Как выбирать корни на окружности

Отбор корней в тригонометрическом уравнение

В этой статье и постараюсь объяснить 2 способа отбора корней в тригонометрическом уравнение: с помощью неравенств и с помощью тригонометрической окружности. Перейдем сразу к наглядному примеру и походу дела будем разбираться.

а) Решить уравнение sqrt(2)cos^2x=sin(Pi/2+x)
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку [-7Pi/2; -2Pi]

Решим пункт а.

Воспользуемся формулой приведения для синуса sin(Pi/2+x) = cos(x)

sqrt(2)cos^2x — cosx = 0

cosx(sqrt(2)cosx — 1) = 0

x1 = Pi/2 + Pin, n ? Z

sqrt(2)cosx — 1 = 0

x2 = arccos(sqrt(2)/2) + 2Pin, n ? Z
x3 = -arccos(sqrt(2)/2) + 2Pin, n ? Z

x2 = Pi/4 + 2Pin, n ? Z
x3 = -Pi/4 + 2Pin, n ? Z

Решим пункт б.

1) Отбор корней с помощью неравенств

Здесь все делается просто, полученные корни подставляем в заданный нам промежуток [-7Pi/2; -2Pi], находим целые значения для n.

-7Pi/2 меньше или равно Pi/2 + Pin меньше или равно -2Pi

Сразу делим все на Pi

-7/2 меньше или равно 1/2 + n меньше или равно -2

-7/2 — 1/2 меньше или равно n меньше или равно -2 — 1/2

-4 меньше или равно n меньше или равно -5/2

Целые n в этом промежутку это -4 и -3. Значит корни принадлежащие этому промежутку буду Pi/2 + Pi(-4) = -7Pi/2, Pi/2 + Pi(-3) = -5Pi/2

Аналогично делаем еще два неравенства

-7Pi/2 меньше или равно Pi/4 + 2Pin меньше или равно -2Pi
-15/8 меньше или равно n меньше или равно -9/8

Целых n в этом промежутке нет

-7Pi/2 меньше или равно -Pi/4 + 2Pin меньше или равно -2Pi
-13/8 меньше или равно n меньше или равно -7/8

Одно целое n в этом промежутку это -1. Значит отобранный корень на этом промежутку -Pi/4 + 2Pi*(-1) = -9Pi/4.

Значит ответ в пункте б: -7Pi/2, -5Pi/2, -9Pi/4

2) Отбор корней с помощью тригонометрической окружности

Чтобы пользоваться этим способом надо понимать как работает эта окружность. Постараюсь простым языком объяснить как это понимаю я. Думаю в школах на уроках алгебры эта тема объяснялась много раз умными словами учителя, в учебниках сложные формулировки. Лично я понимаю это как окружность, которую можно обходить бесконечное число раз, объясняется это тем, что функции синус и косинус периодичны.

Обойдем раз против часовой стрелки

Обойдем 2 раза против часовой стрелки

Обойдем 1 раз по часовой стрелки (значения будут отрицательные)

Вернемся к нашем вопросу, нам надо отобрать корни на промежутке [-7Pi/2; -2Pi]

Чтобы попасть к числам -7Pi/2 и -2Pi надо обойти окружность против часовой стрелки два раза. Для того, чтобы найти корни уравнения на этом промежутке надо прикидывать и подставлять.

Рассмотри x = Pi/2 + Pin. Какой приблизительно должен быть n, чтобы значение x было где-то в этом промежутке? Подставляем, допустим -2, получаем Pi/2 — 2Pi = -3Pi/2, очевидно это не входит в наш промежуток, значит берем меньше -3, Pi/2 — 3Pi = -5Pi/2, это подходит, попробуем еще -4, Pi/2 — 4Pi = -7Pi/2, также подходит.

Рассуждая аналогично для Pi/4 + 2Pin и -Pi/4 + 2Pin, находим еще один корень -9Pi/4.

Сравнение двух методов.

Первый способ (с помощью неравенств) гораздо надежнее и намного проще для пониманию, но если действительно серьезно разобраться с тригонометрической окружностью и со вторым методом отбора, то отбор корней будет гораздо быстрее, можно сэкономить около 15 минут на экзамене.

5 способов отбора корней в тригонометрических уравнениях

Исследовательская работа для подготовки к ЕГЭ (13 задание профильной математики)

Скачать:

Вложение Размер
5_sposobov_otbora_korney.doc 181 КБ

Предварительный просмотр:

Межрегиональная научно-практическая конференция

посвященная Году экологии в Российской Федерации.

Тема: «5 способов отбора корней в тригонометрических уравнениях»

Физико-математический (физика, математика, информатика)

Кудряшова Светлана Олеговна,

ученица 10 класса МБОУ «Азбабинская СОШ»

Апастовского муниципального района РТ

Способы отбора корней в тригонометрических уравнениях………………..3 стр.

Алгебраический способ……………………………………………………… ..4 стр

Геометрический способ: изображение корней на тригонометрической

Геометрический способ: изображение корней на числовой прямой……….5 стр.

Функционально-графический способ…………………………………………6 стр

Список использованной литературы………………………………………….8 стр.

Уравнения и системы уравнений занимают важное место в математике. В 10 классе очень много внимания уделяется решению тригонометрических уравнений. Для успешного решения тригонометрических уравнений необходимо знать не только формулы и методы решения этих уравнений, но и правильно отбирать корни на заданном промежутке или при других дополнительных условиях. Следует также отметить, что в профильном варианте ЕГЭ по математике в 2020 году 13 задание это- «Решить тригонометрическое уравнение и выполнить отбор корней, удовлетворяющих условию или решить систему уравнений». Поэтому в данной работе я решила исследовать различные способы отбора корней в тригонометрических уравнениях, что поможет в дальнейшем для успешной сдачи ЕГЭ по математике.

Объект исследования: тригонометрические уравнения.

Предмет исследования: способы отбора корней в тригонометрических уравнениях.

Цель работы: Изучить различные способы отбора корней в тригонометрических уравнениях.

  • определить наиболее рациональный способ отбора корней для каждого типа заданий;
  • рассмотреть примеры решения уравнений, где необходимо выполнить отбор корней;
  • 1) Изучение литературы

    2)Анализ и обобщение изученной информации

    3) Решение тригонометрических уравнений

    Теоретическая значимость исследования заключается в том, что помимо распространённого способа отбора корней с помощью тригонометрической окружности, в меньшей мере используются арифметический и алгебраический подходы. Ученик, знающий несколько приёмов отбора корней, может при решении уравнения выбрать более рациональный.

    Прикладная значимость результатов исследования определяется вкладом в развитие логического математического мышления, развитие умения самостоятельного решать тригонометрические уравнения различными способами. Результаты исследования могут быть использованы на уроках математики, а также при подготовке к ЕГЭ по математике.

    Способы отбора корней в тригонометрических уравнениях

    При отборе корней в процессе решения тригонометрических уравнений обычно используют один из следующих способов.

  • Арифметический способ: перебор значений целочисленного параметра и вычисление корней.
  • Алгебраический способ: решение неравенства относительно неизвестного целочисленного параметра и вычисление корней.
  • Геометрический способ:
  • — изображение корней на тригонометрической окружности с последующим отбором с учетом имеющихся ограничений;

    — изображение корней на числовой прямой с последующим отбором с учетом

    Каждый из этих способов по-своему хорош и удобен для применения в том или ином случае.

    Сначала решим уравнение в общем виде :

    а) 1- 2 x +3 x =1, 25

    б)А теперь надо найти решения данного уравнения на промежутке [ ?? ; 5 ??/2 ]

    I. Арифметический способ: перебор значений целочисленного параметра и вычисление корней.

    Придадим параметру k последовательно значения 0, 1.2, …, -1.-2, … и подставим эти значения в общую формулу.

    Если k=0, то х=± ??/6 не входит в промежуток [ ?? ; 5 ??/2 ]

    Если k=1, то х= ??/6 + ?? =7 ?? /6 это число входит в данный промежуток

    х=- ?? /6 + ?? =5 ??/6 это число не входит в данный промежуток

    Если k=2, то х= ??/6 + 2?? =13 ?? /6 это число входит в данный промежуток

    х= -??/6 + 2?? =11 ?? /6 это число входит в данный промежуток.

    Итак, заданному отрезку принадлежат те корни уравнения, которые получаются из общей формулы при следующих значениях параметра: k=1, 2. Эти корни таковы: 7 ?? /6 ; 11 ??/6 ;13 ??/6 .

    II. Алгебраический способ: решение неравенства относительно неизвестного целочисленного параметра и вычисление корней.

    Так как должно выполняться условие ???х? 5 ??/2, то для первой серии имеем

    ??? ?? /6+ ?? k ? 5 ??/2 ? 1 ? 1 /6+k ? 5/2 ? 1-1 /6 ? k ? 5/2- 1/6 ? 5/6 ? k ? 7/3, то k= 1; 2.

    Тогда х=7 ?? /6 ; х=13 ?? /6

    Для второй серии имеем ??? -?? /6+ ?? k ? 5 ??/2 ? 1 ? -1 /6+k ? 5/2 ?

    1+ 1 /6 ? k ? 5/2+ 1/6 ? 7/6 ? k ?1 7/6, то k= 2.

    Итак, 7 ??/6 ; 11 ??/6 ;13 ??/6

    III. Геометрический способ:

    Изображение корней на тригонометрической окружности с последующим отбором с учетом имеющихся ограничений;

    Все числа вида ?+2 ??k, где k??Z, соответствуют единственной точке числовой окружности, так как при обходе окружности в положительном или отрицательном направлении на целое число оборотов из данной точки мы приходим в эту же точку.

    Проведем отбор корней, используя тригонометрическую окружность. Во-первых , на тригонометрической окружности отметим промежуток [ ?? ; 5 ??/2 ] , длина которого 3? /2. Для этого полученные значения в серии решений изобразим на тригонометрической окружности . Из рисунка видно, что в интересующий нас промежуток входят только три значения из этих серий:

    IV. Геометрический способ: изображение корней на числовой прямой с последующим отбором с учетом имеющихся ограничений.

    Тригонометрическую окружность удобно использовать для изображения точек вида ?+?n, n ??Z, где отношение 2?:?- натуральное число. Ещё одна причина выбора числовой прямой связана с периодами функций, превосходящих 2?.

    Итак, на числовой прямой рассмотрим промежуток [ ?? ; 5 ??/2 ] . У нас 2 серии ответов: x= — ?? /6+ ?? k и x= ?? /6+ ?? k

    Отметим точками числа:- — ?? /6; ?? /6; ?? ; 5 ??/2; 7??/6, 11??/6; 13 ??/6.

    На рисунке видно, что числа 7??/6, 11??/6; 13 ??/6 входят в промежуток [ ?? ; 5 ??/2 ] .

    Ответ: 7??/6, 11??/6; 13 ??/6

    V. Функционально-графический способ

    При решении тригонометрических уравнений иногда используются графики тригонометрических функций. При этом подходе требуется умение схематичного построения графика тригонометрической функции и применение формул корней соответствующих уравнений. Схематично изобразим графики функций y=sinх и y=0,5 , y= -0,5. Найдем три корня уравнения на промежутке [ ?? ; 5 ??/2 ] . Это 7??/6, 11??/6; 13 ??/6

    В своей работе я рассмотрела 5 способов отбора корней при решении тригонометрических уравнений с выбором ответа.

    Проведя анализ всех решений, я пришла к выводу, что иногда уместно отобрать корни разными способами, чтобы твёрдо знать, что отбор выполнен верно.

    Таким образом, арифметический способ самый простой, но он становится не эффективным в следующих случаях:

    -заданные ограничения охватывают большой промежуток, и последовательный перебор значений приводит к громоздким вычислениям;

    -серии решений содержат нетабличные значения обратных тригонометрических функций;

    -требуется определить количество корней уравнения, удовлетворяющих дополнительным условиям.

    Во всех случаях, перечисленных выше, удобен алгебраический способ отбора корней. Тригонометрическую окружность удобно использовать при отборе корней на промежутке, длина которого не превосходит 2?, или в случае, когда значения обратных тригонометрических функций, входящих в серию решений, не являются табличными.

    Работа нашла своё применение и на уроках математики, а так же при подготовке к ЕГЭ по математике.

    С1 (№15) с отбором корней на отрезке

    В рамках подготовки к ЕГЭ по математике рассмотрим задачу С1 ( В новом формате ЕГЭ по математике – «Задание №13» ) , которая предлагалась в Тренировочной работе №60 А. Ларина.

    а) Решите уравнение

    б) Найдите все корни на промежутке

    a)

    Применяем формулу двойного угла для :

    (1) или (2) ;

    Уравнение (2) равносильно уравнению (произвели деление на ).

    Откладываем на оси синусов , на оси тангенсов . Выходим на четыре серии точек:

    Ответ:

    б) Произведем отбор корней из отрезка при помощи тригонометрического круга:

    Ответ:

    Чтобы не потерять страничку, вы можете сохранить ее у себя:

    Можете подробно объяснить, как проводится отбор корней?

    Следует хорошо ориентироваться в тригонометрическом круге.
    Долго объяснять на словах…
    Если никак с кругом, то
    решаем сначала неравенство:


    Так как , то
    При , при .
    Потом
    И так далее..

    Помогите мне! Пn/2 на отрезке [0,1]

    При n=0 x=0, 0 входит в [0;1].
    При n=1 x=pi\2, pi\2>1.
    Только 0.

    Объясните по-подробнее какие страницы в какой последовательности надо читать, чтобы научиться отбирать корни тригонометрического уравнения в задании 13 профильного уровня!
    А то я в приведённой вами ссылке в сообщении прочитал статью, на ней переход к странице: //egemaximum.ru/trigonometricheskij-krug-ii/
    А после этой страницы не написано куда дальше идти!
    Спасибо большое!

    Спасибо огромное вам!
    Выручаете!=)
    А подскажите, чтобы научиться правильно отбирать корни в 13ом задании нужно знать формулы приведения, суммы синусов и т. п?
    И отличается ли отбор корней когда один оборот и когда несколько?!
    Спасибо!

    Для отбора корней не нужны формулы приведения, суммы синусов и т.п.
    Принцип отбора – один, не важно полтора оборота, два или один…
    Полезно хотя бы раз развернуть тригонометрический круг в ось. И увидеть, что, например, точки на круге отображаются одной точкой, а на оси – разными. Или, например, изобразите точки на круге, затем на оси…

    Спасибо!
    А при отборе корней с помощью окружности нужно что-то вычислять? Не понимаю когда находят серию корней как они определяют что будет корнем и отмечают это на окружности а что нет?

    Не очень понятен вопрос…
    Вам следует сперва научиться видеть серии корней на окружности. Только потом осваивайте отбор (при помощи тригонометрической окр.).
    Например, если вас просят отметить на окружности точки а вы не понимаете, – как это. то до отбора далеко…
    Начинайте перебирать различные значения смотрите, что получается…

    Я про то, например, нашли серию корней: x=+_pi/6+pi n, n принадлежит Z.
    Просят отобрать (в этапе б) корни на промежутке [2pi;3pi], я нахожу этот помежуток и выделяю его (это очень легко!).
    А как вычислить корни, которые попадут на окружность на выделенный промежуток?!
    Например, дано уравнение: 16cos^4x-24cos^2x+9=0
    Его решить а.
    Отобрать корни на промежутке [2pi; 3pi] б.
    Нашел серию корней: x=+_pi/6+2pi n, n принадлежит Z.
    Далее – черчу окружность, выделяю жирным промежуток, указанный в условии.
    Мне не ясно, как туда попали корни 13 pi/6 и 17 pi/6.
    Откуда они?
    Спасибо огромное за объяснение!

    Пока вы не выучите основные углы от нуля до 2пи на тригонометрическом круге, вы не сдвинетесь с места. Я вам много чего сказала по делу, но вы меня не слышите…

    Я знаю эти углы! И как их отмечать на окружности! И формулы приведения!
    Но я задал вопрос?

    Урок-обобщение по теме «Отбор корней при решении тригонометрических уравнений»

    Разделы: Математика

  • Повторить формулы решения простейших тригонометрических уравнений.
  • Рассмотреть три основных способа отбора корней при решении тригонометрических уравнений:
    отбор неравенством, отбор знаменателем и отбор в промежуток.
  • Оборудование: Мультимедийная аппаратура.

  • Обратить внимание учащихся на важность темы урока.
  • Тригонометрические уравнения, в которых требуется провести отбор корней, часто встречаются в тематических тестах ЕГЭ;
    решение таких задач позволяет закрепить и углубить ранее полученные знания учащихся.
  • Повторение. Полезно вспомнить формулы решения простейших тригонометрических уравнений (экран).

    Значения

    а

    Уравнение Формулы решения уравнений
    sinx=a
    sinx=a уравнение решений не имеет
    а=0 sinx=0
    а=1 sinx= 1
    а= -1 sinx= -1
    cosx=a
    cosx=a уравнение решений не имеет
    а=0 cosx=0
    а=1 cosx= 1
    а= -1 cosx= -1
    tgx=a
    ctgx=a

    При отборе корней в тригонометрических уравнениях запись решений уравнений sinx=a, сosx=a в виде совокупности более оправдана. В этом мы убедимся при решении задач.

    Задача. Решить уравнение

    Решение. Данное уравнение равносильно следующей системе

    Рассмотрим окружность. Отметим на ней корни каждой системы и отметим дугой ту часть окружности, где выполняется неравенство (рис. 1)

    Получаем, что не может быть решением исходного уравнения.

    Ответ:

    В этой задаче мы провели отбор корней неравенством.

    В следующей задаче проведем отбор знаменателем. Для этого выберем корни числителя, но такие, что они не будут являться корнями знаменателя.

    Задача 2. Решить уравнение.

    Решение. Запишем решение уравнения, используя последовательные равносильные переходы.

    Решая уравнение и неравенство системы, в решении ставим разные буквы, которые обозначают целые числа. Иллюстрируя на рисунке, отметим на окружности корни уравнения кружочками, а корни знаменателя крестиками (рис.2.)

    Из рисунка хорошо видно, что – решение исходного уравнения.

    Обратим внимание учащихся на то, что отбор корней проще было проводить, используя систему c нанесением соответствующих точек на окружности.

    Ответ:

    Задача 3. Решить уравнение

    3sin2x = 10 cos 2 x – 2/

    Найти все корни уравнения, принадлежащие отрезку .

    Решение. В этой задаче производится отбор корней в промежуток, который задается условием задачи. Отбор корней в промежуток можно выполнять двумя способами: перебирая значения переменной для целых чисел или решая неравенство.

    В данном уравнении отбор корней проведем первым способом, а в следующей задаче – путем решения неравенства.

    Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством и формулой двойного угла для синуса. Получим уравнение

    6sinxcosx = 10cos 2 x – sin 2 x – cos 2 x, т.е. sin 2 x – 9cos 2 x+ 6sinxcosx = 0

    , т.к. в противном случае sinx = 0, что не может быть, так как не существует углов, для которых одновременно синус и косинус равные нулю в виду sin 2 x+ cos 2 x = 0.

    Разделим обе части уравнения на cos 2 x. Получим tg 2 x+ 6tgx – 9 = 0/

    Пусть tgx = t, тогда t 2 + 6t – 9 = 0, t1 = 2,t2 = –8.

    tgx = 2 или tg = –8;

    Рассмотрим каждую серию отдельно, находя точки внутри промежутка , и по одной точке слева и справа от него.

    1) .

    Если к=0, то x=arctg2. Этот корень принадлежит рассматриваемому промежутку.

    Если к=1, то x=arctg2+. Этот корень тоже принадлежит рассматриваемому промежутку.

    Если к=2, то . Ясно, что данный корень не принадлежит нашему промежутку.

    Мы рассмотрели одну точку справа от данного промежутка, поэтому к=3,4,… не рассматриваются.

    Если к = –1, получим – не принадлежит промежутку .

    Значения к = –2, –3,…не рассматриваются.

    Таким образом, из данной серии два корня принадлежат промежутку

    Это

    2)

    Аналогично предыдущему случаю убедимся, что при п = 0 и п = 2, а, следовательно, при п = –1, –2,…п = 3,4,… мы получим корни, не принадлежащие промежутку . Лишь при п=1 получим , принадлежащий этому промежутку.

    Ответ:

    Задача 4. Решить уравнение 6sin 2 x+2sin 2 2x=5 и указать корни, принадлежащие промежутку .

    Решение. Приведем уравнение 6sin 2 x+2sin 2 2x=5 к квадратному уравнению относительно cos2x.

    .

    Откуда cos2x

    Здесь применим способ отбора в промежуток при помощи двойного неравенства

    Так как к принимает только целые значения, то возможно лишь к=2,к=3.

    При к=2 получим , при к=3 получим .

    Ответ:

    Методический комментарий. Приведенные четыре задачи рекомендуется решать учителю у доски с привлечением учащихся. Для решения следующей задачи лучше вызвать к дочке сильного учащегося, предоставив ему максимальную самостоятельность в рассуждениях.

    Задача 5. Решить уравнение

    Решение. Преобразовывая числитель, приведем уравнение к более простому виду

    Полученное уравнение равносильно совокупности двух систем:

    Отбор корней на промежутке (0; 5) проведем двумя способами. Первый способ -для первой системы совокупности, второй способ – для второй системы совокупности.

    , 0 29.12.2009

    Тригонометрические уравнения. для подготовки к ЕГЭ по математике на 100 баллов!

    Хочешь подготовиться к ОГЭ или ЕГЭ по математике на отлично?

    Хочешь проверить свои силы и узнать результат насколько ты готов к ЕГЭ или ОГЭ?

    Важное замечание!
    Если вместо формул ты видишь абракадабру, почисти кэш. Как это сделать в твоем браузере написано здесь: «Как почистить кэш браузера».

    Привет самый умный и самый лучший ученик во вселенной!

    Сегодня мы с тобой изучим, как решать одну из разновидностей уравнений – тригонометрические.

    И станем на шаг ближе к заветной цели — сдать ЕГЭ по математике так, чтобы поступить в ВУЗ мечты!

    Чтобы освоить тему мы с тобой решим 11 простейших тригонометрических уравнений, 3 чуть более сложных и ты сам решишь еще 3 самостоятельно.

    И этого будет достаточно чтобы добавить до 5 баллов из 30 на ЕГЭ!

    Услышал новое слово? И, дай догадаюсь, это новое слово «тригонометрические»?

    Ну, не беда! Если ты не знаком с этим понятием, повтори следующие разделы и ты будешь знать про них все что нужно!

    Ну что, всё усвоил? 🙂

    Ну да ладно, совсем всё и не потребуется, мне важно лишь, чтобы ты знал.

    Необходимый минимум для того, чтобы решать тригонометрические уравнения

    — что такое синус, косинус, тангенс, котангенс.

    — какие знаки принимает та или иная тригонометрическая функция в разных четвертях тригонометрической окружности,

    — какие из этих функций нечётные, а какая – чётная,

    — также совершенно необходимо знание значений тригонометрических функций в основных углах 1 четверти.

    Ну да, правила арифметики (как складывать, умножать, делить и вычитать дроби и числа) тоже никто не отменял.

    Этого будет вполне достаточно. Если это по ходу моего повествования окажется не так, то не сердись, придётся вспомнить что-нибудь ещё, не упомянутое здесь.

    Решение тригонометрический уравнений

    Что же это такое, как ты думаешь? Является ли, например, уравнение

    Ты и сам прекрасно понимаешь, что нет! Потому что ни одной тригонометрической функции в нём и в помине нет!

    А что насчёт вот такого уравнения?

    и опять ответ отрицательный!

    Это так называемое уравнение смешанного типа: оно содержит как тригонометрическую составляющую, так и линейную ( ). Некоторые типы подобных уравнений мы будем с тобой решать в следующих статьях по данной тематике. Но вернёмся к вопросу:

    Что же такое тригонометрические уравнения?

    Тригонометрические уравнения — это уравнения, в которых неизвестная находится строго под знаком тригонометрической функции!

    Однако в данной статье мы не будем решать сложные и иногда неприступные тригонометрические уравнения, а ограничимся самыми простыми уравнениями вида:

    Где – некоторое постоянное число. Например: и т. д.

    – некоторая функция, зависящая от искомой переменной , например и т. д.

    Такие уравнения называются простейшими!

    И основная цель решения ЛЮБОГО тригонометрического уравнения – это свести его к виду простейшего!!

    Для этого, как правило, используют аппарат, который я описал в разделе «Формулы тригонометрии»

    Так что очень важно, я бы даже сказал, жизненно необходимо научиться решать простейшие уравнения, ибо они – фундамент для решения сложных примеров.

    Более того, простейшие тригонометрические уравнения могут встретиться ДО ЧЕТЫРЕХ РАЗ в заданиях ЕГЭ:

    это может быть задача B5 (простейшее тригонометрическое уравнение – встречается время от времени),

  • B14 (в конечном счёте сводится к решению простейшего тригонометрического уравнения – ОЧЕНЬ ЧАСТО ВСТРЕЧАЕТСЯ В ЕГЭ),
  • B12 (задача с прикладным содержанием, которая включает в себя решение тригонометрического уравнения – встречается изредка),
  • С1 (решение тригонометрического уравнения средней сложности – ОЧЕНЬ ЧАСТО, ПРАКТИЧЕСКИ ВСЕГДА!).
  • Так что, как ты понимаешь, при некоторых раскладах, навык решения данного вида уравнений может добавить в твою копилку аж 5 БАЛЛОВ ЕГЭ из 30!

    Два способа решения тригонометрических уравнений – через формулы и по кругу. Мы будем решать через формулы.

    В принципе, я не могу сказать, что легче: держать в голове, как строится круг, или помнить 4 формулы. Тут решать тебе самому, однако я всё же предпочитаю решать данные уравнения через формулы, поэтому здесь я буду описывать именно этот метод.

    Вначале мы начнём с «самых простейших» из простейших уравнений вида:

  • ,
  • .
  • Я хочу сразу оговориться вот о чем, будь внимателен:

    имеют смысл только тогда, когда

    имеют смысл уже при всех значениях .

    То есть, тебе не надо знать вообще никаких формул, чтобы спокойно ответить, что уравнения, например:

    Корней не имеют.

    Потому что они «не попадают» в промежуток от минус единицы до плюс единицы.

    Ещё раз скажу: внимательно обдумай эти слова, они уберегут тебя от многих глупых ошибок.

    Для остальных же случаев тригонометрические формулы такие как в этой таблице.

    Таблица тригонометрических формул

    На самом деле в этой таблице данных немного больше, чем нужно.

    Тебе нужно лишь запомнить первые два её столбца, другие столбцы – частные случаи решения тригонометрических уравнений.

    Я, допустим, никогда не утруждаю себя их запоминанием, а вывожу ответ из основных формул.

    Глядя на таблицу, не возникло ли у тебя пары вопросов?

    У меня бы возникли вот какие:

    Что такое и что такое, например ?

    Отвечаю на все по порядку:

    – Это любое целое число .

    В чем уникальная особенность тригонометрических уравнений перед всеми остальными, которые ты изучал?

    ОНИ ИМЕЮТ БЕСКОНЕЧНОЕ КОЛИЧЕСТВО КОРНЕЙ. И число и служит для обозначения этой «бесконечности».

    Конечно, вместо можно писать любую другую букву, только не забывай добавить в ответе: – что означает, что – есть любое целое число.

    Теперь насчёт арксинуса и других «арок». Вообще, так записываются обратные тригонометрические функции и понимать, скажем, надо как «угол, синус которого равен )

  • – угол, синус которого равен
  • – угол, косинус которого равен
  • – угол, тангенс которого равен
  • – угол, котангенс которого равен
  • То есть алгоритм вычисления арксинусов и других «арок» такой:

    • Первое — смотрим на то, что стоит под «аркой» – какое там число.
    • Второе – смотрим, какая у нас «арка» – для синуса ли, или для косинуса, тангенса…
    • Третье – смотрим, чему равен угол (1 четверти), для которого синус или косинус или… равен числу, стоящему под аркой.
    • Четвёртое – записываем ответ.
    • Вот простой пример вычисления аркосинуса:

    • Под аркой число
    • Арка для функции косинус!
    • Косинус какого угла равен ?
    • Угла (или градусов!)
    • Тогда
    • Ответы: и .

      Всё ли я сказал про «арки»? Почти что да! Остался вот какой момент.

      Что делать, если «арка» берётся от отрицательного числа?

      Лезть в таблицу – как бы не так! Для арок выполняются следующие формулы:

      И внимание.

      Чтобы запомнить, ориентируемся на обычные тригонометрические функции: грубо говоря, синус и тангенс мы смотрим на тригонометрической окружности по вертикальной оси, а косинус и котангенс – по горизонтальной.

      Соответственно, для арксинуса и арктангенса выбираем две четверти по вертикали: первую и четвёртую (минусик выносится из аргумента и ставится перед функцией), а для арккосинуса и арккотангенса – по горизонтали: первую и вторую.

      В первой и второй четвертях аргумент уже не может быть отрицательным, поэтому и получаются формулы не совсем похожими.

      Ну всё, теперь мы можем приступать к решению простейших уравнений!

      11 примеров решения простейших тригонометрических уравнений — прочитай их и ты решишь любое такое уравнение (+ на ЕГЭ!)

      Ну что, давай решать вместе!

      1.

      Запишу по определению:

      Снова по определению: Тогда запишу

      Пример-ловушка! Невнимательный ученик бы записал ответ в лоб:

      Но ты же внимательно читал мои пространные рассуждения, не так ли? И ты ведь не напишешь такую чушь? И ты понял, в чем здесь подвох?

      А подвох вот в чем:

      4.

      По определению:

      И снова по определению (теперь для уравнения другого вида)

      Прежде всего вынесем «минус» по правилам для арккосинуса:

      Ещё один пример-обманка! Хотя данное уравнение решения имеет, ибо:

      Тогда по определению:

      8.

      9.

      11.

      3 более сложные триногометрические задачи для закрепления материала

    • Най­ди­те корни урав­не­ния: .
      В от­ве­те за­пи­ши­те наи­боль­ший от­ри­ца­тель­ный ко­рень.
    • Най­ди­те корни урав­не­ния: .
      В ответ за­пи­ши­те наи­боль­ший от­ри­ца­тель­ный ко­рень.
    • Ре­ши­те урав­не­ние .
      В от­ве­те на­пи­ши­те наи­боль­ший от­ри­ца­тель­ный ко­рень.
    • Решение:

      Логика простая: будем поступать так, как поступали раньше не взирая на то, что теперь у тригонометрических функций стал более сложный аргумент!

      Если бы мы решали уравнение вида:

      То мы бы записали вот такой ответ:

      Но теперь в роли у нас выступаем вот такое выражение:

      Тогда можно записать:

      Наша с тобою цель – сделать так, чтобы слева стоял просто , без всяких «примесей»!

      Давай постепенно от них избавляться!

      Вначале уберём знаменатель при : для этого домножим наше равенство на :

      2.

      Опять решаем, не взирая на сложный аргумент косинуса:

      3.

      Решаем, не взирая на сложный аргумент тангенса.

      Вот, вроде бы ничего сложного, не так ли?

      Теперь попробуй самостоятельно решить следующие задачи.

      Домашняя работа или 3 задачи для самостоятельного решения.

    • Ре­ши­те урав­не­ние .
      В от­ве­те на­пи­ши­те наи­мень­ший по­ло­жи­тель­ный ко­рень.
    • Готов? Проверяем. Я не буду подробно описывать весь алгоритм решения, мне кажется, ему и так уделено достаточно внимания выше.

      Ну что, всё правильно? Ох уж эти гадкие синусы, с ними всегда какие-то беды!

      Ну что же, теперь ты умеешь решать простейшие тригонометрические уравнения!

      Сверься с ответами:

      Наименьший положительный корень получится, если положить , так как , то

      Ответ:

      Наименьший положительный корень получится при .

      При получаем , при имеем .

      Ответ: .

      Эти знания помогут тебе решать многие задачи, с которыми ты столкнёшься в экзамене.

      Если же ты претендуешь на оценку «5», то тебе просто необходимо перейти к чтению статьи для среднего уровня, которая будет посвящена решению более сложных тригонометрических уравнений (задание С1).

      СРЕДНИЙ УРОВЕНЬ

      В этой статье я опишу решение тригонометрических уравнений более сложного типа и как производить отбор их корней. Здесь я буду опираться на следующие темы:

      Рекомендую тебе прежде ознакомиться с содержанием этих двух статей, прежде чем приступать к чтению и разбору этого чтиво. Итак, все готово? Прекрасно. Тогда вперед. Более сложные тригонометрические уравнения – это основа задач С1. В них требуется как решить само уравнение в общем виде, так и найти корни этого уравнения, принадлежащие некоторому заданному промежутку.

      Решение тригонометрических уравнений сводится к двум подзадачам:

      1. Решение уравнения
      2. Отбор корней
      3. Следует отметить, что второе требуется не всегда, но все же в большинстве примеров требуется производить отбор. А если же он не требуется, то тебе скорее можно посочувствовать – это значит, что уравнение достаточно сложное само по себе.

        Мой опыт разбора задач С1 показывает, что они как правило делятся на вот такие категории.

        Четыре категории задач С1

        1. Уравнения, сводящиеся к разложению на множители.
        2. Уравнения, сводящиеся к виду .
        3. Уравнения, решаемые заменой переменной.
        4. Уравнения, требующие дополнительного отбора корней из-за иррациональности или знаменателя.
        5. Говоря по-простому: если тебе попалось одно из уравнений первых трех типов , то считай, что тебе повезло. Для них как правило дополнительно нужно подобрать корни, принадлежащие некоторому промежутку.

          Если же тебе попалось уравнение 4 типа , то тебе повезло меньше: с ним нужно повозиться подольше и повнимательнее, зато довольно часто в нем не требуется дополнительно отбирать корни. Тем не менее данный тип уравнений я буду разбирать в следующей статье, а эту посвящу решению уравнений первых трех типов.

          Уравнения, сводящиеся к разложению на множители

          Самое важное, что тебе нужно помнить, чтобы решать уравнения этого типа это

          Как показывает практика, как правило, этих знаний достаточно. Давай обратимся к примерам:

          Пример 1. Уравнение, сводящиеся к разложению на множители с помощью формул приведения и синуса двойного угла

        6. Ре­ши­те урав­не­ние
        7. Най­ди­те все корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку

    Здесь, как я и обещал, работают формулы приведения:

    Тогда мое уравнение примет вот такой вид:

    Что дальше? А дальше обещанный мною второй пункт программы – синус двойного угла:

    Тогда мое уравнение примет следующую форму:

    Недальновидный ученик мог бы сказать: а теперь я сокращу обе части на , получаю простейшее уравнение и радуюсь жизни! И будет горько заблуждаться!

    ЗАПОМНИ: НИКОГДА НЕЛЬЗЯ СОКРАЩАТЬ ОБЕ ЧАСТИ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ НА ФУНКЦИЮ, СОДЕРЖАЩУЮ НЕИЗВЕСТНУЮ! ТАКИМ ОБРАЗОМ, ТЫ ТЕРЯЕШЬ КОРНИ!

    Так что же делать? Да все просто, переносить все в одну сторону и выносить общий множитель:

    Ну вот, на множители разложили, ура! Теперь решаем:

    На этом первая часть задачи решена. Теперь нужно отобрать корни:

    Промежуток вот такой:

    Или его еще можно записать вот так:

    Ну что, давай отбирать корни:

    Вначале поработаем с первой серией (да и проще она, что уж говорить!)

    Так как наш промежуток – целиком отрицательный, то нет нужды брать неотрицательные , все равно они дадут неотрицательные корни.

    Возьмем , тогда – многовато, не попадает.

    Пусть , тогда – снова не попал.

    Еще одна попытка — , тогда – есть, попал! Первый корень найден!

    Стреляю еще раз: , тогда – еще раз попал!

    Ну и еще разок: : — это уже перелет.

    Так что из первой серии промежутку принадлежат 2 корня: .

    Работаем со второй серией (возводим в степень по правилу):

    Таким образом, моему промежутку принадлежат вот такие корни:

    Вот по такому алгоритму мы и будем решать все другие примеры. Давай вместе потренируемся еще на одном примере.

    Пример 2. Уравнение, сводящиеся к разложению на множители с помощью формул приведения

  • Решите уравнение
  • Опять пресловутые формулы приведения:

    Опять не вздумай сокращать!

    Первое уравнение имеет корни:

    Теперь снова поиск корней.

    Начну со второй серии, мне про нее уже все известно из предыдущего примера! Посмотри и убедись, что корни, принадлежащие промежутку следующие:

    Теперь первая серия и она попроще:

    Если – тоже годится

    Если – уже перелет.

    Тогда корни будут следующие:

    Самостоятельная работа. 3 уравнения.

    Ну что, техника тебе ясна? Решение тригонометрических уравнений уже не кажется таким сложным? Тогда быстренько прорешай следующие задачки самостоятельно, а потом мы с тобой будем решать другие примеры:

  • Решите уравнение
    Най­ди­те все корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие промежутку .
  • Ре­ши­те урав­не­ние
    Ука­жи­те корни урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку
  • Ре­ши­те урав­не­ние
    Най­ди­те все корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие про­ме­жут­ку .
  • Уравнение 1. Проверка самостоятельной работы.

    И снова формула приведения:

    Первая серия корней:

    Вторая серия корней:

    Начинаем отбор для промежутка

    — перелет — перелет

    Уравнение 2. Проверка самостоятельной работы.

    Довольно хитрая группировка на множители (применю формулу синуса двойного угла):

    Это общее решение. Теперь надо отбирать корни. Беда в том, что мы не можем сказать точное значение угла, косинус которого равен одной четверти. Поэтому я не могу просто так избавиться от арккосинуса – вот такая досада!

    Что я могу сделать, так это прикинуть, что так как , то \frac<\pi ><3>«> .

    Составим таблицу: промежуток:

    — недолет Для : — недолет
    Для : — попал
    — пока еще недолет Для : — перелет
    Для : — перелет
    — еще недолет Перелет!
    — уже перелет

    Ну что же, путем мучительных поисков мы пришли к неутешительному выводу о том, что наше уравнение имеет один корень на указанном промежутке: \displaystyle arccos\frac<1><4>-5\pi

    Уравнение 3. Проверка самостоятельной работы.

    Уравнение пугающего вида. Однако решается довольно просто путем применения формулы синуса двойного угла:

    Сгруппируем первое слагаемое со вторым и третье с четвертым и вынесем общие множители:

    Ясно, что первое уравнение корней не имеет, а теперь рассмотрим второе:

    Вообще я собирался чуть позже остановиться на решении таких уравнений, но раз уж подвернулось, то делать нечего, надо решать.

    Уравнения вида: , — числа

    Данное уравнение решается делением обеих частей на :

    Таким образом, наше уравнение имеет единственную серию корней:

    Нужно найти те из них, которые принадлежат промежутку: .

    Опять построим табличку, как я делал и ранее:

    — попал!
    — перелет!

    Уравнения, сводящиеся к виду

    Ну вот, теперь самое время переходить ко второй порции уравнений, тем более, что я уже и так проболтался в чем состоит решение тригонометрических уравнений нового типа. Но не лишним будет повторить, что уравнение вида

    Решается делением обеих частей на косинус:

    Таким образом, решить уравнение вида

    Все равно, что решить

    Мы только что рассмотрели, как это происходит на практике. Однако давай решим еще и вот такие примеры:

    1. Ре­ши­те урав­не­ние
      Ука­жи­те корни урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку .
    2. Ре­ши­те урав­не­ние
      Ука­жи­те корни урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие про­ме­жут­ку .
    3. Первое – ну совсем простое. Перенесем вправо и применим формулу косинуса двойного угла:

      Ага! Уравнение вида: . Делю обе части на

      Делаем отсев корней:

      — попал
      — попал
      — перелет!

      Все тоже довольно тривиально: раскроем скобки справа:

      Основное тригонометрическое тождество:

      Синус двойного угла:

      Отсев корней: промежуток .

      Ну как тебе техника, не слишком сложна? Я надеюсь, что нет. Сразу можно оговориться: в чистом виде уравнения, которые тут же сводятся к уравнению относительно тангенса, встречаются довольно редко. Как правило, этот переход (деление на косинус) является лишь частью более сложной задачи. Вот тебе пример , чтобы ты мог поупражняться:

        Уравнение решается сразу же, достаточно поделить обе части на :

        — маленький недолет на
        — попал!
        — снова в яблочко!
        — и снова удача на нашей стороне!
        — на сей раз уже перелет!

        Так или иначе, нам еще предстоит встретиться с уравнениями того вида, которые мы только что разобрали. Однако нам еще рано закругляться: остался еще один «пласт» уравнений, которые мы не разобрали. Итак:

        Решение тригонометрических уравнений заменой переменной

        Здесь все прозрачно: смотрим пристально на уравнение, максимально его упрощаем, делаем замену, решаем, делаем обратную замену! На словах все очень легко. Давай посмотрим на деле:

      • Решить уравнение: .
      • Най­ди­те все корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку .
      • Ну что же, здесь замена сама напрашивается к нам в руки!

        Тогда наше уравнение превратится вот в такое:

        А второе вот такие:

        Теперь найдем корни, принадлежащие промежутку

        Для : — подходит!
        Для : — выскочил за интервал
        Для : — подходит!
        Для : — снова выскочил за интервал!
        Выскочил за интервал Выскочил за интервал

        Давай вместе разберем чуть более сложный пример :

      • Ука­жи­те корни дан­но­го урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие про­ме­жут­ку .
      • Здесь замена сразу не видна, более того, она не очень очевидна. Давай вначале подумаем: а что мы можем сделать?

        Можем, например, представить

        Тогда мое уравнение примет вид:

        А теперь внимание, фокус:

        Давай разделим обе части уравнения на :

        Внезапно мы с тобой получили квадратное уравнение относительно ! Сделаем замену , тогда получим:

        Уравнение имеет следующие корни:

        Неприятная вторая серия корней, но ничего не поделаешь! Производим отбор корней на промежутке .

        Нам также нужно учитывать, что

        — маловато — маловато
        — подойдет — подойдет
        2,5\pi «> — перебор — перебор

        Для закрепления, прежде чем ты сам будешь решать задачи, вот тебе еще упражнение :

      • Най­ди­те все корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие про­ме­жут­ку .
      • Здесь нужно держать ухо востро: у нас появились знаменатели, которые могут быть нулевыми! Поэтому надо быть особо внимательными к корням!

        Прежде всего, мне нужно преобразовать уравнение так, чтобы я мог сделать подходящую замену. Я не могу придумать сейчас ничего лучше, чем переписать тангенс через синус и косинус:

        Теперь я перейду от косинуса к синусу по основному тригонометрическому тождеству:

        И, наконец, приведу все к общему знаменателю:

        Теперь я могу перейти к уравнению:

        Но при (то есть при ).

        Теперь все готово для замены:

        Однако обрати внимание, что если , то при этом !

        Кто от этого страдает? Беда с тангенсом, он не определен, когда косинус равен нулю (происходит деление на ноль).

        Таким образом, корни уравнения следующие:

        Теперь производим отсев корней на промежутке :

        — подходит
        — перебор

        Таким образом, наше уравнение имеет единственный корень на промежутке , и он равен .

        Видишь: появление знаменателя (также, как и тангенса, приводит к определенным затруднениям с корнями! Тут нужно быть более внимательным!).

        Ну что же, мы с тобой почти закончили разбор тригонометрических уравнений, осталось совсем немного – самостоятельно решить две задачи. Вот они.

      • Решите уравнение
        Най­ди­те все корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку .
      • Ре­ши­те урав­не­ние
        Ука­жи­те корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку .
      • Решил? Не очень сложно? Давай сверяться:

        Работаем по формулам приведения:

        Подставляем в уравнение:

        Перепишем все через косинусы, чтобы удобнее было делать замену:

        Теперь легко сделать замену:

        Ясно, что — посторонний корень, так как уравнение решений не имеет. Тогда:

        Ищем нужные нам корни на промежутке

        Для : — подходит
        Для : — подходит
        Для : — выскочил
        Для : — тем более выскочил

    Здесь замена видна сразу:

    Тогда или

    или

    Отбор корней на промежутке :

    — подходит! — подходит!
    — подходит! — подходит!
    — много! — тоже много!

    Ну вот, теперь все! Но решение тригонометрических уравнений на этом не заканчивается, за бортом у нас остались самые сложные случаи: когда в уравнениях присутствует иррациональность или разного рода «сложные знаменатели». Как решать подобные задания мы рассмотрим в статье для продвинутого уровня.

    ПРОДВИНУТЫЙ УРОВЕНЬ

    В дополнение к рассмотренным в предыдущих двух статьях тригонометрическим уравнениям, рассмотрим еще один класс уравнений, которые требуют еще более внимательного анализа. Данные тригонометрические примеры содержат либо иррациональность, либо знаменатель, что делает их анализ более сложным . Тем не менее ты вполне можешь столкнуться с данными уравнениями в части С экзаменационной работы. Однако нет худа без добра: для таких уравнений уже, как правило, не ставится вопрос о том, какие из его корней принадлежат заданному промежутку. Давай не будем ходить вокруг да около, а сразу тригонометрические примеры.

    Решить уравнение и найти те корни, которые принадлежат отрезку .

    У нас появляется знаменатель, который не должен быть равен нулю! Тогда решить данное уравнение – это все равно, что решить систему

    Решим каждое из уравнений:

    А теперь второе:

    Теперь давай посмотрим на серию:

    Ясно, что нам не подходит вариант , так как при этом у нас обнуляется знаменатель (см. на формулу корней второго уравнения)

    Если же – то все в порядке, и знаменатель не равен нулю! Тогда корни уравнения следующие: , .

    Теперь производим отбор корней, принадлежащих промежутку .

    — не подходит — подходит
    — подходит — подходит
    перебор перебор

    Тогда корни следующие:

    Видишь, даже появление небольшой помехи в виде знаменателя существенно отразилось на решении уравнения: мы отбросили серию корней, нулящих знаменатель. Еще сложнее может обстоять дело, если тебе попадутся тригонометрические примеры имеющие иррациональность.

    Ну хотя бы не надо отбирать корни и то хорошо! Давай вначале решим уравнение, не взирая на иррациональность:

    И что, это все? Нет, увы, так было бы слишком просто! Надо помнить, что под корнем могут стоять только неотрицательные числа. Тогда:

    Решение этого неравенства:

    Теперь осталось выяснить, не попала ли ненароком часть корней первого уравнения туда, где не выполяется неравенство .

    Для этого можно опять воспользоваться таблицей:

    : 1″> , но Нет!
    1,5″> Да!
    Да!

    Таким образом, у меня «выпал» один из корней! Он получается, если положить . Тогда ответ можно записать в следующем виде:

    Видишь, корень требует еще более пристального внимания! Усложняем: пусть теперь у меня под корнем стоит тригонометрическая функция.

    Как и раньше: вначале решим каждое отдельно, а потом подумаем, что же мы наделали.

    Теперь второе уравнение:

    Теперь самое сложное – выяснить, не получаются ли отрицательные значения под арифметическим корнем, если мы подставим туда корни из первого уравнения:

    Число надо понимать как радианы. Так как радиана – это примерно градусов, то радианы – порядка градусов. Это угол второй четверти. Косинус второй четверти имеет какой знак? Минус. А синус? Плюс. Так что можно сказать про выражение:

    Оно меньше нуля!

    А значит – не является корнем уравнения.

    Сравним это число с нулем.

    Котангенс – функция убывающая в 1 четверти (чем меньше аргумент, тем больше котангенс). радианы – это примерно градусов. В то же время

    \sqrt<3>«> , а значит и
    0″> ,

    Может ли быть еще сложнее? Пожалуйста! Будет труднее, если под корнем по-прежнему тригонометрическая функция, а вторая часть уравнения – снова тригонометрическая функция.

    Чем больше тригонометрических примеров, тем лучше, смотри дальше:

    – корень не годится, ввиду ограниченности косинуса

    В то же время по определению корня:

    Надо вспомнить единичную окружность: а именно те четверти, где синус меньше нуля. Какие это четверти? Третья и четвертая. Тогда нас будут интересовать те решения первого уравнения, которые лежат в третьей или четвертой четверти.

    Первая серия дает корни, лежащие на пересечении третьей и четвертой четверти. Вторая же серия – ей диаметрально противоположная – и порождает корни, лежащие на границе первой и второй четверти. Поэтому эта серия нам не подходит.

    И опять тригонометрические примеры с «трудной иррациональностью» . Мало того, что у нас снова под корнем тригонометрическая функция, так теперь она еще и в знаменателе!

    Ну, ничего не поделаешь – поступаем как и раньше.

    Теперь работаем со знаменателем:

    Я не хочу решать тригонометрическое неравенство, а потому поступлю хитро: возьму и подставлю в неравенство мои серии корней:

    Если – четное, то имеем:

    так как , то все углы вида лежат в четвертой четверти. И снова сакральный вопрос: каков знак синуса в четвертой четверти? Отрицательный. Тогда неравенство

    Если же -нечетное , то:

    В какой четверти лежит угол ? Это угол второй четверти. Тогда все углы – снова углы второй четверти. Синус там положительный. Как раз то, что надо! Значит, серия:

    Точно так же разбираемся со второй серией корней:

    Подставляем в наше неравенство:

    Если – четное , то

    – углы первой четверти. Синус там положительный, значит серия подходит. Теперь если – нечетное , то:

    Ну вот, теперь записываем ответ!

    Ну вот, это был, пожалуй, наиболее трудоемкий случай. Теперь я предлагаю тебе задачи для самостоятельного решения.

    Тренировка

  • Решите и найдите все корни уравнения, принадлежащие отрезку .
  • Первое уравнение:
    или
    ОДЗ корня:

    Второе уравнение:

    Отбор корней, которые принадлежат промежутку

    Принадлежит?
    \displaystyle \pm \frac <\pi >

    да
    нет
    нет

    или
    или
    Но

    Рассмотрим: . Если – четное, то
    – не подходит!
    Если – нечетное, : – подходит!
    Значит, наше уравнение имеет такие серии корней:
    или
    Отбор корней на промежутке :

    — не подходит — подходит
    — подходит — много
    — подходит много
  • или
    Так как , то при тангенс не определен. Тут же отбрасываем эту серию корней!

    Вторая часть:

    В то же время по ОДЗ требуется, чтобы

    Проверяем найденные в первом уравнении корни:

    Если знак :

    – углы первой четверти, где тангенс положительный. Не подходит!
    Если знак :

    – угол четвертой четверти. Там тангенс отрицательный. Подходит. Записываем ответ:

  • Мы вместе разобрали в этой статье сложные тригонометрические примеры, но тебе стоит прорешать уравнения самому.

    КРАТКОЕ ИЗЛОЖЕНИЕ И ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ

    Тригонометрическое уравнение — это уравнение, в котором неизвестная находится строго под знаком тригонометрической функции.

    Существует два способа решения тригонометрических уравнений:

    Первый способ — с использованием формул.

    Второй способ — через тригонометрическую окружность.

    Тригонометрическая окружность позволяет измерять углы, находить их синусы, косинусы и прочее.

    P.S. ПОСЛЕДНИЙ БЕСЦЕННЫЙ СОВЕТ 🙂

    Ну вот, тема закончена. Если ты читаешь эти строки, значит ты очень крут.

    Потому что только 5% людей способны освоить что-то самостоятельно. И если ты дочитал до конца, значит ты попал в эти 5%!

    Теперь самое главное.

    Ты разобрался с теорией по этой теме. И, повторюсь, это… это просто супер! Ты уже лучше, чем абсолютное большинство твоих сверстников.

    Проблема в том, что этого может не хватить…

    Для успешной сдачи ЕГЭ, для поступления в институт на бюджет и, САМОЕ ГЛАВНОЕ, для жизни.

    Я не буду тебя ни в чем убеждать, просто скажу одну вещь…

    Люди, получившие хорошее образование, зарабатывают намного больше, чем те, кто его не получил. Это статистика.

    Но и это — не главное.

    Главное то, что они БОЛЕЕ СЧАСТЛИВЫ (есть такие исследования). Возможно потому, что перед ними открывается гораздо больше возможностей и жизнь становится ярче? Не знаю.

    Что нужно, чтобы быть наверняка лучше других на ЕГЭ и быть в конечном итоге… более счастливым?

    НАБИТЬ РУКУ, РЕШАЯ ЗАДАЧИ ПО ЭТОЙ ТЕМЕ.

    На экзамене у тебя не будут спрашивать теорию.

    Тебе нужно будет решать задачи на время.

    И, если ты не решал их (МНОГО!), ты обязательно где-нибудь глупо ошибешься или просто не успеешь.

    Это как в спорте — нужно много раз повторить, чтобы выиграть наверняка.

    Найди где хочешь сборник, обязательно с решениями, подробным разбором и решай, решай, решай!

    Я рекомендую использовать для этих целей наш учебник «YouClever» (который ты сейчас читаешь) и решебник и программу подготовки «100gia».

    И сейчас у меня есть специальное предложение, посвященное переезду учебника «YouClever» на новую платформу.

    Не пропусти это предложение, оно больше не повторится.

    СПЕЦИАЛЬНОЕ ПРЕДЛОЖЕНИЕ НА УЧЕБНИК «YOUCLEVER» И РЕШЕБНИК И ПРОГРАММУ ПОДГОТОВКИ «100GIA»

    Кликай по ссылке. Длительность акции — 1 неделя (до 8 ноября, 24 часов)

    И в заключение.

    Если наши задачи тебе не нравятся, найди другие. Только не останавливайся на теории.

    “Понял” и “Умею решать” — это совершенно разные навыки. Тебе нужны оба.

    Найди задачи и решай!

    Комментарии

    Извините,а как решить уравнение вида: Sin(-x/4)=корень из2/2

    Danil, мы здесь не решаем уравнения. Извини. Может быть кто-нибудь из пользователей подскажет? )

    -x/4 = ?/2 ± ?/4 + 2*pi*k, k ? Z -x = 4*(?/2 ± ?/4 + 2*pi*k) -x = 2*? ± ? + 8*pi*k x = -2*? ? ? — 8*pi*k Вроде бы, так.

    sin(-x/4)=sqr2/2; -sin(x/4)=sqr2/2; sin(x/4)=-sqr2/2; x/4=((-1)^n)*arcsin(-sqr2/2)+ pi*n; x/4=((-1)^n)*(-pi/4)+pi*n; x/4=((-1)^(n+1))*(pi/4)+pi*n; x=((-1)^(n+1))*pi+4*pi*n.

    А вот как решить такое уравнение arccos(2x+1)=-pi/3

    Татьяна, никак, арккосинус не может быть меньше -1 (но -pi/3

    Читайте так же:

    • Объявления гадания на таро ГАДАНИЕ & МАГИЯ ГАДАНИЯ МАГИЯ АСТРОЛОГИЯ ДОСКА ЭЗОТЕРИЧЕСКИХ ОБЪЯВЛЕНИЙ MAGIC INFO BOARD Популярные объявления Гадание. Приворот. Магическая помощь. Магическая помощь! […]
    • Какой знак зодиака не любит детей Какие знаки зодиака не любят детей? Появление ребенка в семье, к сожалению, не у всех вызывает умиление. Астрологи считают, что у определенных знаков зодиака четко прослеживается […]
    • Какие упражнение нельзя делать при сколиозе Какие упражнения выполнять при сколиозе позвоночника По мнению ведущих ортопедов и вертебрологов, лечебная физкультура (ЛФК) является базовой консервативной методикой коррекции искривлений […]
    • Традиции в гагаузии Будни и праздники Гагаузии Гагаузы - православный тюркоязычный народ - поселились на территории нынешней Молдавии в XIX веке. В их быту и традициях причудливо переплелись Восток и Запад, […]
    • Саусеп фрукт где растет Фрукт гуанабана (гравиола) — место произрастания и полезные свойства Все более популярными в наше время становятся экзотические заморские плоды. Одним из таких фруктов является и […]
    • Черная норка шуба как выбрать Как выбрать шубу из норки: 5 критериев хорошего изделия Сегодня шубы из норки относят к элитным меховым изделиям. История их массового создания началась в XVIII веке в Европе из местной […]

    Leave a Reply

    Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *