Как научиться решать задачи на построение

Как научиться решать задачи на построение

Математика/4. Прикладная математика

Ученица 7 класса Кабанова Е. В.,

учитель математики высшей квалификационной категории Шарова С. Г.

Муниципальное образовательное учреждение гимназия г. Урюпинск, Россия

Задачи на построение

Геометрические задачи на построение, возможно, самые древние математические задачи. Кому-то они сейчас могут показаться не очень интересными и нужными, какими-то надуманными. И в самом деле, где и зачем может понадобиться умение с помощью циркуля и линейки построить правильный семнадцатиугольник или треугольник по трем высотам, или даже просто сделать построение параллельной прямой. Современные технические устройства сделают все эти построения и быстрее, и точнее, чем любой человек, а заодно смогут выполнить и такие построения, которые просто невозможно выполнить при помощи циркуля и линейки.

И все же без задач на построение геометрия перестала бы быть геометрией. Геометрические построения являются весьма существенным элементом изучения геометрии.

В чем же особенность этих задач? Задачи на построение не просты. Не существует единого алгоритма для решения всех таких задач. Каждая из них по-своему уникальна, и каждая требует индивидуального подхода для решения. Именно поэтому научиться решать задачи на построение чрезвычайно трудно, а, порой, практически невозможно. Но эти задачи дают уникальный материал для индивидуального творческого поиска путей решения с помощью своей интуиции и подсознания.

Цель работы : разработать рекомендации при решении задач на построение с помощью циркуля и линейки, провести условное разбиение задач на классы, определяемые методами решения.

Объект исследования : построение с помощью циркуля и линейки в курсе основной школы.

Предмет исследования: решение задач на построение.

Гипотеза : применение разработанных рекомендаций при решении задач на построение будет способствовать наиболее эффективному творческому поиску путей решения при изучении геометрии в курсе основной школы.

1. Рассмотреть основные этапы решения задач на построение.

2. Рассмотреть методы решения задач на построение,

3. Подобрать наиболее эффективный способ построения в каждом конкретном случае.

Суть решения задачи на построение состоит в том, что требуется построить наперед указанными инструментами некоторую фигуру, если дана некоторая фигура и указаны некоторые соотношения между элементами искомой фигуры и элементами данной фигуры. Каждая фигура, удовлетворяющая условиям задачи, называется решением этой задачи. Найти решение задачи на построение – значит свести ее к конечному числу основных построений, то есть указать конечную последовательность основных построений, после выполнения которых, искомая фигура будет уже считаться построенной в силу принятых аксиом конструктивной геометрии.

Еще в IV в. до н. э. древнегреческие геометры разработали общую схему решения задач на построение, которой мы пользуемся и теперь. Процесс решения задачи разбивают на 4 этапа: анализ, построение, доказательство и исследование. Рассмотрим каждый этап более подробно.

Первый этап – анализ.

Это важный этап решения задачи, который мы понимаем как поиск способа решения задачи на построение. На этом этапе должны быть подмечены такие зависимости между данными фигурами и искомой фигурой, которые позволили бы в дальнейшем построить эту искомую фигуру.

Второй этап – построение – состоит из двух частей: 1) перечисление в определенном порядке всех элементарных построений, которые нужно выполнить, согласно анализу, для решения задачи; 2) непосредственное выполнение этих построений на чертеже при помощи чертежных инструментов.

Третий этап – доказательство.

После того как фигура построена, необходимо установить, удовлетворяет ли она условиям задачи, то есть показать, что фигура, полученная из данных элементов определенным построением, удовлетворяет всем условиям задачи. Значит, доказательство существенно зависит от способа построения.

Четвертый этап – исследование.

При построении обычно ограничиваются отысканием одного какого-либо решения, причем предполагается, что все шаги построения действительно выполнимы. Для полного решения задачи нужно еще выяснить следующие вопросы: 1) всегда ли (то есть при любом ли выборе данных) можно выполнить построение избранным способом; 2) можно ли и как построить искомую фигуру, если избранный способ нельзя применить; 3) сколько решений имеет задача при каждом возможном выборе данных? Рассмотрение всех этих вопросов и составляет содержание исследования.

К основным методам решения задач на построение, изучаемых в средней школе, относятся:

1. Метод геометрических мест.

2. Методы геометрических преобразований:

2.1. Метод центральной симметрии

2.2. Метод осевой симметрии

2.3. Метод параллельного переноса

2.4. Метод поворота

2.5. Метод подобия

3. Алгебраический метод.

Каждому методу сопоставляется определенный класс задач (См. Приложение). Однако провести классификацию задач на построение по методам их решения нельзя. Это следует уже из того, что многие задачи допускают несколько методов решения. Поэтому можно говорить лишь об условном разбиении задач на построение на классы, определяемые их методами решения.

В данной работе рассмотрены некоторые из этих методов и задачи, решаемые с их помощью. Выполняя поставленную перед собой цель, мы прорешали множество задач на построение, пользуясь при этом дополнительной литературой, задачниками, выяснили, какие способы можно использовать при решении таких задач. Мы узнали много нового о различных методах решения, поняли, что задачи на построение развивают математическую интуицию, учат логически мыслить и искать нестандартные пути решения не только математических задач.

Математическая сущность методов геометрических мест состоит в том, что искомая точка определяется как точка пересечения некоторых двух геометрических мест (или иногда как точка пересечения некоторого геометрического места с данной прямой или окружностью). При этом те условия задачи, которые определяют положение искомой точки, расчленяются мысленно на два условия, и каждое из них дает некоторое геометрическое место, построение которого оказывается возможным (иногда одно из этих геометрических мест заменяется непосредственно данной прямой или окружностью).

Основа данного метода – понятие геометрического места точек. Геометрическим местом точек (ГМТ) пространства, обладающих данным свойством, называется множество всех точек пространства, каждая из которых обладает этим свойством.

Сущность метода геометрических мест заключается в следующем:

1. Задача сводится к построению некоторой точки.

2. В ыясняется, какими свойствами обладает данная точка.

3. Рассматривается одно из свойств, строится множество всех точек, обладающих этим свойством.

4. Берется следующее свойство и так далее.

5. Поскольку искомая точка должна обладать всеми этими свойствами, то она должна принадлежать каждому из построенных множеств, то есть принадлежит пересечению этих множеств.

Задача на построение. Постройте остроугольный треугольник АВС по сумме углов В и А, высоте В D и стороне АС.

Дан угол, представляющий сумму углов А и В, отрезок АС и отрезок В D . Требуется построить такой треугольник АВС, в котором угол С1= 180 0 — (угол А1+ угол В1), высота B 1 D 1 равна отрезку В D ,сторона А1С1 равна отрезку АС.

Допустим, что такой треугольник построен. Нам известна сумма углов А и В => мы можем найти угол С1. Затем построим ?СВ D по катету и противолежащему углу. А потом достроим ?АВС.

1. Построить прямую а.

2. Построить перпендикуляр (прямая b ) к прямой а.

3. Отложить отрезок В1 D 1 , равный В D .

4. Построить отдельно угол С1= 180 0 — ( угол А1+ угол В1).

5. Построить угол В1=90 0 — угол С1.

6. С1— точка пересечения.

7. На прямой b провести окружность R =АС и с центром С1.

8. А1 — точка пересечения.

1. В D = B 1 D 1 (по построению).

2. угол С1= 180 0 -( угол А1+ угол В1)(по построению).

    Главная
  • Список секций
  • Математика
  • Методы решения задач на построение
  • Методы решения задач на построение

    Автор работы награжден дипломом победителя III степени

    Выбор темы «Алгебраический метод геометрических построений», как темы нашей исследовательской работы, обусловлен тем, что в программе школьного курса геометрии рассматриваются наиболее простые задачи на построение, тогда как на олимпиадах часто встречаются задачи высокого уровня сложности.

    Актуальность. Геометрические задачи на построение являются настолько существенным фактором математического образования, что на преподавание этого раздела в средней школе должно быть обращено серьезное внимание.

    Задачи на построение развивают изобретательность, инициативу, конструктивные способности.

    Изучение методов геометрических построений должно усилить творческие возможности учащихся, увеличить выбор приемов решения, правильно организовать процесс решения задачи.

    Выяснить какие существуют методы решения задач на построение;

    Проанализировать алгебраический метод решения задач на построение;

    Выяснить, можно ли выразить формулой длину искомого отрезка через длины данных отрезков;

    Сформировать умение строить отрезки по данным формулам;

    Рассмотреть решение задач с использованием разных методов;

    Создание творческих проектов по теме исследования.

    Объект исследования — геометрические задачи на построение.

    Предмет исследования — способы решения геометрических задач на построение.

    Проблема — в школьном курсе геометрии недостаточно уделено внимания задачам на построение с помощью циркуля и линейки, алгебраический метод решения задач на построениене рассматриваются в школьном курсе геометрии.

    Гипотеза — решая задачи, учащиеся приобретают новые знания и навыки, развивают в себе настойчивость, приобщается к математическому творчеству.

    В соответствии с целью исследования необходимо решить следующие задачи по данной теме:

    Проанализировать источники литературы;

    Научиться решать задачи на построение алгебраическим методом;

    Описать другие методы и способы решения задач на построение;

    Показать преимущество знаний различных способов решения задач на построение.

    Данный материал может использоваться в качестве основы для элективного курса в классах физико-математического профиля, а также при подготовке к олимпиадам.

    Алгебраический метод решения задач на построение — один из важнейших методов теории конструктивных задач. Именно с помощью этого метода решаются вопросы, связанные с разрешимостью задач тем или иным набором инструментов.

    Кроме того, это один из самых мощных методов, позволяющий решать многие задачи, решение которых обычными способами затруднительно. Метод прекрасно демонстрирует тесную взаимосвязь алгебры и геометрии.

    Суть метода состоит в следующем:

    а) задача сводится к построению некоторого отрезка;

    б) используя известные геометрические соотношения между искомыми и данными, составляют уравнение (систему уравнений), связывающее искомые и данные;

    в) решая уравнение или систему уравнений, выражают формулой длину искомого отрезка через длины данных;

    г) по формуле строится искомый отрезок (если это возможно);

    д) с помощью найденного отрезка строится искомая фигура.

    Формулы, использующиеся для построений.

    Подготовительную работу составляет изучение основных формул и способов построения, где также отрабатываются некоторые элементы схемы решения задач алгебраическим методом, и усваивается сама идея такого подхода к решению задач на построение.

    В школьном курсе геометрии обычно рассматривают построения циркулем и линейкой отрезков, заданных следующими некоторыми простейшими формулами:

    Рисунок 1 Рисунок 2

    Формула №3 где n — натуральное число. Сводится к построению формулой №1. На рисунке 3 построен отрезок х, такой, что

    Рисунок 3 Рисунок 4

    Строим луч, выходящий из какого-либо конца О данного отрезка а под произвольным углом к нему. Откладываем на этом луче n раз произвольный отрезок b, так что OB = nb (см. рис. 4). Соединяем точку В со вторым концом А отрезка а. Через точку В1, определяемую условием 0В1 = b, проводим прямую, параллельную АВ, и отмечаем точку A1, в которой она пересечет отрезок а.

    Формула №5 (построение четвертого отрезка, пропорционального трем данным отрезкам).

    Запишем условие в виде пропорции . Пусть (рис. 5) ОА = а, ОС = с, так что члены одного из отношений отложены на одном луче, исходящем из точки О. На другом луче, исходящем из той же точки под произвольным углом, откладываем известный член другого отношения ОB = b. Через точку А проводим прямую, параллельную ВС, и отмечаем точку X ее пересечения с прямой ОВ. Отрезок ОХ искомый, то есть ОХ = х

    Формула №6 (построение среднего пропорционального двух данных отрезков).

    Строим отрезки АС = а, ВС = b, так что АВ = а + b. На АВ как на диаметре строим полуокружность (см. рис. 6). В точке С восстановим перпендикуляр к АВ и отметим точку D его пересечения с окружностью. Тогда х = CD.

    Отрезок строится как гипотенуза прямоугольного треугольника с катетами а и b (см. рис. 7).

    Отрезок строится как катет прямоугольного треугольника с гипотенузой и катетом .

    К рассмотренным построениям можно свести построение отрезков, заданных более сложными формулами.

    Примеры построения отрезков .

    Построить отрезок , заданный формулой:

    В итоге всех этих построений мы построили искомый отрезок

    В данном построении использованы формулы №1, №2,№3,№5

    Построить отрезок х, заданный формулой:

    Для того чтобы облегчить построение, упростим заданную формулу:

    5) Построим , где

    В итоге всех этих построений мы нашли отрезок (искомому отрезку)

    В данном построении использованы формулы №5, №7, №6.

    1.3. Примеры решения задач.

    Из вершин данного треугольника, как из центров, описать три круга, которые попарно прикасаются внешне.

    Решение. Пусть А, В, С— вершины данного треугольника, а, b, c— его стороны. Тогда

    Построим один из отрезков, например , и проведем окружность с центром в точке А радиуса, длина котрого равняется . Две других окружности проводим из центров В и С соответственно радиусами и .

    1.4. Критерий разрешимости .

    Анализ решенных нами задач, позволяет сделать вывод о критерии разрешимости задач на построение алгебраическим методом.

    Для того, чтобы циркулем и линейкой можно было построить отрезок, необходимо и достаточно, чтобы длину искомого отрезка можно было выразить через длины данных отрезков при помощи конечного числа основных действий.

    Под основными действиями понимают операции сложения, умножения, вычитания, деления, извлечения квадратного корня.

    2. Метод геометрических мест точек

    2.1 Понятие о геометрическом месте точек

    Геометрическая фигура может быть задана различными способами: как пересечение или соединение данных фигур, путём указания определяющего её свойства, путем указания свойства, которым обладает каждая её точка, и т. п. Так, например, один и тот же отрезок СВ можно задать:

    как пересечение лучей СM и ВN;

    как диаметр одной окружности , перпендикулярный к данной прямой ;

    как совокупность середин всех хорд окружности , параллельных прямой и другими способами.

    Если фигура задана путем указания свойства, которым обладают все точки этой фигуры и только они, то такую фигуру называют геометрическим местом точек, обладающих указанным свойством.

    Таким образом, геометрическим местом точек (ГМТ) плоскости, обладающих указанным свойством, называется фигура, состоящая из всех тех точек плоскости, которые обладают этим свойством.

    2.2 Обзор простейших геометрических мест

    Простейшие ГМТ на плоскости рассматриваются в школьном курсе геометрии. Перечислим важнейшие из них.

    ГМТ 1. Окружность – геометрическое место точек, равноудаленных от точки, называемой центром окружности

    ГМТ 1 (обратно). Все точки, равноудаленные от центра окружности лежат на окружности

    ГМТ 2. Все точки, равноудаленные от сторон угла, лежат на его биссектрисе.

    ГМТ 2 (обратно). Все точки, лежащие на биссектрисе равноудалены от сторон угла.

    ГМТ 3. Все точки, равноудаленные от концов отрезка, лежат на серединном перпендикуляре к отрезку.

    ГМТ 3 (обратно). Все точки, лежащие на серединном перпендикуляре, равноудалены от концов отрезка.

    ГМТ (плоскости), равноудаленных от двух данных параллельных прямых (этой плоскости), есть прямая, параллельная данным прямым.

    Для построения этого ГМТ проводят какую – либо прямую c, пересекающую данные прямые a и b, делят отрезок этой секущей, заключенный между данными прямыми, пополам и проводя искомую прямую через середину этого отрезка параллельно данным прямым.

    Полученную прямую называют иногда средней линией данных параллельных прямых.

    ГМТ (плоскости), равноудалённых от двух данных пересекающихся прямых (этой плоскости), представляет собой две взаимно перпендикулярные прямые, являющиеся биссектрисами углов, образованных данными прямыми.

    Построение этого ГМТ сводится к элементарной задаче о делении данного угла пополам.

    1.Гомотетия является преобразованием подобия.
    2. Гомотетия переводит прямую в прямую, окружность в окружность отрезок — в отрезок.
    3. Гомотетия (k>0) переводит луч в сонаправленный луч.
    4. Гомотетия сохраняет углы.
    5. При k = 1 гомотетия переводит прямую, не проходящую через центр гомотетии О, в параллельную прямую, отрезок — в параллельный отрезок. Прямые, проходящие через центр гомотетии, отображаются на себя.
    7. Преобразование, обратное гомотетии с коэффициентом k = 0, есть гомотетия с тем же центром гомотетии О и коэффициентом гомотетии .
    8. Композиции двух гомотетий с общим коэффициентом О и коэффициентами и есть гомотетия с тем же центром О и коэффициентом k = .

    Правило
    Преобразование подобия с коэффициентом k есть композиция гомотетии с коэффициентом k и движения.

    При решении многих задач на построение применяется метод подобия, суть которого заключается в следующем: сначала строится фигура подобная данной, затем эта фигура увеличивается (уменьшается) в нужном отношении (т.е. строится подобная фигура), удовлетворяющая условию задачи.

    В исследовательской работе мы познакомились с алгебраическим и другими методами геометрических построений. Мы рассмотрели основные формулы для построения отрезков, установили критерий разрешимости задач. Алгебраический метод показывает тесную связь между алгеброй и геометрией.

    В представленной исследовательской работе получены следующие результаты:

    1) проведен анализ методов решения задач на построение; более подробно приведен анализ алгебраического метода.

    2) рассмотрены решения задач с использованием данных методов;

    3) установлен критерий разрешимости задач, решаемых алгебраическим методом;

    4) приведены подробные примеры решения задач

    5) созданы творческие проекты.

    Данный материал может использоваться в качестве основы для элективного курса в классах физико-математического профиля, инженерно-технологического профиля, а также при подготовке к олимпиадам.

    Геометрические построения могут сыграть серьезную роль в математической подготовке школьника. Ни один вид задач не дает, пожалуй, столько материала для развития математической инициативы и логических навыков учащегося, как геометрические задачи на построение. Эти задачи обычно не допускают стандартного подхода к ним и формального восприятия их учащимися. Задачи на построение удобны для закрепления теоретических знаний учащихся по любому разделу школьного курса геометрии. Решая геометрические задачи на построение, учащийся приобретает много полезных чертежных навыков.

    Список используемой литературы

    Факультативный курс по математике «Решение задач», авторы Шарыгин И.Ф., Голубев В.И., 1991 г.

    Аргунов Б. И., Балк М.Б. Геометрические построения на плоскости.- М.: УЧПЕДГИЗ, 1955. –269с.

    Четверухин Н.Ф. Методы геометрических построений.- М.: УЧПЕДИЗ, 1952.-147с.

    Василевский А. Б. Обучение решению задач.- Минск : «Вы c шая школа», 1979 .-191 с.

    Сканави М.И.Сборник задач по математики для поступающих в вузы.- К.: «Канон»,1997.-582 с.

    Погорелов А. В. Геометрия.- М.:«Наука»,-288 с.

    Александров И., Сборник геометрических задач на построение, изд.18, М.,1950.- 254с.

    Глаголев А.Н., Сборник геометрических задач на построение, М., 1986.-243

    Зетель С.И., Геометрия линейки и циркуля, М., 1950.- 308

    Кушнир И.А. Решение задач с помощью некоторых формул// математика в школе .- 1985.-354с

    Решение задач на построение — шаг к развитию логического мышления

    Разделы: Математика

    Умение решать задачи является одним из основных показателей уровня математического развития, глубины освоения учебного материала. Поэтому любой экзамен по математике, любая проверка знаний содержит в качестве основной и, пожалуй, наиболее трудной части решение задач.

    И вот тут обнаруживается, что многие не могут показать достаточные умения в решении задач. На всех экзаменах, как в школе, так и на приёмных в вузы и техникумы, довольно часто встречаются случаи, когда ученик показывает, казалось бы, хорошие знания в области теории, знает все требуемые определения и теоремы, но запутывается при решении весьма несложной задачи.

    За время обучения в школе каждый ученик решает огромное число задач, порядка нескольких десятков тысяч. При этом все решают одни и те же задачи. А в итоге некоторые ученики овладевают общим умением решения задач, а многие, встретившись с задачей незнакомого или малознакомого вида, теряются и не знают, как к ней подступиться.

    В чём причина такого положения? Причин, конечно, много. И одной из них является то, что одни ученики вникают в процесс решения задач, стараются понять, в чём состоят приёмы и методы решения задач, изучают задачи. Другие же, к сожалению, не задумываются над этим, стараются лишь как можно быстрее решить заданные задачи. Эти учащиеся не анализируют в должной степени решаемые задачи и не выделяют из решения общие приёмы и способы. Задачи зачастую решаются лишь ради получения ответа.

    У большинства учащихся весьма смутные, а порой и неверные представления о сущности решения задач, о самих задачах. Как могут учащиеся решить сложную задачу, если они не представляют, из чего складывается анализ задачи, как могут они решить задачу на доказательство? Многие учащиеся не знают, в чём смысл решения задач на построение, зачем и когда нужно производить исследование решения и т. д.

    Очевидно, что на таких представлениях не могут возникнуть сознательные и прочные умения в решении задач.

    Для того, чтобы научиться решать задачи, надо много поработать. Но эта работа не сводится лишь к решению большого числа задач. Если кратко обозначить то, что нужно сделать для этого, то можно так сказать: надо научиться такому подходу к задаче, при котором задача выступает как объект тщательного изучения, а её решение – как объект конструирования и изобретения.

    Разговор о задачах в целом хочется перевести на обсуждение вопроса о таком важном и всем известном разделе задач в школьном курсе геометрии, как «Задачи на построение».

    Задачи на построение являются традиционными задачами в курсе геометрии. Разработкой методов решения этих задач математики занимаются ещё со времён Древней Греции. Уже математики школы Пифагора (VI в. до н. э.) решили довольно сложную задачу построения правильного пятиугольника. В течение многих веков математики проявляли живейший интерес к задачам на построение. Интерес к этим задачам обусловлен не только их красотой и оригинальностью методов решения, но и большой практической ценностью. Проектирование строительства, архитектура, конструирование различной техники основаны на геометрических построениях.

    Трудно переоценить роль задач на построение в математическом развитии школьников. Они по своей постановке и методам решения не только наилучшим образом стимулируют накопление конкретных геометрических представлений, но и развивают способность отчётливо представлять себе ту или иную геометрическую фигуру и, более того, уметь мысленно оперировать элементами этой фигуры. Задачи на построение могут способствовать пониманию учащимися происхождения различных геометрических фигур, возможности их преобразования – всё это является важной предпосылкой развития пространственного мышления школьников. Они сильно развивают логическое мышление, геометрическую интуицию. План решения любой задачи на построение – цепочку основных построений, приводящих к цели – можно рассматривать как некоторый алгоритм и, следовательно, их можно использовать и в старших классах как содержательный материал курса информатики и вычислительной техники. В процессе решения задач на построение учитель может эффективно формировать элементы алгоритмической культуры школьников, систематически требуя от них четкой последовательности основных построений. Задачи на построение развивают поисковые навыки решения практических проблем, приобщают к посильным самостоятельным исследованиям, что очень важно в формировании умений и навыков умственного труда. Посредством задач на построение, даже простейших из них, более глубоко осознаются теоретические сведения об основных геометрических фигурах, так как в процессе решения этих задач ученик создает наглядную модель изучаемых свойств и отношений и работает с этой моделью. Решение задач на построение развивает такие качества личности, как внимание, настойчивость и целеустремленность, инициативу, изобретательность, дисциплинированность, трудолюбие.

    Как известно, задача на построение в планиметрии состоит в том, чтобы, исходя из заданных на плоскости геометрических фигур, применяя заранее предписанные средства (инструменты), построить новую геометрическую фигуру, находящуюся в определенных отношениях с данными фигурами. В качестве средств построения чаще всего выступают классические инструменты – циркуль и линейка.

    Математики-методисты, как российские, так и зарубежные, задачам на построение уделяют немало внимания.

    В частности, первая глава книги Д. Пойа “Математическое открытие” целикам посвящена геометрическим задам на построения, и это не случайно. Пойа считает, что “место, занимаемое геометрическими построениями в программе обучения, полностью оправданно, так как они лучше всего подходят для освоения путей решения задач”.

    Задачи на построения не просты. Не существует единого алгоритма для решения таких задач. Каждая из них по-своему уникальна, и каждая требует индивидуального подхода для решения. Именно поэтому научиться решать задачи на построение чрезвычайно трудно, а может быть, невозможно. Но эти задачи дают уникальный материал для индивидуального творческого поиска учащимися путей решения с помощью своей интуиции и подсознания. Цель нашего обсуждения заключается не в обучении поиску решения задач на построения, а в том, чтобы на сознательном уровне перед тем, как решать задачу, и после того, как ее решение найдено, проанализировать логику задачи и логику поиска ее решения.

    Анализ и доказательство в процессе решения.

    Как известно, в решении задач на построение выделяются следующие четыре этапа:

    • анализ
    • построение
    • доказательство
    • исследование
    • В процессе анализа, собственно, и происходит поиск решения задачи. Из предположения, что задача решена и требуемая фигура построена, пытаются вывести такие следствия, которых окажется достаточно для того, чтобы требуемую фигуру построить.

      Построение предлагается поэтапное, шаг за шагом, выполнение построений с помощью циркуля и линейки, т. е. подробное описание последовательности простейших задач на построение, к решению которых сводится построение фигуры в данный задаче.

      В доказательстве требуется доказать, что построенная фигура действительно удовлетворяет всем требованиям задачи.

      Наконец, в исследовании нужно установить, при каком выборе начальных данных задача имеет решение и сколько решений имеет задача при каждом допустимом выборе начальных данных.

      С точки зрения логики узловыми этапами решения задачи на построения являются два – анализ и доказательство.

      Рассмотрим эти этапы подробнее и установим тесную логическую взаимосвязь между ними. Анализ начинается с того, что требуемая фигура построена, т. е. выполнены все те свойства, которые сформированы в условии задачи. В ходе анализа из этих свойств мы пытаемся извлекать какие-то выводы, и каждый такой вывод анализируем на то, можно ли от него вернуться к данному условию. Другими словами, мы ищем такие необходимые следствия данных условий задачи, которые, в свою очередь, для этих условий окажутся достаточными. Что же происходит при доказательстве? Выведенные в процессе анализа следствия становятся условиями. Из этих условий должны быть выведены те свойства, которые сформулированы в условии задачи.

      Таким образом, следствия анализа становятся условиями доказательства, а условия анализа — следствиями доказательства.

      Это означает, что в процессе анализа мы устанавливаем ряд прямых теорем, а в процессе доказательства используем обратные для них теоремы.

      Отсюда задача анализа — выявить в его ходе такие теоремы, обратные утверждения для которых сами будут справедливы, т. е. сами будут теоремами.

      Из этой логики вытекает методика обучения решению задач на построение. Указать учащимся на эту логическую связь анализа и доказательства и предложить им каждый раз обнаруживать и чётко формулировать прямые теоремы в ходе анализа и обратные для них теоремы в ходе доказательства. Если навык такого подхода будет выработан, то учащиеся будут отчётливо представлять логику решения задач на построение и свою задачу на каждом этапе решения.

      К сожалению, в современном школьном курсе геометрии роль задач на построение заметно снизилась по сравнению с их ролью в курсах геометрии предыдущих времён.

      Чтобы изменить в лучшую сторону отношение школьников к задачам вообще, и к задачам на построение в частности, в этом учебном году методическим объединением математиков нашей школы была организована следующая работа.

      Учащимся 9-х классов, отлично успевающим по геометрии, было предложено сдать экзамен по предмету “геометрия (устно)” в виде творческих проектных работ по одной из выбранных ими тем из курса геометрии 7-9 классов.

      Работы включают в себя:

    • Обзор теоретических фактов по данной теме.
    • Экскурс в историю математики; сведения о великих математиках, внёсших свой вклад в разработку этой темы курса геометрии.
    • Раскрытие прикладного характера темы; межпредметные связи.
    • Основную часть каждой работы занимает подборка и решение интересных, нестандартных задач по выбранной теме.
    • Несколько учащихся объединились и выбрали для своей индивидуально-групповой работы тему: “Геометрия треугольника в задачах”.

      1) В работе I ученика будут освещены основные теоретические факты по теме “Треугольники”. “Свойства и признаки различных видов треугольников”. Практическая часть этой работы включает в себя задачи на доказательство и вычислительные задачи по теме “Замечательные линии треугольника”.

      2) В работе II ученика теория и подборка задач по теме “Решение треугольников” с помощью теоремы синусов, теоремы косинусов и теоремы о сумме углов треугольника.

      3) Работа III ученика посвящена теме “Вписанная в треугольник и описанная около треугольника окружность”. “Взаимосвязь двух основных фигур геометрии”. Подобраны задачи вычислительные и задачи на доказательство.

      4) В работе IV ученика раскрыта тема “Вычисление площади треугольника по различным формулам”. Представлен вывод формул несколькими способами. Большая подборка интересных вычислительных задач.

      5) И наконец, работа V ученика целиком посвящена “Задачам на построение треугольников по заданным элементам с помощью циркуля и линейки”. Все задачи с подробным решением, включая этапы “Доказательство” и “Исследование”.

      Покажем на примере решение геометрической задачи на построение треугольника.

      В задаче предполагается построение с помощью классических инструментов.

      К элементарным геометрическим построениям обычно относятся следующие:

      Э.1. Разделить отрезок на два разных отрезка;

      Э.2. Провести биссектрису угла;

      Э.3. Построить на данной прямой от данной точки в данном направлении отрезок, равный данному;

      Э.4. Построить угол с вершиной в данной точке с данной стороной угла по указанную сторону от нее и равный данному углу;

      Э.5. Построить прямую, проходящую через данную точку и параллельную данной прямой;

      Э.6. Построить прямую, проходящую через данную точку и перпендикулярную данной прямой;

      Э.7. Построить треугольник по трем данным сторонам;

      Э.8. Построить треугольник по двум сторонам и углу между ними;

      Э.9. Построить треугольник по стороне и двум углам, прилежащим к ней;

      Э.10. Построить прямую, касательную к данной окружности и проходящую через данную точку вне этой окружности;

      Э.11. Построить прямоугольный треугольник по двум катетам, или по катету и гипотенузе, или по катету и острому углу, или по гипотенузе и острому углу.

      Построить треугольник по высоте, одной из боковых сторон и разности углов при основании.

      h — высота
      а – боковая сторона
      – разность углов при основании

      Рисунок 1

      Пусть АВС – искомый:
      АВ – основание
      CD – высота h
      ВС – боковая сторона а

      Теперь нужно отметить на рисунке заданный угол .

      Для этого от большего угла при основании AB надо отнять меньший угол (рис. 1).

      Будем считать A > B. Тогда, если BAK = B, то KAC и есть угол .

      Можно сразу установить некоторые условия, которым должны удовлетворять эти элементы. Так как h и a являются соответственно катетом и гипотенузой CDB, то h о (2)

      Перейдем к поиску способа решения этой задачи. Ставим перед собой вопрос: можно ли сразу по данным элементам построить искомый треугольник. Очевидно, нет. Но может быть, можно построить какую-либо часть искомой фигуры? Приглядываясь к рис. 1, видим, что в прямоугольном треугольнике ВСD катет CD и гипотенуза ВС являются данными. Поэтому этот треугольник можно построить. Тем самым определится В, а, зная , следовательно, сумеем к ВCD пристроить АСD и тем самым полностью построить искомую фигуру. План построения найден.

      Перейдем к построению. Будем записывать шаги построения, ссылаясь на номера элементарных построений (рис.2).

      Построение:

    • Э.11. Строим прямоугольный треугольник ВСD по гипотенузе ВС = а и катету СD = h.
    • Э.4. Строим СВМ = СВN =
    • Э.6. Проводим ВЕ перпендикулярно DВ.
    • Э.4. Строим DCA1 = МВЕ
    • Э.4. Строим DCА2 = NBE
    • Полученные треугольники А1ВС и А2ВС – искомые.

      Доказательство: рис. 2

      1. В каждом из этих двух треугольников высота СD, опущенная на основание А1В или А2В, равна по построению данному отрезку h.
      2. В каждом из этих двух треугольников боковая сторона ВС равна по построению данному отрезку а.
      3. Рассмотрим теперь разность углов при основании А1В или А2В. В треугольнике А1ВС большим углом является А1. Тогда А1В = (90 о – А1СD) – В = (90 о – МВЕ) – В = МВА1В = СВМ = . В треугольнике А2ВС большим углом является В, поэтому находим разность В – А2 и доказываем аналогично, что и она равна .

      Установим, при каких условиях можно выполнить указанные пять шагов построения. Очевидно, что первые три шага при условиях (1) и (2) выполнить можно всегда.

      А вот последние два шага нуждаются в дополнительном исследовании. Дело в то, что каждый из них состоит из двух построений: построение угла, равного указанному (соответственно МВЕ и NВЕ), и построения точки пересечения полученного луча с прямой BD. Построение угла, равного данному, всегда возможно, а вот нахождение точки пересечения полученного луча с прямой нуждается в исследовании.

      Если луч ВМ проходит внутри угла СВЕ, то 4-й шаг всегда выполним.

      Если же ВМ проходит вне указанного угла (на рис. 2 справа от ВЕ), то здесь возможны три случая:

      1. Луч ВМ проходит правее так, что ВЕМ DCВ, т.е. – (90 о – В) 90 о – В, или + 2 В 180 о . В этом случае луч СА1 пройдёт вне DCB, поэтому треугольник А1ВС построить нельзя.
      2. Если ВМ проходит правее ВЕ, так, что ВЕМ о , поэтому СА2 не пересечет DВ слева от D, следовательно, построить треугольник А2ВС нельзя.

      Итак, видим, что при разных соотношениях между углами и В задача может не иметь решения, иметь одно решение и иметь два решения. Задача решена.

      Этапы работы над проектами:

    • Началась она с выбора тем, установки целей работы.
    • Далее намечался план работы, объём теоретической и практической информации, необходимой для полного освещения темы.
    • На следующем этапе велась подборка теоретического материала и задач по теме с дальнейшим их решением.
    • Далее шло оформление материала в единое целое.
    • Каждый этап работы проходит под наблюдением и руководством учителя. При необходимости учитель координирует отдельные этапы проекта.

      Наряду с этим, постоянно проходят коллективные обсуждения проектов всеми участвующими в данной работе учениками.

      Во время таких обсуждений учащиеся обмениваются опытом работы, анализируют набранную информацию по теме, дают друг другу советы по подбору задачного материала и др.

      • Заключительным этапом в работе над проектом будет защита его перед “школьным математическим Советом” в составе учителей математики, старшеклассников и представителей администрации школы.
        Во время этой защиты ученики будут отчитываться о проделанной работе по теме, отстаивать свою точку зрения, сделают окончательные выводы.

      После “защиты” учащиеся выступят со своими работами перед одноклассниками в целях развития интереса как к предмету геометрии в целом, так и к решению геометрических задач в частности.

      Обращаясь к ученикам в начале учебного года с предложением принять участие в работе над проектами, я пыталась объяснить им, что математике нельзя научиться, наблюдая, как это делает сосед. Обучение математике предполагает решение задач нарастающей трудности, ибо постоянное решение задач привычной трудности со временем превращается в простые упражнения.

      Но что делать, если задача упорно не получается? Можно, конечно, смотреть в потолок или морщить гармошкой лоб, но ещё лучше с карандашом и блокнотом в руках пробовать экспериментировать: делать оценки и проверки для частных значений, рисовать эскизные чертежи в разных ракурсах и т. п. “Мой карандаш бывает ещё разумней моей головы”, – признавался Леонард Эйлер.

      “Замри – умри – воскресни” – это заклинание из известной детской игры полезно произносить каждому, кто берётся решать хорошую математическую задачу. Одоление такой задачи происходит через концентрацию внимания до глубокого погружения в её условия и обстоятельства – к первым проблескам мысли и надежды на её успешное решение. Решение задачи не только умственная, но и волевая деятельность, для этого нужен бойцовский характер и хорошая спортивная злость.

      Нельзя, да и не нужно, решать все задачи, которые накопила математика. Поэтому приходится выбирать, опираясь на признаки привлекательности и поучительности, занимательности и сложности, которые замечаешь в задачах.

      Помимо прочего математика учит честности перед собой и другими, ибо, отвечая на какой-либо вопрос, нельзя отвертеться разговорами вокруг да около. А наличие честности – необходимое условие для правильных мыслей.

      Наконец, нужно сказать, что, решая задачи, мы учимся не только доказывать истину, но и догадываться о ней, а умение догадываться обязательная часть содержательного мышления.

      Задачи на построение циркулем и линейкой в 7 классе

      Идёт приём заявок

      Подать заявку

      Для учеников 1-11 классов и дошкольников

      Задачи на построение циркулем и линейкой в 7 классе

      Шувалова Ю.Г. – учитель математики МОУ школы №10 г.о. Тольятти

      Задачи на построение циркулем и линейкой и сегодня считаются математически весьма интересными. Уже более ста лет это традиционный материал школьного курса геометрии. Одной из самых ценных сторон таких задач является то, что они развивают поисковые навыки решения практических проблем, приобщают к самостоятельным исследованиям, способствуют выработке конкретных геометрических представлений. Задачи на построение вызывают интерес, способствуют активизации мыслительной и познавательной деятельности. При их решении активно используются знания о свойствах фигур, совершенствуются навыки геометрических построений. В результате развиваются конструктивные способности, что является одной из целей изучения геометрии.

      Круг задач, рассматриваемых в геометрии, очень широк. Среди них особое место занимают задачи на построение, которые способствуют развитию определенности, последовательности и обоснованности мышления. На этих задачах можно научиться таким методам познания, как анализ и синтез.

      Структура решения задачи на построение.

      Решение задач на построение с помощью циркуля и линейки, состоит не в том, чтобы выполнить соответствующие построения, а в том, чтобы найти алгоритм решения, то есть, описать решение задачи в виде последовательности уже известных стандартных построений. Правильное, осмысленное решение задач на построение состоит из основных этапов: анализ, построение, доказательство (синтез), исследование.

      Анализ. Составляется план решения. Для этого поступают так: предполагают задачу решенной, делают от руки примерный чертеж искомой. Нужно найти такую зависимость между данными и искомыми величинами, которая позволила бы определить положение искомой точки (отрезка или угла), на нахождение которых нацелено решение задачи.

      Построение – механическое выполнение тех приемов, которые были выведены из плана решения задачи, т.е. анализа. При построении используют основные приемы (задачи на построение), т.е. любая задача на построение разбивается на конечное число шагов (простейших задач на построение).

      Доказательство. Когда искомая фигура построена, необходимо доказать, что она удовлетворяет всем требованиям задачи. При этом ход рассуждений будет обратный тому, который применялся при анализе. Поэтому иногда доказательство называют синтезом.

      Исследование имеет целью выяснить, всегда ли задача разрешима, сколько решений допускается (одно или несколько). Необходимо рассмотреть всевозможные частные случаи, причем нужно выяснить, меняется ли ход решения в них и как именно.

      Основные построения с помощью циркуля и линейки.

      Для выполнения основных построений с помощью циркуля и линейки используется метод решения, при котором искомую точку строят как точку пересечения множеств (геометрических мест), определяемых некоторыми условиями. Данный метод так и называется – метод пересечения множеств или метод геометрических мест. С помощью этих инструментов мы можем выполнить огромное множество построений. Какие простейшие построения являются стандартными? Авторы учебников [1], [6] к основным построениям в 7 классе относят:

      построить отрезок, равный данному отрезку; построить середину отрезка.

      построить перпендикуляр к прямой, построить серединный перпендикуляр.

      построить угол, равный данному углу; построить биссектрису угла.

      построить треугольник (по трём сторонам, по двум сторонам и углу между ними, по стороне и двум прилежащим к ней углам, по двум сторонам и углу, противолежащему одной из сторон).

      построить прямоугольный треугольник (по гипотенузе и катету, по гипотенузе и острому углу).

      построить прямую, проходящую через данную точку параллельно данной прямой

      К стандартным построениям 7 класса добавим:

      1. Построение отрезков , , . Изобразим луч ОС и отрезки а и b (а > b ). Затем циркулем построим окружность радиуса а с центром О (Приложение 1, рис. 1.1). Эта окружность пересечет луч ОС в некоторой точке К, затем циркулем построим окружность радиуса b с центром К и получим точку пересечения Р на продолжении луча ОС и точку Н на отрезке ОК. При этом ОР= ОК + КР = а + b , ОН= ОК – КН = а – b . Изобразим луч ОС и отрезок АВ = а. Затем циркулем построим окружность радиуса АВ с центром О. Эта окружность пересечет луч ОС в некоторой точке А1. На продолжении луча ОС от точки А1 построим окружность радиуса АВ с центром А1 – получим точку А2 (при этом ОА2 = 2АВ). Построение будем продолжать до тех пор, пока ОА n = n а. (Приложение 1, рис. 1.2).

      2. Построение углов , . Циркулем и линейкой строим МОК=. Строим КОР= так, чтобы луч ОР проходил внутри МОК, и ЕОК= так, чтобы луч ОЕ проходил вне МОК. При этом получаем: МОЕ= , МОР= (Приложение 1, рис. 2).

      3. Построение угла в n раз больше данного угла. Построение угла в n раз больше данного угла сводится к построению n раз угла, равному данному. Например: чтобы построить MON в 3 раза больше заданного угла АВС, необходимо построить МОК= АВС. Затем построить КОР= АВС, потом РО N = АВС. При этом получим MON =МОК +КОР +РО N = 3АВС.

      4. Трисекция угла. Искусство построения геометрических фигур при помощи циркуля и линейки было в высокой степени развито в Древней Греции. Знаменитой была в древности задача о трисекции угла (о разделении угла на три равные части с помощью циркуля и линейки). Любой угол невозможно разделить на три равных части с помощью только циркуля и линейки. Попытки решения задачи с помощью инструментов и средств были предприняты еще в V в. до н.э. Французский математик П. Ванцель в 1837г. первым строго доказал, что невозможно осуществить трисекцию циркулем и линейкой. Задача о трисекции угла оказывается разрешимой и при некоторых других частных значениях угла: 90 0 , 45 0 , 135 0 (приложение 2). Деление прямого угла на три равные части умели производить ещё пифагорейцы, основываясь на том, что в равностороннем треугольнике каждый угол равен 60 о .

      5. Деление данного угла на равных углов. Построение биссектрисы угла позволяет разделить любой угол на 2, 4, 8, … 2 n равных углов. В каждом случае задача сводится к построению биссектрис полученных углов, что выполнимо всегда циркулем и линейкой. Например, разделить угол АВС на 4 равных угла. Строим биссектрису ВК АВС, получаем АВК= СВК=АВС:2. Строим биссектрисы ВР и ВМ углов АВК и CDR соответственно. Получаем: АВР=РВК= МВК= СВМ= АВК:2= АВС:4.

      Возникает вопрос: Можно ли разделить произвольный угол на 5, 7, 11, … равных углов? Данная задача оказывается разрешимой при некоторых частных значениях угла. Например: циркулем и линейкой можно выполнить следующие построения (при условии, что заданные углы уже построены и их величина известна):

      Задача 1: Построить углы, равные 66 0 : 11=6 0 , 50 0 : 5=10 0 . Для решения этих задач воспользуемся углом 60 0 – равносторонним треугольником. В первой задаче получаем 66 0 –60 0 = 6 0 , строим дважды по углу 6 0 (60 0 –6 0 –6 0 = 48 0 ), затем делим угол 48 0 на равных углов (т.е. проводим биссектрисы). Рассуждая также, получаем во второй задаче 1) 60 0 –50 0 = 10 0 , 2) 50 0 –10 0 = 40 0 , 3) 40 0 : 4=10 0 ;

      Задача 2: Построить угол 53 0 , если построен угол 104 0 . При решении используем построения прямого угла, биссектрисы угла и угла 60 0 . Построение: 1) 104 0 –90 0 =14 0 , 2) 14 0 : 2 = 7 0 , 3) строим 60 0 и 60 0 –7 0 =53 0 .

      Вывод: рассматривая построения 4 и 5, задачи 1 и 2 всегда можно построить:

      1) прямой угол, углы: 60 0 , 30 0 , 45 0 , 15 0 .

      2) можно разделить некоторые заданные углы на данное количество равных углов или построить угол необходимой величины.

      3) задачи 1, 2 или подобные им можно использовать на кружках, в олимпиадах или во внеклассных мероприятиях.

      3. Задачи на построение циркулем и линейкой.

      Анализ олимпиадных заданий для 7 класса, проводимых в городе Тольятти, и, предложенных для подготовки к олимпиадам в различных источниках, показал, что задачи на построение среди них отсутствуют. Предлагаю задачи, которые могут быть использованы для подготовки к олимпиаде по математике или для проведения олимпиад в 7 классе, так как дадут возможность ученикам показать не только свои знания геометрического материала, но и умение анализировать, логически мыслить и проявлять изобретательность в решении задач.

      Задача 1: Постройте прямоугольный треугольник по гипотенузе и углу между ней и проведенной к ней медианой. Сначала рассмотрим задачу: На отрезке AB как на диаметре построена окружность. Докажите, что из всех точек окружности, отличных от A и B, отрезок AB виден под прямым углом.

      Решение: АОС и ВОС – равнобедренные, т.к. радиусы ОА=ОВ=ОС. АОС и СОВ смежные углы, тогда СОВ = 180 0 — АОС. По свойству углов равнобедренного треугольника и по теореме о сумме углов треугольника получаем: САО= АСО= (180 0 –АОС): 2= 90 0 – АОС :2, ОВС= ОСВ= (180 0 – СОВ) : 2 = (180 0 – (180 0 – АОС)) : 2 = АОС : 2. АСВ = АСО + ОСВ =90 0 – АОС: 2 + АОС: 2 = 90 0 . Вернемся к решению задачи.

      Анализ: Пусть АВС (ВАС = 90 0 , ВС = а, АК – медиана, АКС =) – искомый. Точки А, В, С лежат на окружности с центром в К радиуса ВК, т.к. ВАС = 90 0 опирается на диаметр ВС (доказано в предыдущей задаче).

      Построение: Строим ВС = а, К – середину ВС. Строим МКС = АКС = . Строим А – точку пересечения луча КМ и окружности с центром в К радиуса ВК.

      Доказательство: Пусть АВС– искомый, т.к. ВС = а , ВК=КС (по построению), ВАС = 90 0 (опирается на диаметр окружности), АК – медиана, АКС =.

      Исследование: Решение сводится к построению отрезка, равного данному, середины отрезка и угла, равного данному. Данные построения выполнимы всегда.

      Задача 2: Дан угол и точка внутри него. Постройте отрезок с концами на сторонах угла и серединой в этой точке.

      Анализ: Дан ЕАР и точка М внутри угла. Пусть ВС искомый отрезок, удовлетворяющий условиям задачи: ВМ=МС, ВАЕ, САР. Проведем АМ, откладываем на его продолжении отрезок МК=АМ. АМВ = КМС (по I признаку). У них: ВМА= КМС (вертикальные), АМ=МК, ВМ=МС. Следовательно, ВАМ= МКС. Значит, построение ВС сводится к построению точки С на АР, т.е. к построению АК=2АМ и МКС=ВАМ.

      Построение: Проводим луч АМ, откладываем на его продолжении МК=АМ. Строим МКС= ЕАК. Получаем С на стороне АР ЕАР. Проводим луч СМ, получаем В на луче АЕ. Отрезок ВС – искомый.

      Доказательство: При построении получаем АМВ = КМС (по II признаку). У них: ВМА= КМС (вертикальные), АМ=МК (по построению), ВАМ= МКС (по построению). Следовательно, ВМ=МС. Получаем ВС – искомый отрезок.

      Исследование: Построение выполнимо всегда, т.к. сводится к построению отрезка, равного данному, и угла, равного данному.

      Задача 3. Дана прямая, на которой лежит биссектриса угла A треугольника ABC. По разные стороны от этой прямой даны две точки – основания: а) медиан; б) высот, проведенных из вершин B и C. Восстановите треугольник ABC.

      Анализ: Пусть АВС (луч АО – биссектриса А, медианы С N , ВМ) – искомый. Проведу ММ1||АО и NN 1||АО. АКМ= АКМ1 (АР N = АР N 1) (по II признаку). У них: 1) АК (АР) – общая, 2) АКМ= АКМ1=90 0 (АР N = АР N 1=90 0 ), 3) КАМ= КАМ1 – АО биссектриса А. Получаю, что точки М, М1 лежат на АС, N , N 1 лежат на АВ и находятся на одном расстоянии от АО. Аналогично, если точки N , М – основания высот.

      Построение: Строю МКАО и N РАО. Откладываю КМ1=КМ и Р N 1=Р N . Провожу прямые М N 1 и N М1, получаю А на пересечении АО, М N 1 и N М1. а) Откладываю МС=АМ и N В=А N . б) Строю МВАМ (В – точка пересечения МВ и АВ), N С N А (С – точка пересечения N В и АМ). Провожу ВС. АВС построен.

      Доказательство: В обоих случаях мы получаем: точки М и М1 лежат на АС, N и N 1 лежат на АВ. АКМ= АКМ1 (по I признаку). У них: 1) АК – общая, 2) АКМ= АКМ1=90 0 , 3) КМ= КМ1 – по построению.КАМ= КАМ1 АО биссектриса А. а) точки N , М – основания медиан, т.к. по построению МС=АМ и N В=А N . б) точки N , М – основания высот, т.к. по построению МВАМ, N С N А.

      Исследование: задача не имеет решения, если точки N , М находятся на одном расстоянии от АО. При этом М N 1|| AO , N М1|| AO М N 1|| N М1точку А построить невозможно.

      В следующих задачах приведем только анализ или/и построение.

      Задача 4: Постройте треугольник по трем медианам.

      Анализ: Пусть АВС (медианы С N = р, ВМ = n , АК = m ) – искомый. Строим А CP = АВС: АР=ВС, РС=АВ, ОС=АК= m . Проводим N О. NO – средняя линия ABP NO = ВР:2= ВМ (по свойству средней линии треугольника). Получаем NOC : С N = р, NO = n , ОС = m . На луче ON отложим NS = NO . Т.к. В NS = А NO по I признаку. У них: В NS = А NO как вертикальные, NS = NO по построению, А N = N В ( N С – медиана). Значит, S В= ВК= КС= С S :3.

      Построение: Строим NOC : С N = р, NO = n , ОС = m . На луче ON отложим NS = NO . Проводим С S , строим точку В: . Проводим луч В N , откладываем А N = В N . АВС – искомый.

      Задача 5. Построить прямоугольный треугольник по гипотенузе с и сумме катетов .

      Анализ: Пусть АВС (А=90 0 ) построен. На луче ВА отложим отрезок AD = AC . Получим А D С – равнобедренный, в котором (свойство внешнего угла треугольника). Задача сводится к построению ВС D по двум сторонам BD = b + c , ВС = а и D =45 0 . Чтобы получить точку А, достаточно провести СА D В.

      Задача 6. Постройте треугольник по данной стороне, углу, к ней прилежащему, и сумме двух других сторон.

      Анализ: Пусть АВС – искомый. На продолжении ВА отложу AD = CA . Соединю C и D . В CBD имею: BD = b + c , BC = a , С BD = B . CBD можно построить по двум сторонам и углу между ними. CAD – равнобедренный: АН – высота, медиана. Проведя серединный перпендикуляр АН CD , определю вершину А.

      Задача 7. Постройте треугольник по двум углам и периметру.

      Анализ: ПустьАВС – искомый. На продолжении стороны АВ в обоих направлениях отложу отрезки DA = АС и ВЕ = СВ и соединю D с С и Е с С, получу DCE , в котором DE = Р. Треугольники DAC и ВЕС – равнобедренные, и АК DC , где DK = KC и BF FE , что позволит определить вершины А и В. , (свойство внешнего угла треугольника). Задача сводится к построению DCE по стороне DE =Р и D , E .

      Атанасян Л.С. Геометрия 7-9. М.: Просвещение, 2005. — 335 с.

      Гусев В.А., Медяник А.И. Дидактические материалы по геометрии для 7 класса. М.: Просвещение, 1991. – 80с.

      Далингер В.А. Планиметрические задачи на построение. Омск: Изд-во ОГПИ, 1999. — 78 с.

      Ильина Н.И. Геометрические построения на плоскости. М.: Школа — пресс, 1997. — 172 с.

      Манин И.Ю. О разрешимости задач на построение с помощью циркуля и линейки // Энциклопедия элементарной математики. М.: Физматгиз, 1963. Т. 4: Геометрия. С. 205-227.

      Олимпиадные задания по математике. 5–8класс/авт.-сост. С.П. Ковалева.–Волгоград: Учитель, 2007.–88с.

      Погорелов А.В. Геометрия, 7–11. М.: Просвещение, 1992

      Прасолов В.В. Три классические задачи на построение. М.: Наука, 1992. 80 с.

      Энциклопедия для детей. Т. 11. Математика/Ред. коллегия: М.Аксенова, В.Володин и др. – М.: Аванта+, 2005.

      Коренева В.Е. Решение задач на построение методом спрямления. Математика в школе.1995г. №5

      Клименченко С.В., Цикунова Т.Д. Задачи на построение треугольников по некоторым данным точкам. Математика в школе. 1990г. №1

      Белошистая А.В. Задачи на построение в школьном курсе геометрии. Математика в школе. 2002г. №9

      Читайте так же:

      • Как научиться терпеть жизнь Как научиться терпению: 7 мыслей, выбранных из последних 500 лет Изображение от jimharmer (разрешение). Если человек хочет развиваться и расти над собой, то, в таком […]
      • Как научиться делать мужу массаж Как сделать мужчине массаж: пошаговый видеоурок от массажиста Лучший способ превратить твоего милого в ласкового котика — сделать ему массаж. Поэтому мы попросили массажиста рассказать и […]
      • Как научиться решать линейные уравнения 7 класс Решение линейных уравнений 7 класс Для решения линейных уравнений используют два основных правила (свойства). Свойство № 1или правило переноса При переносе из одной части уравнения в […]
      • Как научиться решать задачи 1 класс Решение и оформление простых задач в 1 классе Простые задачи на нахождение суммы 1. Ира прочитала 6 книг, а Петя 3 книги. Сколько всего книг прочитали дети? 2. В вазе лежало 5 груш, […]
      • Как научиться запоминать больше Запомнить все: 7 техник запоминания, которые прокачают вашу память Сегодня вы прочитали интересную статью, а через неделю уже не помните, о чём в ней шла речь — знакомо? Если да, то для […]
      • Как научиться продавать продукты Связаться с Нами +7 (499) 403-33-06 Что такое продажа? Как научиться продавать? Поменять свое мышление по поводу продаж! Чем бы вы ни занимались, где бы вы ни работали навык продавать, […]

Leave a Reply

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *