектриса угла АВС пересекает сторону АD в точке Р. На стороне ВС отметили точку М так, что. Докажите, что.

    36 III часть Решение заданий должно содержать обоснование. В н?м необходимо записать 19. Постройте график функции. Пользуясь графиком, найдите: a) промежуток возрастания функции; б) при каких значениях х функция принимает отрицательные значения. 20. Теплоход прошел 17 км по течению реки на 2 ч быстрее, чем 75 км против течения. Найдите скорость течения, если собственная скорость теплохода равна 32 км/ч. 21. Боковая сторона равнобедренного треугольника, в который вписана окружность, равна см. Высота этого же треугольника, проведенная к основанию, равна см. Найдите расстояние между точками касания окружности с боковыми сторонами треугольника. IV часть (для классов с углублённым изучением) Решение заданий должно содержать обоснование. В н?м необходимо записать 22. Определите количество корней уравнения в зависимости от значения параметра. 23. Биссектрисы углов А и С треугольника АВС пересекаются в точке О.На сторонах АВ и ВС отметили соответственно точки М и N такие, что и. Докажите, что точки М, О и N лежат на одной прямой.

    38 18. Найдите периметр прямоугольного треугольника, один из катетов которого 12 см, а другой меньше гипотенузы на 8 см. III часть Решение заданий должно содержать обоснование. В н?м необходимо записать 19. Постройте в одной системе координат графики функций и. Укажите промежуток, на котором выполняется неравенство. 20. Два маляра, работая вместе, могут покрасить фасад дома за 16 ч. За сколько часов может выполнить эту работу каждый из них, работая самостоятельно, если одному для этого надо на 24 ч меньше, чем другому? 21. Треугольник задан координатами вершин ( ), ( ), ( ). Докажите, что. Найдите длину высоты треугольника. IV часть (для классов с углублённым изучением) Решение заданий должно содержать обоснование. В н?м необходимо записать 22. При каких значениях параметра система уравнений < не имеет решений? 23. Дана окружность ( ) ( ). Найдите уравнение окружности с центром (4; 3), касающейся данной окружности.

    40 18. Найдите периметр прямоугольного треугольника, гипотенуза которого на 9 см больше одного из катетов, а второй катет равен 15 см. III часть Решение заданий должно содержать обоснование. В н?м необходимо записать 19. Постройте в одной системе координат графики функций и. Укажите промежуток, на которомвыполняется неравенство. 20. Две бригады, работая вместе, вспахали поле за 8 ч. За сколько часов может вспахать поле каждая бригада, работая самостоятельно, если одной бригаде на это потребуется на 12 ч больше, чем другой? 21. Точки ( ), ( ), ( ) вершины треугольника. Докажите, что. Найдите длину высоты треугольника. IV часть (для классов с углублённым изучением) Решение заданий должно содержать обоснование. В н?м необходимо записать 22. При каких значениях параметра система уравнений < имеет бесконечно много решений? 23. Дана окружность ( ) ( ). Найдите уравнение окружности с центром (3; 1), касающейся данной окружности.

    Примерное время выполнения 40минут

    Павел Полетыло 1 лет назад Просмотров:

1 Экспресс-тест Экспресс-тест Примерное время выполнения 40минут 3 4 Часть А Выберите верное равенство: А) b 6 a 4 = (b 3 + a ) (a b 3 ); В) m 8 m 4 + 0,5 = (m 4 0,5) ; Б) х 3х + 6 х = (3 х) ( х); Г) q 6 8 = (q ) (q 4 q + 4) Установите соответствие между графиками линейной функции y = k + b и значениями коэффициентов k и b 3 4 А) k =, b = 0; Б) k = 4, b = 0; В) k = 3, b = 3; Г) k =, b = 3 Найдите наименьшее целое решение неравенства: 8k + ( 3k + ) 2 Экспресс-тест Часть В 5 5 Определите, какое слово или словосочетание надо поставить вместо многоточия, чтобы высказывание стало истинным «Для того чтобы график линейной функции y = k + b проходил через точку ( 3; 3), чтобы коэффициенты были равны k = 3, b =» А) «необходимо»; Б) «достаточно»; В) «необходимо и достаточно» 6 6 Разложите на множители левую часть уравнения, выделяя полный квадрат, и решите уравнение: 4 3= 0 А) 4; 8; Б) нельзя выделить полный квадрат; В) 0;8; Г) 0;4 Часть С (ход решения и ответ записывается на отдельном листе) 7 Решите задачу: Учащиеся параллели 8 классов приняли участие в трехдневной благотворительной акции, проводимой кинотеатрами города Число выкупленных ими билетов в первый и во второй день относится как :3 В третий день восьмиклассники выкупили на 60% больше билетов, чем в первый день Известно, что в последний день акции ими было куплено на 36 билетов меньше, чем за первые два дня Сколько денег поступило на благотворительный счет от восьмиклассников, если один билет стоил 00 рублей? Ответы и решения к тесту: Б 3 4 Г А Б В В Г Б А 7 Обозначим количество билетов, купленных в первые два дня k и 3k Тогда,6 k число билетов, купленных в третий день Известно, что в третий день выкуплено на 36 билетов меньше, чем в первые два дня Получим модель задачи: (k + 3k),6 k = 36 k = 0 00 ( ,6 0) = 3800 Ответ: рублей поступило на счет от восьмиклассников Шкала успешности: 8 9 баллов отлично 6 7 баллов хорошо 5 баллов удовлетворительно

3 Экспресс-тест Экспресс-тест Примерное время выполнения 40минут Часть А Решением уравнения 5 + 7y = 6 является пара чисел: А) (0;,3); Б) (,6; ); В) (0,4; ); Г) 3; 7 Установите соответствие между уравнением и его решением: ) 3 + 0y = 6, А) 3 y ; y, у любое число, ) 3 + y = 0, Б) = ; у любое число, 3) 0 + 3y = 6, В) (; 3,5), любое число, 4) 3 + y = 6 Г) y = ; любое число 3 Определите для каждого графика, изображенного на рисунке, соответствующее ему уравнение: А) + y = 0; В) y = 4; Б) 0 y = 6; Г) 0y = 5 4 Укажите значение разности и у, если известно, что ( ; у ) решение системы уравнений 4х+ 3у= 6, 5х+ у= 9 А) ; Б) 3; В) 8; Г) 9 Рис 5 Выберите математическую модель данной задачи Если сложить возраст отца и возраст сына, то получится 60 Через 0 лет отношение возраста отца к возрасту сына будет равно 4 Сколько лет отцу и сколько лет сыну в настоящий момент? х+ у= 60 х+ у= 60 А) х ; В) х + 0 ; = 4 = у 4 у х+ у= 60 х+ у= 60 Б) х + 0 = у ; Г) х + 0 = 4 у 3

4 Экспресс-тест Часть В 6 С помощью графика решите систему уравнений и установите соответствие предложенным вариантам ответов ) х + у = 0 у= х х+ у= 6 ; ) 05, х у= 3 ; 6х+ 3у= 8 у= х+ 6, 3) у= х+ 6 ; 4) у= 05, х+ 3 А) ( ; 4); Б) (; ); В) ; Г) бесконечное множество решений Часть С (ход решения и ответ записывается на отдельном листе) 7 Решите систему уравнений: = 3 х у 6 5 = 7 х у 8 Решите систему уравнений: 6m 4d= 5 m d = 3 9 Решите систему уравнений с тремя неизвестными: + y+ z = 3 y+ z = 9 y z = 4

5 Ответы и решения к тесту: Экспресс-тест В Г Б Б А Г В А В Г Б В А Г Б 7 Сделав замену х = а и у = b, перейдем к системе линейных уравнений 6а+ 7b= 3 6a 5b= 7 6а+ 7b= 3 6а 7b 3 6а 7b 3 + = + = а + = а = 6 6a 5b= 7 6a+ 5b= 7 b = 4 b = b = 7 6 = = х 6 7 Тогда = y = y Ответ: = 6 7 ; y = 8 m d l 0 m d l 0 6m 4d= 5 m = 85, m d= 3 d = 4 85, 4 l 0 верно или m d 6 Экспресс-тест 3 Экспресс-тест 3 Примерное время выполнения 45 минут 3 4 Часть А m, 3 Решите систему неравенств: 3 > 3 А)( ;,8]; Б) ( ;,8); В) ( ;,8]; Г) Сколько целочисленных решений имеет двойное неравенство m 3 0,5 , 5+ А) 3 ; 3 ; Б) 3 ; 3 ; В) 3 ; 4 ; Г) ;3 3 6

7 Экспресс-тест Установите соответствие между неравенством с двумя неизвестными и рисунком его графика 3 ) + 5y 5 8 Экспресс-тест 3 Часть В Решив совокупность неравенств, выберите наименьшее целочисленное решение ( 5) m ( + 3) 5+ > 4 9 А) ; Б) 0; В) нельзя определить; Г) 0 7 Определите решение совокупности > 5 5 6 ( + ) + 3 А) ; Б) ( 7,5;,5) (5; + ); В) ; + ; Г) (5; + ) Часть С (ход решения и ответ записывается на отдельном листе) 8 Решите систему неравенств: 4 + l 5 4 m 3 8

9 Ответы и решения к тесту: Экспресс-тест В В А В 3 4 Б А Г В Б Г 8 ) 4 l 0 l 4 10 Экспресс-тест 4 Экспресс-тест 4 Примерное время выполнения 45 минут Часть А 3 Через какую точку проходит график функции y = 3? А) F (; 6); Б) N ( ; 3); В) S ( ; 8); Г) D ( ; 8) Функция задана формулой f () = Какое из высказываний верно? А) f ( 3,5) f (,9); Г) f ( ) > f (0,) 3 Какому числовому промежутку принадлежит значение произведения ? А) ; 3 ; Б) ; ; В) 3 3 ; ; Г) 0 ; Решите уравнение, применяя определение арифметического квадратного корня: 4 + = 3 А) 0,5; Б) ; В),5; Г) 5 Установите соответствие между системой уравнений и графической иллюстрацией его решения: 05, 05, 3 y = y = y= y= ) ; ) ; 3) y= y= + 3 y= 3 ; 4) y= 4 Часть В 6 6 Постройте график функции y =, если 0 m m 4;, если m 11 Экспресс-тест 4 и установите, сколько у него общих точек с графиком, заданным формулой y = 0,4 + 0,4 А) 0; Б) ; В) ; Г) Упростите выражение ( ) ( ) ( ) А) 54; Б) ; В) ; Г) 300 Часть С (ход решения и ответ записывается на отдельном листе) 8 Упростите выражение: Ответы и решения к тесту: В Г А Г 3 4 В Г Б А Г Б = + = +( ) = ( ) = = = Так как: 5 12 Экспресс-тест 5 Экспресс-тест 5 Примерное время выполнения 35 минут Часть А Корнями какого уравнения являются числа 5; 0; 5? А) 5 = 0; В) 4 5 = 0; Б) = 0; Г) ( 0 + 5) = 0 Решите уравнение ( 3) + = А) 6; ; Б) 4; 3; В) ; 4; Г) ; 3 3 Установите соответствие между квадратными трехчленами и их разложениями на множители: ) + 8 9; 3) + ; ) + 3 ; 4) А) ( )( + ); В) ( )( + 3); Б) ( + 9)( ); Г) ( )( ) 4 Найдите корни уравнения 3= 0 А) ± 5; Б) ± 0 ; В) 7 ; Г) 5 Одна из сторон прямоугольника на 8 дм больше другой стороны Найдите периметр прямоугольника, если его площадь равна 403 дм А) 44 дм; Б) 6 дм; В) 98 дм; Г) 88 дм 6 Часть В 6 При каких значениях b уравнение b + 3 = 0 имеет единственное решение? А) ; В) ; Б) 4 3 ; 4 3 ; Г) 3 ; 3 7 7Решите уравнение: ( 5) + 6 ( 5) = 7 Какому числовому промежутку принадлежит сумма корней уравнения А) [ 6; ]; В) ( ; 5 ]; Б) [ ; 4 ]; Г) [6; 7]?

13 Экспресс-тест 5 Часть С (ход решения и ответ записывается на отдельном листе) 8 Решите уравнение: (х ) 4 3х + 6х + 3 = 0 9 Пусть и корни уравнения = 0 Не решая уравнение, найдите значение выражения: + Ответы и решения к тесту: В Г 3 4 Б Г А В А Г Г В 8 ( ) = 0 ( ) = 0 ( ) 4 3 ( + ) + 36 = 0 ( ) 4 3 ( ) + 36 = 0 Пусть ( ) = а, тогда а 3а + 36 = 0 По теореме, обратной теореме Виета: а = 4; а = 9, значит: ( ) = 4 или ( ) = 9 = ± или = ± 3 = 3; = ; 3 = 4; 4 = Ответ: < ; ; 3; 4>9 По теореме Виета + = 5 и = 56 Преобразуем выражение, выделив в его записи сумму и произведение корней: + + = = = Ответ: = = ( ) Шкала успешности: 0 3 баллов отлично 7 9 баллов хорошо 5 6 баллов удовлетворительно 3

14 Экспресс-тест 6 Экспресс-тест 6 Примерное время выполнения 35 минут 3 4 Часть А Квадратичная функция задана графически (рис) Определите знаки коэффициента a и дискриминанта D соответствующего квадратного трехчлена: А) D 0; В) D > 0, a > 0; Г) D = 0, a 15 6 7 Часть В Экспресс-тест 6 6 Постройте график функции + 6 0, если m m 6; y =, если 4 m 0 Решая неравенство a 6a + 5 > 0, получим, что D > 0 при a 5 Ответ: a ( ; ) (5; + ) Шкала успешности: 9 0 баллов отлично 7 8 баллов хорошо 5 6 баллов удовлетворительно 5

16 Экспресс-тест 7 Экспресс-тест 7 Примерное время выполнения 45 минут Часть А Найдите значение алгебраической дроби 5 8 a при а = 4 9a А) 9 04 ; Б) 9 04 ; В) 7 8 ; Г) 7 8 Установите соответствие между алгебраической дробью и ее областью определения: ) ( ) ( + ) ; ) + ( ) ; 3) ( ) ( + ) ; 4) + А) ( ; ) c ( ; + ); В) ( ; ) c ( ; 0) c (0; + ); Б) ( ; ) c ( ; ) c (; + ); Г) ( ; ) c ( ; 0) c (0; ) c (; + ) 6 + m 3 Сократите дробь m + m+ 36 А) m + 6 ; Б) m + m+ 6 ; В) ; Г) m + y y 3 4 Решите дробно-рациональное уравнение = y 6 y 6 А) ; Б) < 4; 4; 8>; В) <4; 8>; Г) 8 5 Установите соответствие между выражением и результатом его упрощения: ) d b 5 d b ; 3) 5 d 5 d 5 : ; d+ b d 0b d + 5d 5 + 0d+ d ) d b d b d+ b + d b ; 4) 3 d + 4 4d 3 + 4d 8d А) 5 7 ; Б) 4db d b ; В) d b 5 ; Г) d + 5 d Часть В 6s 6s c+ s 6 Упростите выражение и найдите его значе- c s + c 3s ние при s = и c = 3 А) ; Б) 6 ; В) 4 ; Г) 7 7 Найдите остаток от деления многочлена 5х 4 3х + х + 3 на многочлен х А) 0; Б) 3; В) ; Г) 6 6

17 Экспресс-тест 7 Часть С (ход решения и ответ записываются на отдельном листе) 8 Решите уравнение = 0 Ответы и решения к тесту: Б А Г Б В Г А В Б Г А Б Г = = 0 Решим уравнение методом замены неизвестного Пусть + 5 = t, тогда t t 4 = 0 По теореме, обратной теореме Виета: если t + t = и t t = 4, то t или t корни уравнения, то есть t = 6 или t = 4 Вернемся к неизвестному х: = 6 = 4 ОДЗ: х 0 ОДЗ: х 0 х + 5 6х = 0 х х = 0 х 6х + 5= 0 х + 4х + 5= 0 По теореме, обратной теореме Виета: (D 18 Экспресс-тест 8 Экспресс-тест 8 Примерное время выполнения 45 минут 3 4 Часть А Укажите число, удовлетворяющее неравенству (х )(х + )(3 х) m 0 А),; Б) 5 ; 9 В),6; Г),9 Соотнесите неравенство со схемой его решения: ) (х 7)(х + 8) > 0; 3) (х 7)(х + 8) m 0; ) (х 7)(х + 8) 0; ) (х 5)(х + 4) ( 4) ( +, 5) 5 Решите дробно-рациональное неравенство l 0 : 6 А) ( 4;,5] c (4; + ); В) ( ; 4) c [,5; 4) c (4; + ); Б) ( ; 4) c [,5; + ); Г) ( 4;,5]

19 Часть В Экспресс-тест l 0 6 Решите систему неравенств: 5 l + 4 А) < 5>c ( 4; ]; В) [ 5; 4) c [5; + ); Б) ( ; 5]; Г) < 5>c [5; + ) 7 Докажите неравенство (m ) (m 5) m (m 3) Часть С (ход решения и ответ записывается на отдельном листе) ( + 3) ( + 8) 8 Найти наименьшее значение выражения при > 0 Ответы и решения к тесту: Б Г Г Б В А Б А В Г В А 7 (m )(m 5) m (m 3) Доказательство: (m )(m 5) (m 3) = m 6m + 5 m + 6m 9 = 4 0 имеет место неравенство: + l = Значит, + + l Причем равенство имеет место тогда и только тогда, когда = 4, то есть при = 6 Значит, наименьшее значение равно 4 6+ ( + 3) ( + 8) Ответ: наименьшее значение выражения при > 0 равно 4 6+ и достигается при = 6 Шкала успешности: 9 0 баллов отлично; 7 8 баллов хорошо; 5 6 баллов удовлетворительно 9

20 Экспресс-тест 9 Экспресс-тест 9 Примерное время выполнения 45 минут Часть А Между городами В и А имеется несколько дорог, между городами А и C тоже, а между городами В и С дорог нет Сколькими способами можно добраться из города В в город С, если между городами В и А имеется 3 дороги, а между городами А и C две дороги? А) 9 способов; Б) 5 способов; В) 6 способов На школьном празднике собрались 45 юношей и 30 девушек Сколькими способами можно выбрать пару для участия в очередном танце? А) 75 способов; В) 350 способов; Б) 30 способов; Г) 675 способов Сколькими способами можно подарить по фотографии трем своим друзьям из имеющихся пяти различных фотографий? А) ; Б) 4; В) 48; Г) 60 4 Сколько различных пятизначных паролей из цифр 0 и и букв M, N, S можно составить, если и цифры, и буквы в пароле могут повторяться? А) 0; Б) 35; В) 600; Г) 0 5 В течение года учитель проводил учет количества учащихся, написавших контрольную работу по алгебре на «4» и «5» В итоге им получены следующие данные: контрольной работы количество учащихся Найдите дисперсию этого набора А) 6 7 ; Б) 0; В) 4; Г) 3 7 Часть В Игральный кубик подбросили 50 раз При этом число выпало 3 раза, число 5 раз, число 3 9 раз, число 4 4 раза, число 5 3 раза, число 6 6 раз Используя калькулятор, вычислите (с точностью до сотых) частоту наступления следующих случайных событий: ) выпадение числа 4; ) выпадение числа 5; 3) выпадение числа 0

21 Экспресс-тест 9 Установите соответствие между выпадением указанного числа очков и частотами наступления этого события А) 0,8; Б) 0,7; В) 0,6; Г) 0, В ящике находятся белых, 3 красных и черный шар Наугад вынимается один шар Найдите вероятность того, что вынутый шар: ) белый; ) красный; 3) не зеленый; 4) черный или красный А) ; Б) 3 ; В) 3 ; Г) Часть С (ход решения и ответ записываются на отдельном листе) 8 При бросании двух игральных костей сумма выпавших очков может принимать значения от до Выпадение какой суммы имеет вероятность, равную (составьте таблицу возможных исходов испытания)? 9 9 На полке стоит 5 книг, две из них одного автора Сколькими различными способами можно расставить эти книги, чтобы книги одного автора стояли рядом? Ответы и решения к тесту: В В Г Б Г В Г Б В Г А Б 8 p(а) = 36 p(а) = 8 p(а) = p(а) = 9 p(а) = 5 36 p(а) = 6 вероятность суммы, равной или; вероятность суммы, равной 3 или ; вероятность суммы, равной 4 или 0; вероятность суммы, равной 5 или 9; вероятность суммы, равной 6 или 8; вероятность суммы, равной 7 Ответ: выпадение сумм в 5 или 9 очков имеет вероятность, равную 9

22 Экспресс-тест 9 9 При перестановке будем считать книги одного автора «склеенными», тогда их можно рассматривать как один элемент Тогда число перестановок четырех элементов равно 4! = 4 3 =4 При этом две книги одного автора можно переставить между собой! = раза Поэтому общее число перестановок равно 4 = 48 (по правилу произведения) Ответ: 48 способов Шкала успешности: 3 баллов отлично; 8 0 баллов хорошо; 5 7 баллов удовлетворительно

23 Экспресс-тест 0 Экспресс-тест 0 Примерное время выполнения 45 минут Часть А Решите уравнение 3х +8х 3 = 0 А) 3 ; 3; Б) 3; ; В) 9; ; Г) ; 9 3 Упростите выражение + y : + y + y y y ( + y)3 А) ; Б) y 3 + y ; В) y + y ; Г) + y y 3 3 Решите уравнение = А) 6; ; Б) 3; ; В) ; 6; Г) ; Решите систему неравенств 0 I 4 I + А) (0,3; ); Б) [; +u); В) [0,3; ]; Г) ( u; 0,3] 5 5 Найдите область определения дроби 4 4 А) ( u; 0) (0; 4) (4; +u); Б) ( u; 0); В) ( u; 4) (4; +u) Часть B 6 6 Проиллюстрируйте штриховкой на числовой прямой множество: ( u; ]\( 5; 0) А) В) Б) Г) Решите неравенство х + 3х + 5 24 Экспресс-тест 0 Часть С (ход решения и ответ записывается на отдельном листе) 9 При каком значении а квадратное уравнение ах 5х + а = 0 имеет два 4 корня? 0 Решите задачу: Два пешехода выходят навстречу друг другу из двух пунктов, расстояние между которыми 30 км Если первый выйдет на ч раньше второго, то он встретит второго пешехода через 4,5 ч после своего выхода Если второй выйдет на ч раньше первого, то он встретит первого пешехода через 5 ч после своего выхода С какой скоростью идет каждый пешеход? Ответы и решения к тесту: Б В A В A Г Б В 9 Данное уравнение является квадратным при а 0 и имеет два корня, если его дискриминант положителен 5 4 а 4 > 0 ^ 5 а > 0 ^ (5 а)(5 + а) > 0 ^ (а 5)(5 + а) 0; y > 0 4,5 +,5y = y = 60 6 = 30 = y = y = y = y = 30 х = 5, у = 3 удовлетворяют неравенствам математической модели Ответ: скорости пешеходов 5 км/ч и 3 км/ч = 5 y = 3 Шкала успешности: 3 4 баллов отлично 9 баллов хорошо 6 8 баллов удовлетворительно 4

25 Итоговый тест Примерное время выполнения 45 минут Итоговый тест 3 4 Часть А Решите уравнение + 0 = 0 А) 4; 5; Б) 4; 5; В),5; ; Г) ;,5 Установите соответствие между функцией и графиком: ) y = ; ) y = ; 3) y = ; 4) y= d d 3 Упростите выражение: : d 6d+ 9 d 3 6 6( d 6) ( d+ 6) А) ; В) 3 ; 3 d d 6 d 3 ( )( + ) ( d ) ( d+ ) 3 ( d 3) Б) ; Г) ( ) 6 d 3 d 6 ( )( + ) 4 Решите уравнение: + = А),5; ; Б) ;,5; В),5; Г),5 5 Установите соответствие между системой неравенств, совокупностью неравенств и двойным неравенством и их решениями: l 5 m 5 3 ) ; ) 0 5 26 Итоговый тест Внесите множитель под знак корня: 4 3b А) 8b ; Б) 8b ; В) b ; Г) b 8 Из 000 новых карт памяти в среднем 5 неисправны Какова вероятность того, что случайно выбранная карта памяти исправна? А) 0,05; Б) 0, 985; В) 0, 975; Г) Сколько различных четырехзначных чисел можно записать из цифр 3, 5, 7; 8 (цифры в записи числа не повторяются)? А) 8; Б) 4; В) ; Г) 6 Часть В 0 ( ) ( ) 0 Найдите значение выражения А) ; Б) 7 7 ; В) 3; Г) 7 7 При каких значениях переменной а имеет смысл выражение a + 9a 36 А) ( ; 3] c [; + ); Б) ( ; ] c [3; + ) В) [ 3; ] Решите задачу: «Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 0 см Найдите его площадь, если один из катетов на см меньше второго» А) 3 см ; Б) треугольник не существует; В) 35, 7 см ; Г),5 см Часть С (ход решения и ответ записываются на отдельном листе) 3 Пусть х, х корни квадратного уравнения х + 3 х = Найдите значение выражения + 4 При каких значениях параметра а уравнение х ах + а (а ) = 0 имеет два корня? 5 Решите задачу: Из города в поселок, находящийся на расстоянии 60 км от города, выехал автобус Через 0 минут навстречу ему выехал легковой автомобиль, скорость которого на 30 км/ч больше скорости автобуса Найдите скорости автобуса и автомобиля, если известно, что до места встречи каждый из них прошел половину расстояния между городом и поселком Шкала успешности:* 8 баллов отлично 7 баллов хорошо 9 0 баллов удовлетворительно * успешность выполнения итогового теста оценивает учитель 6

Математика 7 класс Учебник Петерсон часть 2

.» Центр системно-деятельностной педагогики «Школа 2000. » АПК и ППРО РФ Институт системно-деятельностной педагогики X г 5с ujnuiuOOO. Программа математического развития для дошкольников, начальной и средней школы «УЧУСЬ УЧИТЬСЯ» Научный руководитель доктор педагогических наук Л. Г. Петерсон ЮВЕНТА Петерсон Л. Г., Абраров Д. Л., Чуткова Е. В. П29 Математика. Алгебра. Функции. Анализ данных. Учебник для 7 класса. Часть 2 / Л. Г. Петерсон, Д. Л. Абраров, Е. В. Чуткова. — М.: Издательство «Ювента», 2011. — 152 с.: ил. ISBN 978-5-85429-512-3 Учебник ориентирован на развитие мышления, интереса к математике и творческих способностей учащихся, формирование ключевых деятельностных компетенций и готовности к саморазвитию. Содержит большое количество разноуровневых заданий, позволяющих сформировать прочную систему математических знаний, соответствующих современным требованиям ГИА, ЕГЭ и дающих возможность качественной подготовки учащихся к математическим конкурсам и олимпиадам (на уроках и во внеурочной деятельности). Реализует дидактическую систему деятельностного метода обучения Л. Г. Петерсон («Школа 2000. »). Является непосредственным продолжением непрерывного курса математики для дошкольников, начальной школы и 5—6 классов средней школы прюграммы «Учусь учиться» (Премия Президента РФ в области образования за 2002 год). Апробация учебника проведена в 2009/2010 учебном году. Учебник рекомендован Ученым советом Академии повышения квалификации и профессиональной переподготовки работников образования для использования во всех типах школ и для индивидуальной работы с учащимися. УДК 373:51 ББК 22.1я721 Курсовую подготовку учителей к реализации деятельностного метода обучения осуществляют Центр системно-деятельностной педагогики «Школа 2000. » АПК и ППРО РФ, Институт системно-деятельностной педагогики 125212 Москва, Головинское шоссе, д. 8, корп. 2 Тел./факс: (495) 797-89-77, 452-22-33 E-mail: info(®sch2000.ru Интернет: www.sch2000.ru ISBN 978-5-85429-512-3 Издательство «Ювента», 2011 Л. Г. Петерсон, Д. Л. Абраров, Е. В. Чуткова, 2011 г л. г. Петерсон, Д. Л. Абраров, Е. В. Чуткова МАТЕМАТИКА АЛГЕБРА. ФУНКЦИИ. АНАЛИЗ ДАННЫХ Учебник для 7 класса Часть 2 К ЮВЕНТА 2011 J Чтобы учебником было удобно пользоваться, в нем введены следующие обозначения: о о — задачи по новой теме для работы в классе, — задачи для домашней работы, V повторение ранее пройденного. задачи на смекалку. О е ? — задания базового уровня, ? — более сложные задания по новым темам и темам повторения. ? — задания, требующие умения находить нестандартные способы решения; завершение доказательства теоремы. ©О© — материал для тех, кому интересно. Глава 4 Введение в теорию многочленов § 1. Степень с натуральным показателем 1. Понятие степени с натуральным показателем Истинная и законная цель всех наук состоит в том, чтобы наделять жизнь человеческую новыми изобретениями и богатствами. Фрэнсис Бэкон (1561-1626), английский философ и политический деятель Последовательность чисел: 3, 9, 27, 81, 243, 729 устроена таким образом, что в ней каждое следующее число в три раза больше предыдущего. Мы уже знаем, что эту же последовательность можно записать иначе: 3, 32, 3\ 3^ 3^ 3«. Вторая запись последовательности более наглядно показывает ее структуру. Составляя эту запись, мы использовали уже известное нам понятие степени натуральных чисел, что позволяет короче записывать выражения, содержащие одинаковые множители. А как короче записать, например, выражение 0,75 • 0,75 • 0,75 • 0,75 • 0,75? Чтобы распространить наши знания о степени на множество рациональных чисел, уточним соответствующие определения. Под натуральной степенью п числа о е ЛГ мы понимали произведение п множителей, каждый из которых равен а. Аналогичным образом мы будем понимать и натуральную степень рационального числа. Определение 1. Пусть п — натуральное число, большее 1. Тогда л-й степенью рационального числа а называется произведение п множителей, каждый из которых равен а. При этом повторяющийся множитель а называют основанием степени, а число повторяющихся множителей п — показателем степени. Вычисление произведения, состоящего из п множителей, каждый из которых равен а, называют возведением числа а в л-ю степень. Для л-й степени числа а, как и раньше, будем использовать обозначение: а». Эта запись читается как «а в степени л» . Тогда определение степени на математическом языке можно записать следующим образом: V а е Q, л G А, л > 1: а»‘ = а • а • а • • а . п множителей Теперь, пользуясь введенным понятием степени рационального числа, мы можем записать: 0,75 • 0,75 • 0,75 • 0,75 • 0,75 = 0,75». 1* Глава 4, §1, п.1 Как и раньше, квадратом числа будем называть вторую степень этого числа (а^ = а • а), а кубом числа — его третью степень (а^ = а • а • а). В нашем определении мы говорили о натуральном показателе степени, большем 1, поскольку произведение чисел не может содержать менее двух множителей. Теперь «доопределим» понятие натуральной степени рационального числа для случая показателя, равного 1. Исходя из фундаментального принципа развития математической теории (принципа «неразрушения»), дадим определение первой степени рационального числа, согласованное с определением первой степени натурального числа, которое мы использовали раньше. Определение 2. Степенью рационального числа а с натуральным показателем 1 называется само это число. То есть а е Q: a^ = а. Запись больших чисел с помощью степени очень удобна, поэтому ее часто используют в разных науках, например в астрономии, где расстояния выражаются огромными числами. А для того чтобы проводить вычисления с этими числами, необходимо уметь выполнять арифметические действия со степенями. Установим сначала несколько свойств и правил, которые помогут нам правильно выполнять такие вычисления. Для начала ответим на вопрос, можем ли мы сразу определить знак любой степени числа, пусть даже с очень большим показателем? Например, можем ли ,д.7562 МЫ, не вычисляя значения самой степени, определить знак числа |g| или числа (-56,799)^^®? Для того чтобы ответить на этот вопрос, докажем несколько теорем. Теорема 1. Любая натуральная степень положительного рационального числа -это число положительное. Доказательство: Натуральная степень положительного рационального числа представляет собой произведение положительных чисел (или само число). Поскольку при умножении любого числа положительных чисел получается положительное число, то значение степени будет положительным, что и требовалось доказать. Т Значит, мы сразу можем сказать, что > 0. Теорема 2. Отрицательное число, возведенное в четную степень, есть число положительное, а отрицательное число, возведенное в нечетную степень, — число отрицательное. Доказательство: Четная степень отрицательного числа содержит четное число отрицательных множителей. Из них можно составить целое число пар, в каждой из которых при умножении двух отрицательных чисел получается положительное число. Значит, четная степень отрицательного числа является числом положительным. А нечетная степень отрицательного числа содержит целое число пар отрицательных множителей и еще один отрицательный множитель. Поэтому нечетная степень отрицательного числа является числом отрицательным, что и требовалось доказать. Ў Значит, поскольку число 329 — нечетное, то (-56,799)®^®= -56,799®‘*® 1; 2) « = 1. в) Предложите собственную версию определения степени рационального числа а с натуральным показателем п, исходя из фундаментального принципа развития математической теории («принципа неразрушения»). ш Запишите числовое выражение короче, используя понятие степени: в) (-3) — (-3) — (-1) • (-1) — (-1) — (-1) — (-1) — (-1); 5 5 5 5 5 5 а) (-i) — (-i) — (-i); б) -9,4 — 9,4 — 9,4 — 9,4 — 9,4; г) 2,(8) — 2,(8) — 2,(8) — 2,(8) 6 6 5 6 6 6 5 6 ¦ 6- Глава 4, §1, п.1_________________________________________________________________ ш При рациональных значениях переменных запишите буквенное выражение короче, используя понятие степени: а) (-у) ¦ (-у) • (-у) • (-у); д) (-5т) • (-5т) • 2п • 2п ¦ 2п\ б) — у ‘ у • у ’ у; е) -5т ¦ т • 2п • п • п; в) (аЬ) • (аЬ) • (аЬ) ¦ (аЬ) • (аЬ) • (аЬ); ж) (р — д) • (р — д) • (р — д) • (р — q) • (р — д); ____ г) а • Ь — Ь • Ь • Ь ¦ Ь • Ь; з) р — д • д • д • д • д. Назовите основание и показатель степени, вычислите значение выражения: а)5«; б) (-4)2; в) (-0,1)^; г) (-|f; д) ; е) (-3,6)4 ш Замените в выражениях степени произведениями: а) (-х)2; в) (2с)2; д) (-тп)*; ж) (а + Зб)^; и) (2х — yf\ б) -х^\ г) 2с®; е) -тп*; з) а + ЗЬ’^; к) 2х — у^. Проанализируйте полученные выражения и определите, какие возможны ошибки при записи степеней. ш Найдите значение выражения: а) 24 г) 34 ж) 0,24 к) 0,052; д) ^4 р) 0,1®; б) (-2)4 Д) (-3)4 3) (-0,2)4 л) (-0,05)2; (_ю)4 с) (-0,1)2; в) -24 е) -34 и) -0,24 м) -0,052; _ю4 т) -О,!®. Какие из этих выражений являются «степенью числа», а какие — «числом, противоположным степени числа»? ш Заполните таблицы: п 1 2 3 4 5 6 2″ 3″ п 1 2 3 4 4″ 5″ а Представьте, если возможно, данные числа в виде степеней: а) 128; в) 243; д) 0,0016; ж) 0,0009; и) 15^; л) 12,25; б) -128; г) -243; е) -0,0016; з) -0,0009; к) -15|; м) -12,25. а Определите, каким числом — положительным или отрицательным — является выражение: а) (-8)»; б)(-|) ; в) (-2,8)‘“ ‘ (-0,15)’“; г) (-|) : (-в0,4)“и. а Сравните значения выражений: а) 31® и 4>®; в) 92“ и 72®; д) (|)’ и (|)»; ж) 1,8® и 1,8®; б) (-3)1® и (-4)1®; г) (-9)2“ и (-7)22; е) (-§)’ и (-§)*; з) (-1,8)® и (-1,8)®. 6 Глава 4, §1, п.1 Прочитайте выражение и найдите его значение. Что вы замечаете? а) ((-3) + 4)2; б) (-3)2 + 42; Вычислите: а) ((-2)^+ (-1)2- 7) : (-3)2; в) ((-8) — (-3))2; г) (-8)2 — (-3)2; д) (3 + (-2))2; е) 32 + (-2)2; ж) ((-9) + (-1))2; з) (-9)2 + (-1)2. ОН б) -0,52 _ 1 . (0,05 : (-0,1)2 _ 21); в) -2 • (-5)2 : + (-3 : (|)f — (-2)^; г) -3^ • (-1)2 — (I)’ • (-б| — 22) + (-7)2 ОН Используя степень числа 10, запишите, что: а) в одном метре 100 см; г) в одном центнере 100 000 г; б) в одном километре 10 000 дм; д) в одном кубическом дециметре 1000 см2; в) в одном гектаре 1 000 000 дм2; е) в одном кубическом метре 1 000 000 000 мм2. Найдите значение выражения: 1) а2, -а2и (-а)2, если а = 5, а = -3; 2) , -b^vi (

п множителей ЧТО И требовалось доказать. Т Данное свойство можно распространить на произведение трех и более степеней. Значит, в нашем примере мы можем сразу упростить числитель: 212 . 228 . 235 = 2’3 -28 — 35 _ 2^5 Теорема 2. Для любого рационального числа о, отличного от 0, и любых натуральных тип таких, что т > п. а”’ ; а» = а'» — «. Доказательство: Пусть а — произвольное рациональное число, отличное от 0, а m и п — произвольные натуральные числа такие, что т > п. Представим частное а»» : а» в виде дроби и сократим п раз ее числитель и знаменатель на обший множитель а: п множителей т — п множителей .———ч .—-*——, -.т — п а” : а» = — = а» а • а а • а • а а» — п а ¦ а а а п множителей ЧТО И требовалось доказать. Т Теперь в исходном примере мы можем выполнить следующие преобразования: д42 . gie _ 542 — 16 = 52а 10 Глава 4, §1, п.2 Возведение степени в степень Теорема 3. Для любого рационального числа а и любых натуральных тип (дш)п _ дт п Доказательство: Пусть а — произвольное рациональное число, а m и п — произвольные натуральные числа, тогда п множителей /¦——Ч (дт)л _ Qtn . дЛ1 . . дт _ дЛ1 + m + „. + m = дИ • ‘————‘ п множителей ЧТО и требовалось доказать. Т Продолжим упрощение исходного примера: (33)8 = 33 8 = 324 Степень произведения и частного (дроби) Теорема 4. Для любых рациональных чисел а и 6 и любого натурального числа п (abr = а» • Ь». Доказательство: Пусть а и Ь — произвольные рациональные числа, ап- произвольное натуральное число, тогда (аЬ)» = (аЬ) • (аЬ) • . • (аЬ) = а • а » • а • Ь • Ь • • Ь = а’’ • Ь», V———^^ V—„——- V——— л множителей л множителей л множителей ЧТО И требовалось доказать. Т Следовательно, в числителе и знаменателе рассматриваемой нами дроби мы можем выполнить следующие преобразования: (2 • 3)2“ = 22“- 32“ 1025 = (2 • 5)25 = 225- 525 Теорема 5. Для любых рациональных чисел а и Ь, где Ь 0, и любого натурального числа п (а : ЬУ = а» : Ь», или Доказательство: Поскольку обе записи описывают одно и то же арифметическое действие, то достаточно провести доказательство для одной из них. Рассмотрим запись частного в виде дроби. Пусть а и Ь — произвольные рациональные числа, где Ь 0, и п — произвольное натуральное число, тогда п множителей = (Д\ (Д\ /?\ = а ‘ а • • а ^ \Ь1 \Ь1’ \Ь1 ‘ \Ь1 Ъ-Ъ-. -Ъ Ь»‘ п множителей п множителей ЧТО И требовалось доказать. Ў Значит, в числителе приведенного выше примера мы можем записать соответственно степень дроби и вычислить следующее произведение: 2Т5 . 1 2^5 /Ту74 174 2″- (I) 274 274 = 2’’5-74 = 21 = 2. 11 Глава 4, §1,. п.2 Вернемся теперь к исходному примеру и упростим его, «собрав» все выполненные преобразования вместе, а затем сократим полученную дробь и возведем ее в квадрат: 212 . 228 . 235 . . 1025 . (33)8 (2 • 3)2“ • (5“2 : 516) 2 . (225 . 525) . 324^2 ^2 ‘ ^ ^ ^ /4\^ 16 526 ) = ) = У = 1 1 5 ^ ___ (22“ • 32“) • 526 Мы видим, что полученные нами свойства степеней существенно упрощают вычисления. Таким образом, у нас теперь есть определение натуральной степени рационального числа, и мы знаем свойства степеней с натуральными показателями. А можно ли расширить это определение на случай нулевого показателя? Как мы уже знаем, для этого мы должны руководствоваться фундаментальным принципом развития математической теории, а значит, вновь введенное понятие не должно нарушать все доказанные ранее свойства. Например, для любого не равного нулю рационального а должно быть верно следующее равенство: а° = а’‘

= а» : а» = 1. Поэтому логично ввести определение, по которому а® = 1 для любого не равного нулю рационального числа а. Действительно, можно показать, что если принять а® = 1 при а о, то все остальные доказанные нами свойства будут также выполняться. Таким образом, расширим определение понятия степени на случай показателя, равного 0. Определение. Нулевой степенью рационального числа а, отличного от нуля, называется число 1. То есть V а е Q, а 0: а® = 1. Так, например, 12“ = 1, =1, (-6)“ = 1. В завершение выпишем все правила вычислений со степенями, которые следуют из доказанных нами теорем. Правила вычислений со степенями 1. Для того чтобы умножить степени с одинаковым основанием, можно основание оставить без изменений, а показатели степеней сложить. 2. Для того чтобы разделить степени с одинаковым основанием, не равным нулю, можно основание оставить без изменений, а из показателя делимого вычесть показатель делителя. 3. Для того чтобы возвести степень в степень, можно основание оставить без изменений, а показатели перемножить. 4. Для того чтобы возвести в степень произведение, можно возвести в эту степень каждый из множителей и результаты перемножить. 5. а) Для того чтобы возвести в степень частное, можно возвести в эту степень отдельно делимое и делитель и первый результат разделить на второй. б) Для того чтобы возвести в степень дробь, можно возвести в эту степень отдельно числитель и знаменатель дроби. 12 Глава 4, §1, п.2 О 36 Произведение и частное степеней а) Представьте произведение в виде степени: 0,2» • 0,22; (_з)4 . (_з)б. Д.2000 . ^зооо, где д: е Q. б) Установите общую формулу для вычисления произведения степеней рациональных чисел с общим основанием и натуральными показателями: а» • o'» = ? (л, m е iV; а е Q). Запишите произведение в виде степени: а) 2^ • 2*; г) а® • а ж) п>* • п — п б) (-5)®® • (-5); д)с*с‘2^; з) д:® • • дс® • х®; в) 0,4® • 0,42®; е) г/^2o . и) Ь • • If • Ь’* • t’’», Упростите выражение: а) оа'» (-а)2; г) 2х^у^ • (-4хг/2); б) с*с (-с2)с*» *с®; д) 0,5о(-&)® • 10a2&2; в) dd» (-d» * ^)d»d^; е) ^(-c)®d* • (-6cdfe®); к) (pqf • (pq) ¦ (pqf * (pqY^; y 0: а) в виде произведения двух степеней с основанием х и показателем п е N^; б) в виде произведения трех степеней с основанием х и показателем п е N^7 (Np = <0, 1, 2, 3, . >, варианты, различающиеся лишь порядком множителей, считать одинаковыми.) Запишите выражение в виде степени при допустимых значениях переменных: а) 3® : 3^; г) х® : х®; ж)Ъ^^ :Ь : Ь ^®; к) (/пп)®: <тп) • уЪ2 48 в) а»»»: (-&»»»); р1083 . дП97 бП Вычислите рациональным способом: а) 505 : 28®; в) 0,18» : (-0,9)»; .. (-750)» , /12\^ 75» ’ (ю) • (l9/ • Упростите выражение при допустимых значениях переменных: а) . (Saa*V в) • <

Найдите все натуральные значения х, удовлетворяющие равенствам: а) 6″ = 216; б) 5^*^ = 125; в) 2^» = 256; г) 3*’»= 243. 15 в) 3^ = 81, lOi’ = 100, А = х^; д) 32, 27, А = (р’У. Глава 4, §1, п,2____________________ т ;вычислите А, если: а) 4* = 64, S'» = 64; А = + т^; б) 5^ = 625, 7^ = 49, А = (с + df; 6^ Математическое исследование. Исходя из фундаментального принципа развития математической теории (принципа неразрушения) подумайте, как можно было бы дать определение степени рационального числа с целым показателем. Как в этом случае будут связаны между собой степени одного и того же отличного от нуля числа с противоположными показателями? т Прочитайте высказывание и определите, истинно оно или ложно. Если высказывание ложно, постройте его отрицание и докажите истинность отрицания. а) V а, 6 е Q: (а -Ь ЬУ = + Ь^; в) V х € Q, п е I I = б) 3 а, Ь е Q: (а -I- ЬУ = + Ь^; г) 3 ж е Q, га е | 1 = -ж^». Изобразите на координатной прямой множество значений ж, для которых: а) ж > 4; в) -5 4; и) 3 3; з) | ж + 2 | « • 25« • 45^ + 2,315°. 14* • (^) • 44* • 77® ш Постройте математическую модель и решите задачу: Прогулка сотрудников пончиковой компании Антона и Ксюши по Москве-реке началась в 10 ч утра, когда теплоход отчалил от пристани в Коломенском. Поплыв вниз по течению реки, он через некоторое время остановился на зеленой стоянке, где был устроен пикник, занявший 3 часа. После этого все опять разместились на теплоходе и вернулись на пристань в Коломенском в 9 ч вечера. Чему равно расстояние до места пикника, если скорость течения реки равна 3 км/ч, а собственная скорость теплохода не менялась и была равна 15 км/ч? [90] Докажите, что числа А и В имеют одинаковые остатки при делении на 7. Л = [(42,4 • I — 21,2) • 50 + 100 • (бО • — 1з|||) : || -Н 3,75 • ^)]; в — 26 • [l7i ¦ I — (з| — 2^)] ¦ (li : 4^ н- 9,94). I—1* ф[п Сравните значения выражений: а) 2*° и 10*; б) 10’°° и 100’°; в) 2*°° и 3*°°; г) 31’° и 17*°; д) 4°* и 15«. В гимназии 85 школьников. На занятия английским языком ходят 42 человека, немецким — 28, французским — 30. При этом 10 человек ходят как на занятия английским языком, так и немецким, 5 человек — на занятия английским и французским языками, а 8 человек — на занятия немецким и французским языками. Все эти три языка изучают 3 школьника. Сколько школьников не учат эти иностранные языки? Король решил устроить испытание жениху своей дочери. В одну их трех комнат он посадил принцессу, в другую — дракона, а третью комнату оставил пустой. Если жених угадает, в какой комнате принцесса, то сможет на ней жениться. Табличка на той комнате, где находится принцесса, истинна, на той комнате, где сидит дракон, — ложна, а табличка на пустой комнате может быть как истинной, так и ложной. На комнате 1 висит табличка «Комната 3 пуста», на комнате 2 — «Дракон в комнате 1», на комнате 3 — «Эта комната пуста». В какой комнате находится принцесса? 93 18 Глава 4, §2, п.1 § 2. Многочлены и действия с hmivsh [ 2. Одночлены Математика имеет целью найти общие методы для получения эффективных результатов в различных сферах человеческой деятельности. Граве Дмитрий Александрович (1863-1939), русский математик При решении задач мы часто сталкиваемся с произведениями различного вида. Так, например, объем прямоугольного параллелепипеда есть произведение трех его измерений; выполненная работа — произведение производительности и затраченного времени и т.д. Поэтому выражения, в которых используется только действие умножения, имеют в математике отдельное название и специально изучаются. Определение 1. Произведение, состоящее из числовых множителей и множителей-переменных, называется одночленом. Напомним, что возведение в степень также является умножением. Поэтому одночленами являются, например, следующие произведения: (-ц2 . 2 • Ь)\ т — • 2® 8 ^ <-2ку. ухххсу • (-0,5), Отдельные числа и переменные также являются одночленами, так как их всегда можно представить в виде произведения, например, d = d • 1, 14 = 14 • а°. А вот выражения х-1- 1, у^ - 3 к одночленами не являются, поскольку содержат оу действия соответственно сложения, вычитания, деления. Если среди множителей одночлена имеется нуль, то такой одночлен называется нулевым. Например, одночлен о • а^ • (

0,5)у^х^с = -0,5сх^у^. Поэтому для того, чтобы легче было производить действия с одночленами, вычислять их значение при известных значениях входящих в них букв, договорились записывать одночлены в так называемом стандартном виде. Определение 3. Стандартным видом ненулевого одночлена называется его запись, при которой: 1) коэффициент стоит на первом месте; 2) каждая переменная участвует в записи одночлена лишь один раз в виде соответствующей степени; 3) буквы в записи одночлена (если они есть) следуют в алфавитном порядке. Например, приведенные выше одночлены в стандартном виде записываются так: -0,Ьсх^у^, 16Ь*п^, -k^mz^, d, 14. Определение 4. Стандартным видом нулевого одночлена называется число 0. Проанализируем, как в рассмотренных примерах мы записывали одночлены в стандартном виде, и построим соответствующий алгоритм. Алгоритм записи одночлена в стандартном виде 1. Вычислить произведение всех числовых множителей (коэффициент) одночлена и записать его на первом месте. 2. Определить, какие переменные входят в одночлен, и записать их в алфавитном порядке. 3. Найти и записать степени переменных. После того как мы научились записывать одночлены в стандартном виде, нам становится проще определять некоторые их характеристики и производить с ними арифметические действия. Одной из важных характеристик одночлена является его степень. Например, для одночленов одинаковой степени мы можем установить общие методы решения уравнений, в которые эти одночлены входят. Выбор метода решения задач всегда играет ключевую роль и во многом определяет успех. Поэтому нам важно уточнить это понятие и научиться его применять. Определение 5. Степенью ненулевого одночлена называется сумма показателей степеней входящих в одночлен переменных. Так, степени рассмотренных нами выше одночленов равны соответственно 6, 12, 8, 1 и 0. Степень нулевого одночлена не определяется. Выполнять арифметические действия с одночленами достаточно легко. Ведь мы всегда можем записать сумму, разность, произведение и частное нескольких одночленов (кроме деления на нулевой одночлен). При умножении и возведении в степень одночленов в результате всегда будут получаться одночлены, поскольку никаких других действий, кроме умножения, мы при этом не производим. А вот при сложении и вычитании двух одночленов ситуация иная: одночлен в итоге может получиться лишь тогда, когда слагаемые состгшленной алгебраической суммы, записанные в стандартном виде, имеют одинаковую буквенную часть. 20 Глава 4, §2, п.1 Определение 6. Одночлены, имеющие в стандартном виде одинаковую буквенную часть, называются подобными. Подобными являются, например, одночлены -За^Ь и а^Ь. При их сложении или вычитании, применив распределительный закон умножения, мы вновь получим одночлен, например: -За^Ь + а^Ь = (-3 + 1)а^Ь = -2а^Ь -За^Ь — а^Ь = (-3 — 1)а% = -4а^Ь. Равносильное преобразование, в результате которого все подобные между собой одночлены записываются как один одночлен, называется приведением подобных слагаемых. Приведение одночленов к стандартному виду и приведение подобных слагаемых позволяет упрощать решение различных задач и примеров. Пример. Определите, можно ли записать данное выражение, как одночлен и найдите его значение при т = -48, п = -0,32, к = 5,6: 3 ткп(0,5к)^ тп* — 2пппк^пт^п + knkn • 1^ • mkn^mn. Решение: Мы видим, что сразу ответить на поставленный вопрос очень непросто. Приведем каждый из одночленов данной алгебраической суммы к стандартному виду и упростим полученное выражение: 0,25Wm2 — 2Wm2 + l| • = (0,25 — 2 + 1,75) Wm» = 0 • №/п^= 0. Таким образом, фактически устно мы получили, что при всех значениях т, п и к (в том числе и при указанных в условии) значение данного выражения будет равно 0. А значит, данное выражение является нулевым одночленом. О [^94j 1) Запишите следующие выражения: а) Удвоенный куб числа а. б) Разность квадрата числа х и частного чисел у и г. в) Сумма кубов чисел т, п и к. г) Утроенное произведение квадрата числа Ь и куба пятой степени числа с. 2) Исходя из смысла слов русского языка, выскажите предположение, какие из записанных вами выражений можно назвать «одночленами». Проверьте свое предположение, используя определение понятия одночлена, приведенное на стр. 19. Прочитайте выражение и определите, является ли оно одночленом. Обоснуйте свой ответ. а) 2аЬ^; б) J2 • в) 3(а^ + с^); г) -к-. Д) д’, е) ж) 0; з) -2(х — yf; и) — • 5у, к) (Устно.) Найдите коэффициент одночлена: а) 4х^ • Зу^; в) 0,2а • • (-76); д) <-af; б) -l,2r^s • 0,3t; г) -36с® • (-у*) ¦ |x6; е) -рЧ

2х^ + (\\ху^ — ху^ — Зху^))), если а = -1 б) 2рд^ + 4<3рд^

д) — Ърд^- 8рд^ -Ь (5д — 2(бд — 4рд^ — рд^) -Ь 11? -ь рд’^), если а = 1 в) сФ — (4с + 2с(4 — (б — ЗсЬ))) -I- 0,5(12с -I- 4с^&) — Зс -I- 3(бс^Ь — с), если а = 1,5 г) 5x^z^ — ((5×2 — 3x^2^) — 2хФ^) + 2×2 — 3<2x^z^ - хФ^) + 3x2 -Ь 0,5(-4х^2®), если а = 103 Докажите, что данное выражение может быть записано в виде одночлена. Запишите его в стандартном виде и найдите его значение при данных значениях букв. а) 5т^п - 4(3п - 2тФ) ч- 0,5(2т^га - 4(т^п - Зп)) - 3(m^n - 2га) при rai = 1, га = -1; б) 0,8а^& • 2,ЪаЬ -ь 9аЬ^ • ^а^ - 7аФ^ при а = 2, Ь = -3; в) 2рд^г -1- рд<7дг - 2г^) - бр^ - 3(4рд^г - 2рф + 2рдт^ при р = 2, g = -1, г = 1; г) (5ас)^ - 2ас(8ас - 7аЬ) - 5а^( + ЗЬс) + аФс при а = Ь, Ь = -12, с = -3. 22 Оава 4, §2, п.1 Ю5| О щ Какие одночлены надо поставить вместо А, В, С и D, чтобы выражения превратились в истинные равенства? а) 1х^у^ + А = в) 11а^6^ • С = 5&*‘а'^(а, Ь ^ 0); б) 21pV - В = 4р^; г) : D = (m, п Ф 0). Какие одночлены надо подставить вместо А п В, чтобы равенство превратилось в тождество? а) А^В^ = в) = 27a*b‘W^ ¦ 8а^'сЧ; б) А^Б"* = 81p^'^q*r^^^s'^4rt^q*; г) А^'Б*^ = т*п^кНЧ^п>‘^к^’т^. [1^ Прочитайте высказывание и определите, истинно оно или ложно. Для ложных высказываний постройте отрицания и докажите истинность отрицаний. а) V X G Q: • X’ = х^®; в) V х, г/ е Q: (хг/’*)^ = х^у®; б) 3 X G Q: х“ • X® = х^®; г) 3 х, у g Q: (ху»*)^ = ху. Постройте математическую модель и решите задачу: а) Число мужчин, женщин и детей, занимающихся в секции тенниса, относится как 3:5:9. Сколько детей в этой секции, если всего в ней занимаются 34 человека? б) Число однокомнатных, двухкомнатных, трехкомнатных и четырехкомнатных квартир в доме относится как 5,7 : 5,6 : 2,2 : 1,5. Сколько трехкомнатных квартир в этом доме, если в нем всего 150 квартир? в) Для изготовления блинов берут муку, молоко, яичный порошок и прочие компоненты (сахар, сода, соль) в отношении 2:4: 0,75 : 0,25. Сколько нужно муки, чтобы приготовить 3,5 кг блинов? Выполните указанное действие по модулю т: а) 13 ч- 11, лг = 7; г) 27 — 3, m = 8; б) 9 Ч- 17, m = 9; д) 35 — 12, m = 4; в) 11 Ч- 11 Ч- 11, т = 14; е) 48 — 17, m = 3; Докажите, что для любых целых а: а) + 2а^ Ч- За либо делится на 4, либо при делении на 4 дает остаток 2; б) 2а® Ч- а® Ч- 5а либо делится на 3, либо при делении на 3 дает остаток 2. «П ж) 6 • 3, лг = 5; з) 19 • 2, m = 6; и) 7®, лг = 11. 110| Приведите одночлен к стандартному виду, определите его коэффициент и степень: б) 24х® • i-^yzxf • (-0,2х®2). а) 15аЬ®а6 • (-^а^Ь); Выполните указанные действия (при допустимых значениях переменных) и докажите, что в результате их получится одночлен. Запишите его в стандартном виде. а) 11а®Ь’‘ — (5а6’‘а® Ч- 4Ь*а^); б) -0,2cd® • (5dc)® Ч- 7сЧ^с; в) (9х : у®) • (х®у : 3)® • ^ — 8х’‘у® : (2ух®); г) (7ру®)®- (2у®р): (-14у®р®) — (Зур)®: (-9ур®). 23 Глава 4, §2, n.1 1Тз| И Запишите данное выражение как одночлен стандартного вида. Запишите подобный ему одночлен с коэффициентом а. а) 2х — (Зхг/^ — Ах) + Ьху^ — 1х — (9х — (Юл: — (Аху^ — Зху^ — 2ху^))), если а = -2; б) АсЬ^ — <1сЪ^

2с) — 2с&^ — сЪ^ + (Ас — (6с — 2сЬ^ — сЬ^) + сЬ’^), если а = 3. Докажите, что данное выражение может быть записано в виде одночлена. Запишите его в стандартном виде и найдите его значение при данных значениях букв. а) 7х^у — А(2ху — х^у) — (Зх^у — (Зх^у + Аху)) — А(2х^у — ху) при х = 2, у = -2; б) (3ml)^ — 6(тп)^ — 2т\А1^ — Зп^) — 20тЧ^ при m = 1, га = -1, I = -2. Какие одночлены надо поставить вместо А, В, С и D, чтобы выражения превратились в истинные равенства? а) 9а^Ь’’ -f А = 28а®&^; в) \9х*у^ • В = 4л:®у*(х, у ^ 0); б) 48тга®га“ — С = 14/га®га”; г) : D = llp^q’’ (р, q ^ 0). Какие одночлены надо подставить вместо А и В, чтобы равенство превратилось в тождество? а) А®В® = б) А®В’^ = 27x^y^zH^ • 9у^хН^. Количество сотрудников пяти филиалов пончиковой компании Антона и Ксюши — московского, питерского, воронежского, казанского, сочинского — относится как 7,25 : 3 : 2 : 1,25 : 2,5. Определите, сколько сотрудников работает в каждом филиале, если всего в этих пяти филиалах работает 320 человек. Докажите, что а® -I- 4а для любых целых а либо делится на 5, либо при делении ;ia 5 дает остаток 1, либо при делении на 5 дает остаток 4. С ‘ /^1 1181 Докажите, что разность А и В делится на 17: А = /35+ 4—65 9 0.1-(3i + 4^-li-5|):4l В = ^9 5^ — 2^ — i ^8 4 2 j2 150. На острове Невезения с населением 96 человек правительство решило провести 5 реформ. Каждой реформой недовольна половина всех граждан. Гражданин выходит на митинг, если он недоволен более чем половиной всех реформ. Какое максимальное число людей правительство может ожидать на митинге? —-1* 120 Несколько друзей нашли клад и начали его делить. Первый взял 100 золотых монет и десятую часть остатка. Второй взял 200 золотых монет и десятую часть остатка, третий — 300 золотых монет и десятую часть остатка, и так до последнего. Сколько золотых монет было в найденном кладе и сколько было друзей, если в процессе указанного дележа все получили поровну? 24 Глава 4, §2, п.2 2. Многочлены Алгебра щедра. Зачастую она дает больше, чем у нее спрашивают. Жан Лерон Д’Аламбер (1717-1783), французский математик, механик и философ Как мы уже знаем, алгебраическая сумма нескольких одночленов является одночленом, только если речь идет о сложении и вычитании подобных одночленов. В общем случае мы получаем новое выражение, называемое многочленом. Определение 1. Выражение, записанное как алгебраическая сумма одночленов, называется многочленом. Например, многочленами являются выражения: 2х + Зу 5 — а^ + 6а — аЫ Зп^- 8 -I- 4л® Изучение свойств многочленов крайне важно, так как часто они являются математическими моделями практических задач. Так, например, стоимость покупки из 2 книг по цене дс р. и 3 журналов по цене у р. или длину пути автомобиля, ехавшего 2 ч со скоростью X км/ч и 3 ч со скоростью у км/ч, можно записать с помощью многочлена 2х -1- Зу. Поэтому для того, чтобы решать самые разнообразные задачи, нам надо научиться выполнять действия с многочленами и преобразовывать их. Определение 2. Одночлены, из которых составлен многочлен, называются членами многочлена. При этом многочлен, состоящий из двух одночленов, называют двучленом, из трех — трехчленом и т.д. Например, 2х + Зу — это двучлен, 5 — а^ + 6а — аЬ^- четырехчлен, Зл^- 8 + 4л®-трехчлен. Сам одночлен также является многочленом, состоящим из одного члена. Многочлены, как и одночлены, можно записать различными способами. При этом два многочлена считаются равными, если один из них может быть получен из другого с помощью равносильных преобразований. Так, 5 — а^ + 6а — аЬ^ = -аЬ^ — а^ + 6а + 5, поскольку при перестановке слагаемых их сумма не изменяется. Однако вторая запись упорядочивает члены многочлена по степеням. Как мы уже убедились на примере одночленов, упорядочивание записи математических объектов значительно упрощает различные операции с ними. Определение 3. Стандартным видом многочлена называется запись, при которой все его члены: 1) являются одночленами стандартного вида; 2) не являются подобными одночленами; 3) записаны в порядке убывания степеней одночленов (одночлены, имеющие одинаковую степень, записываются в произвольном порядке). 25 Глава 4, §2, п.2 Определение 4. Степенью многочлена называется наибольшая из степеней входящих в него одночленов при записи многочлена в стандартном виде. При этом член многочлена, имеющий наибольшую степень, называют старшим членом, а имеющий нулевую степень — свободным членом многочлена. Запишем в стандартном виде рассмотренные нами многочлены и определим их степени, а также их старшие и свободные члены. Многочлен Степень Старший Свободный В ставщартном виде многочлена член член 2х + 3(/ 1 2х и Зу 0 -аЬ^ — а- + 6а + 5 3 -аЬ^ 5 4л® + Зл»- 8 6 4 л® -8 Пользуясь определением стандартного вида многочлена, мы можем записать следующий алгоритм. Алгоритм записи многочлена в стандартном виде 1. Записать все члены многочлена в стандартном виде. 2. Привести подобные слагаемые. 3. Определить степень каждого одночлена и записать их алгебраическую сумму в порядке убывания степеней. При решении разнообразных задач нам часто приходится вычислять значение многочлена при известных значениях входящих в него переменных. Рассмотрим пример, который поможет нам выявить некоторые общие закономерности, упрощающие вычисления. Пример. Найти значение многочлена 4п^+ Зп^ — 8, если: 1) п = -2; 2) п = 1; 3) « = 0. Решение: Поскольку многочлен уже записан в стандартном виде, подставим в него данные значения переменной п. (

2f + 3 • (-2)2 -8 = 4- (-32) -f 3 • 4 — 8 = 8 = 4 1) Если п = -2, то 4л®-Ь Зд2 = -128 4- 12 — 8 = -124. 2) Если л = 1, то 4л® ч- Зл®- 8 = 4 3) Если л = о, то 4л®-I- Зл®- 8 = 4 1® -Ь 3 о® + 3 Р — 8 = 4 + 3- 8 = — 1. о* — 8 = 0 + 0- 8 = -8. Анализируя полученные результаты, мы видим, что если переменная равна 1, то вычисление значения многочлена свелось к нахождению алгебраической суммы его коэффициентов, а при нулевом значении переменной оно равно свободному члену. Полученный вывод имеет общий характер. Теорема 1. Если значения всех переменных, входящих в запись многочлена, равны 1, то значение многочлена равно алгебраической сумме всех его коэффициентов. Доказательство: Любая натуральная степень единицы равна 1, а при умножении на 1 число не изменяется. Значит, значения всех членов многочлена при единичных значениях переменных будут равны их коэффициентам. А поскольку многочлен является алгебраической суммой своих членов, то его значение будет равно алгебраической сумме всех его коэффициентов, что и требовалось доказать. Т 26 Глава 4, §2, п.2 Теорема 2. Если значения всех переменных, входящих в запись многочлена, равны О, то значение многочлена равно его свободному члену. Доказательство: Любая натуральная степень нуля равна О, а при умножении числа на О получается 0. Значит, при подстановке в многочлен вместо переменных нуля значения всех его членов (кроме свободного) будут равны 0. Следовательно, значение многочлена будет равно алгебраической сумме, состоящей из нулей и свободного члена, и поэтому равно свободному члену, что и требовалось доказать. Ў 1211 Запишите данные выражения в виде суммы одночленов. Как одним словом можно было бы назвать все эти выражения? а) т^п — тп^; б) — 2х + 3; в) а* — 4а^Ь -f 2а^Ь^ — аЬ^ — ЗЬ*. 122| Исходя из определения многочлена, приведенного на стр. 25, определите, можно ли указанное выражение записать как многочлен: а) 4(а -I- Ь); б) 7ху’^; в) — д2. л 2. д) 3» ж) 2х — 5 16 >•2 _ з) а^ -I- 9-3 г) -т(т -(- 1); е) 0; Щ Дан многочлен: 2а^а — а^а^ -9-1- 4аа. Проанализируйте его запись и предложите свою версию стандартного (удобного для работы) способа записи многочлена. Что естественно было бы считать степенью многочлена? Какой из его членов можно было бы назвать «свободным членом»? Сравните свои определения с теми, которые приведены на стр. 25-26. 124) Докажите, что данные многочлены записаны в стандартном виде. Назовите их степени, свободные члены и коэффициенты членов, имеющих буквенные множители. а) -2х + Зу; в) — у2 — 4х + 9; б) — 1; д) у^ + 2у^

ЬУ) = (а — Ь)(а^ + аЬ + h^). Выражение а^ + аЬ + получило название неполного квадрата суммы а и 6, так как в нем также отсутствует коэффициент 2 у произведения аЬ. 80 Глава 4, §3, п.4 Итак, мы приходим к следующей формуле разности кубов двух выражений: Формула разности кубов Разность кубов двух выражений равна произведению разности этих выражений на неполный квадрат их суммы. дЗ _ ^3 = (д _ ^)(q2 + _|_ jj2^ Полученные нами формулы суммы и разности кубов, как и все другие формулы сокращенного умножения, рассмотренные ранее, верны для любых а и 6, а значит, являются тождествами. Их использование значительно упрощает различные преобразования выражений и вычисления. Рассмотрим следующие примеры. Пример 1. Запишите произведение как многочлен стандартного вида (2х -f Zy)9^ — 19 • 21 + ^- >9^ — >r^= -19 • 21 = -(20 — 1)(20 -f- 1) = -(400 — 1) = -399. G 4321 Представьте выражение в виде степени с показателем 3, если это возможно: 27/п®®а*® 6® ’ е) 8^® • 1 а) 27а®6’®; б) в) 64а’^6®а®6; г) Д) 433| Прочитайте выражения: (А + В)®; (А — Bf-, А® -I- В®; А® — В®. Соотнесите приведенные ниже записи с одним из этих четырех выражений, указав возможные А и В: а) <2х -I- 1)®; б) 64с® -t- d®; в) (-х® ч- г/'*)®; 3*/^¦“Петорсон. 7 кл., ч. 2 г) 8i/® - 272®; ж) (5а - 36)®; д) (12р® - 15д®)®; з) г'®-1- 8s®; е) т'® -t- 27л®®; и) (9/г -I- 8)®; к) -125с® -I- d»®; л) (б2 + 11)®; м) 125а®‘ - а®. 81 tfia&a ч, л.4 1) Запишите произведение суммы а и 6 и неполного квадрата разности а и Ь как многочлен стандартного вида. Что вы замечаете? 2) В полученную формулу подставьте (-Ь) вместо Ь. Какая формула получилась? 3) Используя полученные равенства, сформулируйте соответствующие правила и сравните свои формулировки с формулировками на стр. 80-81 учебника. Докажите, что: а) -а® - Ь’* = -(а® 4- Ь^у, б) = -(а® - Ь^). Пользуясь формулами суммы и разности кубов, докажите, что для любых а и Ь верно равенство: г) (а -f- Ь)<-а^ + аЬ - Ь^) = -а* - ft'*; д) (-а -I- Ь)(а^ + аЬ + Ь^) = - а®; е) (-а -I- Ь)(-а^ - аЬ - Ь'^) = а® - Ь*. а) (-а - Ь)<а^ - аЬ + Ь^) - -а® - 6*; б) (-а - Ь)<-а^ + аЬ - Ь'^) = -Ь в) (а - Ь)(-а^

аЬ — Ь’^) = — а^; Выполните умножение: а) (а + 1Хо^ — а + 1); д) (2р + ЗХ4р^ — 6р + 9); и) (2л + rti^)х = 2. Таким образом, корни исходного уравнения х = -1 и х = 2. Если бы мы не узнали, что многочлен х^ — х — 2 можно представить в виде произведения (х -f 1)(х — 2), то не смогли бы решить данное уравнение, так как пока не знаем общего способа решения уравнений такого вида. Умение раскладывать многочлены на множители, то есть представлять их в виде произведения двух или более многочленов, оказывается очень полезным при решении различных задач. А значит, нам надо этому научиться. Следует отметить, что любой многочлен мы всегда можем представить в виде произведения некоторого числа и многочлена, причем бесконечным числом способов. Для этого достаточно вынести за скобки любой числовой множитель, например: х2 — X — 2 = 2(0,5х2 0,5х — 1) = |(3х2 — Зх 6) = 0,2(5х^ — 5х — 10) и т. д. Но такое разложение на множители не поможет нам в решении многих задач (например, в решении уравнения, которое мы только что рассмотрели). Поэтому, когда мы будем говорить о разложении многочленов на множители, мы будем иметь в виду разложение многочленов на буквенные множители (то есть такие разложения, в которых каждый многочлен-множитель имеет степень, большую нуля). Например, операцию представления многочлена 2а -ь 26 в виде 2(а -I- 6) мы не будем считать операцией разложения многочлена на множители, а будем считать операцией вынесения числового множителя за скобку. 88 Глава 4, §4, п.1 Итак, Определение. Разложить многочлен на множители (на буквенные множители) -это значит представить его в виде произведения двух или более многочленов, степень которых больше нуля. Разложить многочлен на множители не всегда легко, а порой и невозможно. Поиск соответствующего способа разложения — процесс творческий, требующий большой изобретательности. Тем не менее существуют приемы, позволяющие упростить этот поиск. Одним из наиболее простых способов разложения многочлена на множители является вынесение общего множителя за скобки. Этот способ основан на распределительном законе умножения: а, Ь, с & Q: а(Ь + с) = аЬ + ас аЬ + ас = а<Ь -ь с) (п.п. 3.1.1 - 3.1.2). Например, каждый член многочлена - 10х^ + 25х имеет множитель 5л:. Значит, этот многочлен мы можем рассматривать как произведение одночлена 5х и многочлена л:^ - 2л: -I- 5. Ведь - Юл:^ + 25х = 5х • л:^ - 5х • 2л: -Ь 5х • 5 = 5л:(л:^ - 2л: -Ь 5). Таким образом, мы разложили многочлен 5х^ - 10х^ + 25х на множители 5л: и л:=^ - 2л: + 5. Проверить правильность разложения многочлена на множители можно умножением. Так, умножив Ъх на многочлен х^ - 2х 5, записанный в скобках, мы получим исходный многочлен 5х'^ - \0х^ + 25л:. Вынеся общий множитель 5х за скобки, в скобках мы записали многочлен, каждый член которого мы разделили на 5х. Проведенное рассуждение верно и в общем случае. Действительно, пусть все члены некоторого многочлена са^ -h са^ + . -t- са^, п € N, имеют общий множитель с. Тогда если с 5^ О, то вынесем за скобки общий множитель с, выполнив следующие равносильные преобразования: 1са, сао , са, + са., + . -1- са — с|— -Ь — -t- . -I- —) = с(а, -Ь а, -Ь . -1- а ). 1 2 «\сс с I ^ ^ " Если же с = О, то равенство са^ -f са^ -Ь . + = с <а^ а^^ . -t- aj также бу- дет верно. Поэтому вынесение за скобки общего множителя, в отличие от действия деления, возможно для множителей как равных, так и не равных нулю. Итак, чтобы вынести за скобки общий множитель с, мы можем в скобках записать многочлен, каждый член которого получен в результате его деления на с. Заметим, что члены исходного многочлена 5л:^ - Юл:^ -I- 25л: имеют и другие общие буквенные множители: л:, -л:, -5л:, 2л: и т.д. Но за скобки удобнее всего выносить 5х или -5л:. В этом случае в скобках остается многочлен, все члены которого не имеют общих буквенных множителей. При этом коэффициенты всех членов получившегося в скобках многочлена - целые числа, которые не имеют общих делителей, отличных от 1. Именно к такому разложению многочленов на множители мы и будем стремиться, вынося общий множитель за скобки. Рассмотрим несколько примеров использования разложения многочленов на множители при решении задач. 89 Глава 4, §4, п.1 Пример 1. Упростите при а ф О выражение: Решение’. 9ас - Заб - 6а^ За Заметим, что все члены многочлена, стоящего в числителе, имеют общий множитель За. Вынесем его за скобки, разделив каждый из членов многочлена, стоящего в числителе, на За. Получаем: д^/9ас _ Заб _ 6а^\ 9ас - ЗаЬ - 6а^ _ За За За / ^ За(3с - Ь - 2а) За За За Теперь, поскольку За О, мы можем сократить дробь на За. В итоге получаем: 9ас - Заб - 6а^ За = Зс - Ь - 2а. Отметим, что выносить за скобки можно не только одночлены, но и более сложные выражения, если они являются общими множителями всех слагаемых некоторой суммы. Пример 2. Решите уравнение: 3(2х - If - д(2х - If - 9(2л: - 1) = 0. Решение: Выражение в левой части уравнения состоит из трех слг1гаемых, имеющих общий множитель 3(2х - 1): 3(2х - If = 3(2х - 1) ¦ (2х - If 6(2х - If = 3(2х - 1) • 2<2х - 1) 9(2д: - 1) = 3(2х - 1) • 3 Вынесем его за скобки и преобразуем выражение, полученное в скобках: 3(2jc - If - 6(2jc - If - 9(2x - 1) = = 3(2x - 1) ¦ (2x - If - 3(2x - 1) ¦ 2<2x - 1) - 3(2x - 1) • 3 = = ЗГ2х - 1) ¦ [(2x - If - 2(2x - 1) - 3] = = 3(2x - 1) • [4x2 _ ^ + j/- ^ = 3(2x - l)(4x2 - 8x) Выражение 4x^ - 8x, стоящее во второй скобке, мы также можем разложить на множители, вынося за скобки общий множитель 4х. Получим: 3(2х - 1)(4х2 - 8х) = 3(2х - 1) • 4х(х - 2) = 12х(2х - 1)(х - 2). Значит, исходное уравнение равносильно уравнению 12х(2х - 1)(х - 2) = 0. Произведение нескольких множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Следовательно, 12х(2х - 1)(х - 2) = о о 12х = 0 или 2х - 1 = 0 или х - 2 = 0 о X = о или X = 0,5 или X = 2. Ответ: <0; 0,5; 2>. Заметим, что при решении примера 2 нам пришлось выносить общий множитель за скобки несколько раз. Ведь если бы мы вынесли за скобки только один из общих множителей, х или 2х — 1, это не дало бы нам возможности решить исходное уравнение. 90 Глава 4, §4, п. I О т Сократите дробь: 2а + 2Ь -24 а) б) Зх — Зу’ в) 4 . 25р + 45q ^ 27г + 18s 12с — 166’ -10 ’ &t — 21v ¦ Какой одночлен надо поставить вместо А, чтобы равенство превратилось в тождество? а) Збх^у = А • 4ху; б) 54гЧ^ = 27А • 2®; в) 18р’° = • А; г) 15q^r^ = 5А • rq; д) 12а6с = А • Зс; е) 9dV = ЗА • Зd^. Вычислите рациональным способом. Какой закон умножения вы при этом использовали? а) 6 • 19 -1- 6; в) 34 • 3 + 17 • 4; д) 58 + 29 • 3; б) 27 • 5 + 13 • 5; г) 40 • 4 32 • 15; е) 72 + 36 • 8. 1) Пользуясь распределительным законом умножения, вынесите за скобки общий числовой множитель тремя различными способами: — X — 2. Сколько различных способов вынесения за скобки общего числового множителя существует? 2) Найдите произведение двучленов (х + 1)(х — 2). Что вы замечаете? 3) Используя один из способов разложения многочлена х^ — х — 2 на множители, решите уравнение: х2 — X — 2 = 0. 4) Сравните способы представления трехчлена х^ — х — 2 в виде произведения нескольких множителей, полученных в заданиях 488 (1) и 488 (2). Чем они похожи? Чем отличаются? 5) Предложите свой вариант определения операции «разложение многочлена на множители». Сравните свое определение с определением, приведенным на стр. 89 учебника. Вынесите общий множитель за скобку и проверьте правильность своего результата, выполнив умножение: а) 3 — За; г) 4т — 8п; ж) pq + 8р; к) 2kt — t^; 6) 56 — 20; д) 15х + 45у; з) аЬ — Ьс; л) тп® + Зт; в) 2 + 6с; е) 18с — 72d®; и) х® — ху; м) 7д® — 2®. В каких случаях мы говорим, что выполнено разложение многочлена на множители? Разложите многочлен на множители тремя различными способами: бу® — 12у^ + Збу. Какое действие над членами данного многочлена надо выполнить, чтобы найти выражение в скобках? Какой общий буквенный множитель удобнее всего выносить за скобки? Почему? Сравните свои выводы с выводами на стр. 89 учебника. 91 Глава 4, §4, п.1 Разложите двучлен на множители: а) За^ — 6а*; д) 9х^ — бх^у; и) \6т^п + Ът^п*; б) 16b» — 8b»; е) Ir^s + 21r*; к) -bu^v* — lOuu^; в) бс* — 12с®; ж) 18рд® — 9q*; л) -27а®Ь + 18а^Ь^; г) lOd» + 30d®; з)2а®+4а + 8‘2 и 8’^ • 8»2; в) (215 + 647)2 „ 2152 -f 6472; б) И»* — Ц22 и 11« : Ц22; г) (536 — 197)2 и 5362 + 1972. Найдите значение выражения; •у>25 • д\ —-±——± 733 . ^19 17 г16 . (^^4 . Jily Д.0З + Зх^> при л: = 3; ,34 . . ^47^ . ^5 . (р6^8 . q39 ,34 б) (р^)37 . у49 ; ^46 . р38) . ^12)3. ^7 “ 9(рдг)« ПрИ р = 4, ^ = 3, Г = 6. 57^ а) В бюджете пончиковой компании Антона и Ксюши запланировано к концу второго года добиться снижения расходов по сравнению с текущими годовыми расходами на 19%. Каждый год расходы должны снижаться на одно и то же число процентов. На сколько процентов нужно в течение этих двух лет снижать ежегодные расходы? б) В пончиковой компании Антона и Ксюши в настоящее время работают 432 сотрудника. Известно, что в последние два года число сотрудников пончиковой компании ежегодно увеличивалось на 20%. Сколько человек работало в пончиковой компании 2 года назад? ЁИ Зная, что 1 января 2020 года воскресенье, определите, каким днем недели будет: а) 23 февраля 2020 г.; б) 1 июня 2020 г.; в) 4 ноября 2020 г. 579 Какой остаток при делении на 7 дает число 333^’*» • 4442®®? 580| Докажите, что А и Б являются решениями уравнения (л: — 29)(л: + 28) = 0: 8 А = 2^ • 5 4| • 3 — 21^ : 7 + 2б| : 5; В = 7 14 7 — 9:;| • 9 + 2 • 287 : 23. 18 4 5821 Миша, Гоша и Антон решали задачи. Миша решил на 25% больше задач, чем Антон, и на 50% меньше, чем Гоша. На сколько процентов Гоша решил задач больше, чем Антон? 5821 Когда пассажир проехал треть всего пути, он стал смотреть в окно и смотрел до тех пор, пока не осталось проехать треть того пути, что он проехал, смотря в окно. Какую часть всего пути пассажир проехал, смотря в окно? 106 Глава 4, §4, п.З 3. Формулы сокращенного умножения и разложение многочленов на множители «Математика — один из видов искусства». Норберт Винер (1894-1964), американский математик и философ, основоположник кибернетики Иногда разложить многочлен на множители помогают полученные нами в § 3 этой главы формулы сокращенного умножения. И действительно, если нам надо будет, например, разложить на множители многочлен а® + За^б + 3afe^ + 6®, то, вспомнив формулу куба суммы, мы сразу напишем требуемое разложение: а^ + За^б + Заб^ + = (а + Ь)® = (а + б)(а + Ь) <а + Ь). А если на множители надо разложить многочлен а^ + 6^, то, зная формулу суммы кубов, мы запишем а® + = (а + 6)(а® - аЬ + 6®), Конечно, когда для разложения на множители требуется непосредственно применить одну из формул, то ответ мы можем записать сразу. Однако чаще всего раскладывать на множители приходится многочлены, которые не являются явными формулами сокращенного умножения, и, прежде чем применить ту или иную формулу, нужно выполнить некоторые преобразования исходного многочлена. Умение увидеть нужное преобразование приходит с опытом. И каждый, кто хорошо знает формулы сокращенного умножения, может этому научиться. Рассмотрим несколько примеров, в которых использование формул сокращенного умножения упрощает разложение многочленов на множители. Пример 1. Разложите на множители многочлен х® - 2х® + 1. Решение: Заметим, что х® = (х®)®, 1 = 1®, а 2х® является удвоенным произведением х® и 1. Значит, для разложения данного многочлена на множители можно воспользоваться формулой квадрата разности. Получаем: X® - 2х® + 1= (х®)®- 2 • X® • 1 - 1® = (х® - 1)®. Пример 2. Разложите на множители многочлен х"* - 1. Решение: Каждый член данного многочлена можно представить в виде квадрата: х* = (х®)®, а 1 = 1®. Следовательно, для разложения многочлена на множители можно воспользоваться формулой разности квадратов. Получаем: х г) у2 — б2 - 16 с2 + 6cd + 9rf2 49q2 - 14дгд + л;2, 22 - 42 - 12 ’ 4г2 - 20г - 39 е) 4г2 - 28г + 13 • (5л: + 7г/)2 - 36л:2’ [б0^ Постройте высказывание, обратное данному. Определите истинность исходного и обратного к нему высказываний. Для ложных высказываний постройте отрицания: а) Если целое число а делится на 3, то число 10а также делится на 3. б) Если целое число 15а делится на 5, то число а также делится на 5. в) Если л:2 = 4, то л: = 2 или х = -2. г) Если I/ = 3, то 1/2 = 9. д) Если 2 >2, то I 2 I > 2. е) Если I г I > 5, то г > 5. 606| Найдите значение выражения: 727 . 22« • 7″» • (2*f ¦ (11»« : И®») а) IV у55 . 2^0 (9^^ : 320) . 551 . 743 . б)————————————— 150. 5-51 . (739 . 737)5 . 1512 . 2157 6071 а) Разделите число 2478 на три части пропорционально числам 2, 5, 7. 1 б) Разделите число 2420 на четыре части пропорционально числам 2, 3, 8, 11^. 60^ На координатной плоскости Оху постройте множество точек, координаты которых удовлетворяют неравенству: а) л: > 5; в) t/ 2; з) | л: — 2 | d» — 1 • Представьте выражение в виде произведения многочленов, используя формулу разности квадратов: д) Збт^ — (т — rif\ ж) (12 + 52’*)^ — (Зг^ + 7г)^; е) х^у* — (дс^ — у^У’, з) (Зи^ -Ь оиУ — (8и* — 7иУ. 113 а) 9о^ — 25; б) 64 — 4952; в) c’^ — cFs^’, г) — г®; Глава 4, §4, п.З 61^ Разложите многочлен на множители, используя формулы квадрата суммы и квадрата разности: а) -2ху + + у^\ в) 36а» — 12а^Ь + 6^; д) 25р® 4- AOp^q^ + 169^; б) 92^ + 62 + 1; г) 49с’ + 14c^d + е) 81m® — + 4n®. 6j^ Представьте выражение в виде произведения двух многочленов, используя формулы суммы и разности кубов: а) т® — 64; в) — 9®; д) х®г/® + ж) 343 -Ь (11 — г’)®; б) ге® + 125; г) 27г® + 216s®; е) а®&‘® — c®d®; з)(7а + 3^)® — 216f®. ЕЁ1 Разложите многочлен на множители, используя формулы куба суммы и разности: а) 27а®6 -I- 27а® + 9аЬ’^ + 5®; в) л:®1/® — 642® + 48x^yz^ — 12x’‘y‘^z; б) 64с® — 96c®d + 48cd® — 8d®; г) — 3m’®«®fe® + Зт^п’к^ — /г®. бП! Найдите значение выражения: а) 7а^ — 76® при а = 1,3; 6= 1,7; б) 25с® -I- 49d® — 70cd при с = 0,4; d = в) 64л:® — 96дг® -t- 48x — 8 при х = 0,75. Докажите, что: а) 2® 4- (2 -Ь 1)® при делении на 4 дает остаток 1 для любого целого 2; б) (9? — 4)® — 16 делится на 9 для любого целого t. 62^ Решите уравнение: а) 36а® — 25 = 0; в) (Зс — 7)® — 4с® = 0; б) 96® — 64 = 0; г) (8d + 11)® — 16d® = 0; ЁЗ Разложите на множители: а) 2а 4- 26 — а® 4- 6®; в) 16 — р® — 28д 4- Ipq; б) 4с® — d® — d — 2с; г) 9г* — 49 — 3r®f® — 7^®; Разложите на множители: а) X* — 16; б) г/® — у*; в) 2® — 64; г) 4а® 4- За’6′ 4- 6®. Какой знак неравенства надо поставить вместо Q, чтобы в результате получилось неравенство, верное при всех значениях переменной? а) а® — 14а 4- 49 ? 0; в) — (с — 3)® — 5 ? 0; б) -6® + 166 — 64 ? 0; г) (d + 11)® -f 1 ? 0; Разложите многочлен на множители: а) д:® — 6jc — 7; в) 42® 4- 12г + 5; б) г/® — 10у — 24; г) -9 3; г) | 1/ — 3 | x^ + 4p^ — + 4xy_ _ 4y2 + 2^ + 2zx’ Д) e) — 2c — + 1 — 2cd + — 1’ — rs — St — s^ + — 2sr — ‘ Рациональным способом найдите значение выражения: а) 7а^Ь + 5аЬ^ при а = ^; Ь = б) X* — 12х^ + 10х‘^ + 10х +11 при л: = 11; 2 3 в) (5/л — Зл)^ — (4л1 — 2л)^ при m = ^; л = ^; г) (Зс — 4d)’^ — <2d - Зс)2 при с = 0,75; d = -1,25; д) у^ - 2у^г - 4yz + 8z'^ при у = 5,5; z = 0,25; е) р^ + p^q - pq^ - q^ при р = 1,3; 7 = 0,8. Вычислите: а) 15,4^ - 7,6" + 23 • 2,2; б) 46,8" - 12 • 51,6 - 34,8"; в) 43 • 8,4 + 27,3" - 15,7"; г) 18 • 62,4 - 35,2" + 17,2"; Докажите тождество: а) х" + 4х - у" + 4у = (х + у)(х - у + 4); б) 2" - 3^ + г - 9f" = (2 - 30(2 + 3t + 1); в) (т + л)(т + ft) = лг" + т<п + ft) + nk; г) (р - у)(р - г) = р^ - p0, х + 3>0. Нам известно, что площадь прямоугольника равна произведению его длины и ширины. С другой стороны, по условию задачи она равна 9 см^. Составим математическую модель задачи: (X — 5)(х + 3) = 9 ________^ X + 3 — ? _х>0, х-5>0, хЧ-3>0 127 Глава 4, §4, п.5 Стратегия решения уравнения. Для ответа на вопрос задачи нам надо решить уравнение (л: — 5)(л: + 3) = 9. Общий способ решения таких уравнений нам пока не известен. Но нам встречались уравнения вида (ах -I- ft)(cx -I- d) = О, где а, Ь, с, d е Q, а х — неизвестная величина. Мы знаем, что произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Значит, если мы сможем представить исходное уравнение в указанном виде, то для полного решения задачи нам достаточно будет воспользоваться данным правилом, то есть: (ах ч- Ь)(сх -i-d) = 0oax + 6 = 0 или сх + d = 0. А находить корни таких уравнений мы уже умеем. Тем самым решение уравнения неизвестного вида будет нами сведено к решению уже известных уравнений. Таким образом, для решения задачи нам надо выполнить следующую последовательность действий. Шаг 1. Представим уравнение (д: — 5)(х -f 3) = 9 в виде (х — 5)(д: -Ь 3) — 9 = О и запишем левую часть как многочлен стандартного вида. Шаг 2. Разложим полученный многочлен на множители. Шаг 3. Каждый из множителей приравняем к нулю и найдем корни получившихся уравнений. Шаг 4. Выберем из всех корней те, которые удовлетворяют неравенствам л: > О, л:-5>0, д:-1-3>0. Шаг 5. Для выбранных корней вычислим д; -*- 3 и запишем получившийся ответ. Реализапия стратегии. Шаг 1 (х — Ь)(х -I- 3) = 9 (х — 5)(х 4-3)-9 = 0ох^-1-Зх-5х-15-9 = 0о о — 2х — 24 = 0. Шаг 2 Для того чтобы разложить многочлен х^ — 2х — 24 на множители, выделим полный квадрат. Для этого добавим и вычтем 1, а затем воспользуемся формулой разности квадратов. х2 — 2х — 24 = х2 — 2х + 1 — 1 — 24 = х^ — 2х -I- 1 — 25 = (X — 1)2 — 25 = (X — 1)2 — 5^ = = (X — 1 — 5)(х — 1 -I- 5) = (х — 6)(х + 4). Шаг 3 Чтобы решить уравнение (х — 6)(х Ч- 4) = 0, приравняем к нулю каждый из множителей: (х — 6)(х 4-4) = 0 х-6 = 0 или хЧ-4 = 0 0, 6-5>0и6ч-3>0 — истинно. Корень X = -4 не удовлетворяет неравенству х > 0, так как -4 > 0 — ложно. 128 Глава 4, §4, п.5 Шаг 5 Вычислим искомое значение длины прямоугольника: х + 3 = б + 3 = 9 (см). Ответ: длина прямоугольника равна 9 см. Задача 2. Загадали три рациональных числа. Произведение первого и третьего из них равно (-6). Известно, что второе збсгаданное число на 6 больше первого, а третье — на 11 больше произведения первого и второго чисел. Найдите эти числа. Решение: Построение математической модели. Пусть первое рациональное число равно х. Тогда второе рациональное число равно л: + б, а третье равно х <х + 6) + 11. Известно, что х [х(л: + 6) + 11] = -6. Составим математическую модель задачи: X [х<х + 6) + 11] = -6 _____ X, д: + 6, х(х + 6) + 11 е Q -> X, X + 6, x(jc + 6) + 11 — ? Стратегия решения уравнения. Для того чтобы решить данное уравнение, запишем его в виде X [х<х + 6)+ 11]+ 6 = 0 и разложим многочлен в левой его части на множители. Затем приравняем каждый из множителей к нулю и найдем корни получившихся уравнений. Тем самым мы найдем корни исходного уравнения, так как произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Итак, для решения задачи выполним следующие действия в такой последовательности: Шаг 1. Представим уравнение д:: [х<х -Ь 6) 11] = -6 в виде х [x(x + 6)-1-11]-1-6 = 0 и запишем его левую часть как многочлен стандартного вида. Шаг 2. Разложим полученный многочлен на множители. Шаг 3. Каждый из множителей приравняем к нулю и найдем корни получившихся уравнений. Шаг 4. Проверим, что корни уравнений являются рациональными числами. Шаг 5. Вычислим дг 6, х(х -Ь 6) -f- 11 и запишем получившийся ответ. Реализация стратегии. Шаг 1 X [х(х -f 6) -f 11] = -6 д: [дс(д: -l-6)-bll]-f6 = 0«>д:[д:^ -1-6x-l-ll]-t-6 = 0o о JC® -I- 6х^ -ь 11дг -I- б = о Шаг 2 Подробно разложение многочлена дс* + 6х’^ -t- Ид: -Ь 6 на множители мы рассмотрели в пункте 4.4.4 (см. Пример 4). Поэтому здесь мы лишь кратко запишем проводимые преобразования: X® -(- бх^ -Н Их -ь 6 = X® -I- 6х^ -ь 12х -ь 6 — X = х(х^ — 1) -t- 6(х -I- 1)^ = = (х + 1)[х(х — 1) -I- 6(х + 1)] = (X + 1)[х» -ь 5х -г 6] = (X + 1)(х + 2)(х -f 3). 129 Глава 4, §4, п.5_______________________________________________________ Шаг 3 Уравнение (л: + l)(x + 2)<х + 3) = О равносильно исходному. Чтобы его решить, приравняем к нулю каждый из множителей: (х + 1)(х + 2)<х + 3) = О X + 1 = О или X + 2 = О или X + 3 = О X = -1, X = -2, X = -3. Таким образом, мы получили, что корнями исходного уравнения являются числа (-1), (-2) и (-3). Шаг 4 Все полученные корни являются рациональными числами. Шаг 5 Если X = -1, то X + 6 = -1 + 6 = 5, а х(х + 6) + 11 = -1 • 5 + 11 = 6. Если X = -2, то X + 6 = -2 + б = 4, а х(х + 6)+ 11=-2- 4 + 11 = 3. Если X = -3, то X + 6 = -3 + б = 3, а х(х + б)+ 11 =-3-3 + 11 = 2. Ответ: могли загадать следующие тройки рациональных чисел: (-1; 5; б), (-2; 4; 3), (-3; 3; 2). Таким образом, мы в очередной раз убеждаемся, что умение раскладывать многочлены на множители позволяет существенно расширить наши возможности при решении самых разнообразных задач. О 688 а) Загадали два натуральных числа. Известно, что одно из них на 2 больше другого, а их произведение равно 15. Найдите эти числа. б) Сумма двух натуральных чисел равна 10, а их произведение равно 24. Найдите эти числа. в) Одно из натуральных чисел в два раза больше другого, а их произведение равно 32. Найдите эти числа. Решите уравнения: а) За(а - 7) = 0; в) (2с + 1)(3с - 2) = 0; д) 5х^(х - 3)(2х + 4) = 0; б) ЩЬ + 9) = 0; г) (8d + 6)(4d - 5) = 0; е) + 14)(2г/ - 5) = 0. 6901 в контрольной работе по математике нужно было решить уравнение х^ + х = 2х^. Коля решал это уравнение следующим образом: «Заметив, что многочлен в правой части уравнения имеет общий множитель х, он вынес его за скобки. Затем он разделил правую и левую части на одно и то же число X и получил уравнение х^ + 1 = 2х. После этого он добавил к правой и левой части уравнения одно и то же число (-2х) и, воспользовавшись формулой суммы квадратов, нашел корни уравнения. В итоге он записал свое решение так: X® + X = 2х^ х^ + 1 = 2х о х^ + 1 - 2х = о о (х - 1)^ = о о (х - 1)(х - 1) = 0 с:? (х - 1) = О X = 1». 130 Глава 4, §4, п.5 ш |6^ ш Саша же решал это уравнение иначе: «Он сначала добавил к правой и левой части уравнения одно и то же число (

2х^), а затем разложил получившийся многочлен на множители и нашел корни уравнения. В итоге он записал свое решение так: -I- д: = 2х^ о -Ь д: — 2х^ = О о х(х^ 4- 1 — 2х) = О о х(х — 1)^ = О о о х(х — 1)(х — 1) = О о (х — 1) = О или X = О о X = 1 или X = О». Почему мальчики получили разные ответы? В каком месте и кем из них была допущена ошибка? Какое правило было нарушено и как правильно решить данное уравнение? 1) Постройте математическую модель и решите задачу: «Ширина прямоугольника на 5 см меньше стороны квадрата, а его длина на 3 см больше стороны этого же квадрата. Найдите длину данного прямоугольника, если его площадь равна 9 см^». 2) Сравните свое решение этой задачи с решением, приведенным на стр. 127-129 учебника. Уточните шаги ее решения. 3) Какой прием решения уравнений был использован при решении этой задачи? Решите уравнение: а) 7х(х + 1) = 21 — 7х; в) 4г(2 -I- 2) = 32г + 13; д) г^(г — 7) = -3г(3г — 5); б) у(у- 1)^ у + 15; г) ^2(l4 -t) = 6t(2t — 4); е) рЧ^р — 7) = 2р(2 — 9р). а) Велосипедисты на первом этапе соревнований ехгши в течение 9 часов со средней скоростью X км/ч, а на втором этапе они ехали на х часов больше со средней скоростью на 9 км/ч большей. С какой средней скоростью ехали велосипедисты на первом этапе, если на втором этапе они проехали 900 км? б) Длина ребра второго куба на 3 см больше длины ребра первого. Найдите длину ребра первого куба, если объем второго куба равен 343 см®. в) Вчера в магазин привезли а книг по цене а р. за штуку, а сегодня привезли на 3 книги меньше, по цене за штуку на 5 р. большей. Сколько книг привезли вчера в магазин, если сегодня книг привезли на суму 39 984 р.? а) На прямоугольном участке земли, длина которого на 10 м больше его ширины, построили дом, занимающий площадь 100 м®. Найдите длину этого участка, если известно, что площадь участка, не занятая домом, равна 164 м®. б) Длина прямоугольного участка земли на 8 м больше его ширины. Если бы его длину уменьшили на 5 м, а ширину увеличили на 5 м, то площадь получившегося участка стала бы в 2 раза меньше, чем площадь исходного, увеличенная на 78 м®. Чему равна длина этого участка земли? в) Найдите периметр прямоугольника, длина которого на 6 см больше ширины, а площадь равна 72 см®. Найдите загаданные рациональные числа, если известно, что: а) их сумма равна 3,5, а их произведение равно 3; б) их разность равна 2,2, а их произведение равно 8,4; в) одно число больше другого на 1,6, а их произведение равно 13,8; г) одно число меньше другого на 4, а их произведение равно -1,75. 131 Глава 4, §4, п.5 Ш §221 а) Первый рабочий, работая самостоятельно, может выполнить заказ на 3 часа быстрее, чем второй. За сколько часов выполнит этот заказ один второй рабочий, если вместе они его выполнили за 2 часа? б) Мастер и его ученик могут выполнить, работая вместе, некоторую работу за 3 часа. Сколько времени необходимо ученику, чтобы выполнить эту работу самостоятельно, если известно, что мастер, работая один, сможет выполнить ее на 8 часов быстрее? в) Два насоса, работая одновременно, могут наполнить пустой бассейн за б часов. При этом один первый насос наполнит этот бассейн на 9 часов быстрее, чем один второй. Сколько часов понадобится второму насосу, чтобы наполнить этот бассейн? а) Моторная лодка проплыла по течению реки 18 км, а затем против течения — 30 км. При этом на весь путь она затратила 8 ч. Найдите собственную скорость лодки, если скорость течения реки равна 2 км/ч. б) Теплоход проехал 9 км по озеру и 20 км по течению реки за 1 час. Чему равна собственная скорость теплохода, если скорость течения реки равна 3 км/ч? в) Два автобуса вышли одновременно из пункта А в пункт В, расстояние между которыми 48 км. Скорость первого автобуса была на 4 км/ч больше, и поэтому он прибыл в пункт В на 10 минут раньше. Найдите скорость второго автобуса. а) В сплав меди и цинка, содержащий 60 кг меди, добавили 160 кг цинка. В результате процентное содержание меди в сплаве уменьшилось на 10. Чему была равна первоначальная масса сплава? б) В сплав меди и олова, содержащий 5 кг олова, добавили 15 кг меди. В результате процентное содержание меди в сплаве увеличилось на 30. Сколько килограммов меди было в первоначальном сплаве? а) Автомобилист выехал из города на дачу по дороге, длина которой 24 км, а возвратился домой по другой дороге, длиной 30 км. Увеличив на обратном пути скорость на 2 км/ч, он тем не менее затратил на обратный путь на б мин больше, чем на путь на дачу. С какой скоростью автомобилист ехал на дачу, если известно, что его скорость была больше 20 км/ч? б) Сначала траншею рыла первая бригада рабочих. Через 4 часа к ней присоединилась вторая бригада, и, проработав вместе еще 8 часов, они вырыли траншею полностью. За сколько часов вырыла бы эту траншею вторая бригада, работая самостоятельно, если первой бригаде потребовалось бы на это на 8 часов больше? Найдите загаданные рациональные числа, если известно, что: а) произведение первого и третьего из них равно (-8), второе число на 5 меньше первого, а третье — на 2 больше произведения первого и второго из загаданных чисел; б) произведение первого и третьего из них равно 2, второе число на 2 больше первого, а третье — на 1 меньше произведения первого и второго из загаданных чисел. 132 о Глава 4, §4, п.5 705| 70^ E01J Среди приведенных высказываний найдите общие высказывания, высказывания о существовании и высказывания, не являющиеся ни теми, ни другими. Определите истинность высказываний. Для ложных высказываний постройте их отрицания. а) Число 6 является делителем числа 128. б) Число 9 является делителем всех натуральных чисел. в) Существуют натуральные числа, делителем которых является число 5. г) Все корни уравнения (л: -I- 1)(х — 2) = О — целые числа. д) Уравнение (Зг/ + 5)(2у — 3) = О имеет целый корень. е) Число 0,5 является корнем уравнения (2г — 1)(г 4- 3) = 0. ж) Все простые числа нечетные. з) Некоторые простые числа нечетные. и) Простое число 5 является нечетным. Найдите значение выражения при указанных значениях переменных: а) -2т^п + 2т^п — (-Зп — Зт^п) — (т^п + 2п) при т = 2, п = -2; б) Зо2 — аЬ- + <-За^ + 2аЬ - - 2аЬ + 2Ь^ при а = 3, & = 2; (1^ “ |l/) “ ^ - 2 -Ь 2г/ + (|лг - - (х + у) при л: = 5, I/ = 11; г) + 2рд + 7 - - (-р^

Читайте так же:

  • Где в подмосковье растут можжевельники Можжевельник обыкновенный Juniperus communis L. Семейство Кипарисовые — Cupressaceae Статус. 1-я категория — вид, находящийся на территории Москвы под угрозой исчезновения. Внесён в […]
  • Опыт гадания на таро Опыт гадания на таро Расклад "Предсказание" - универсальная современная техника гадания на картах Таро, предложенная американцем Вензеллом Брауном. Относится к категории сложных систем и […]
  • Лапчаткой белой где растет Лапчатка белая Лапчатка белая - Potentilla alba L. Семейство Розоцветные — Rosaceae Статус. Категория 2. Статус в сопредельных регионах. Внесен в Красные книги Тамбовской (категория 3), […]
  • Фэн шуй звезда 8 Летящие звезды Летящие, или Блуждающие звезды - это 9 различных видов энергии Ци, которые постоянно движутся (летят) по одной и той же траектории и действующие в разное время в […]
  • Фэн шуй совместимости Гороскоп совместимости по фэн-шуй Определить совместимость в любви можно разными способами. Один из них – это любовный гороскоп совместимости, основанный на фэн-шуй. Согласно […]
  • Как научиться решать задачи 1 класс Решение и оформление простых задач в 1 классе Простые задачи на нахождение суммы 1. Ира прочитала 6 книг, а Петя 3 книги. Сколько всего книг прочитали дети? 2. В вазе лежало 5 груш, […]

Leave a Reply

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *