Как научиться сокращать

Сокращение дробей, правило и примеры сокращения дробей.

В этой статье мы подробно разберем, как проводится сокращение дробей. Сначала обговорим, что называют сокращением дроби. После этого поговорим о приведении сократимой дроби к несократимому виду. Дальше получим правило сокращения дробей и, наконец, рассмотрим примеры применения этого правила.

Навигация по странице.

Что значит сократить дробь?

Мы знаем, что обыкновенные дроби подразделяются на сократимые и несократимые дроби. По названиям можно догадаться, что сократимые дроби можно сократить, а несократимые – нельзя.

Что же значит сократить дробь? Сократить дробь – это значит разделить ее числитель и знаменатель на их положительный и отличный от единицы общий делитель. Понятно, что в результате сокращения дроби получается новая дробь с меньшим числителем и знаменателем, причем, в силу основного свойства дроби, полученная дробь равна исходной.

Для примера, проведем сокращение обыкновенной дроби 8/24 , разделив ее числитель и знаменатель на 2 . Иными словами, сократим дробь 8/24 на 2 . Так как 8:2=4 и 24:2=12 , то в результате такого сокращения получается дробь 4/12 , которая равна исходной дроби 8/24 (смотрите равные и неравные дроби). В итоге имеем .

Приведение обыкновенных дробей к несократимому виду

Обычно конечной целью сокращения дроби является получение несократимой дроби, которая равна исходной сократимой дроби. Эта цель может быть достигнута, если провести сокращение исходной сократимой дроби на наибольший общий делитель ее числителя и знаменателя. В результате такого сокращения всегда получается несократимая дробь. Действительно, дробь является несократимой, так как из свойств НОД известно, что и — взаимно простые числа. Здесь же скажем, что наибольший общий делитель числителя и знаменателя дроби является наибольшим числом, на которое можно сократить эту дробь.

Итак, приведение обыкновенной дроби к несократимому виду заключается в делении числителя и знаменателя исходной сократимой дроби на их НОД.

Разберем пример, для чего вернемся к дроби 8/24 и сократим ее на наибольший общий делитель чисел 8 и 24 , который равен 8 . Так как 8:8=1 и 24:8=3 , то мы приходим к несократимой дроби 1/3 . Итак, .

Заметим, что под фразой «сократите дробь» часто подразумевают приведение исходной дроби именно к несократимому виду. Другими словами, сокращением дроби очень часто называют деление числителя и знаменателя на их наибольший общий делитель (а не на любой их общий делитель).

Как сократить дробь? Правило и примеры сокращения дробей

Осталось лишь разобрать правило сокращения дробей, которое и объясняет, как сократить данную дробь.

Правило сокращения дробей состоит из двух шагов:

  • во-первых, находится НОД числителя и знаменателя дроби;
  • во-вторых, проводится деление числителя и знаменателя дроби на их НОД, что дает несократимую дробь, равную исходной.
  • Разберем пример сокращения дроби по озвученному правилу.

    Как сокращать дроби

    Чтобы понять, как сокращать дроби, сначала рассмотрим один пример.

    Сократить дробь — значит, разделить числитель и знаменатель на одно и то же натуральное число. И 360, и 420 оканчиваются на четную цифру, поэтому можем сократить эту дробь на 2. В новой дроби и 180, и 210 тоже делятся на 2, сокращаем и эту дробь на 2. В числах 90 и 105 сумма цифр делится на 3, поэтому оба эти числа делятся на 3, сокращаем дробь на 3. В новой дроби 30 и 35 оканчиваются на 0 и 5, значит, оба числа делятся на 5, поэтому сокращаем дробь на 5. Получившаяся дробь шесть седьмых — несократимая. Это — окончательный ответ.

    К этому же ответу можем прийти другим путем.

    И 360, и 420 оканчиваются нулем, значит, они делятся на 10. Сокращаем дробь на 10. В новой дроби и числитель 36, и знаменатель 42 делятся на 2. Сокращаем дробь на 2. В следующей дроби и числитель 18, и знаменатель 21 делятся на 3, значит, сокращаем дробь на 3. Пришли к результату — шесть седьмых.

    И еще один вариант решения.

    Сначала сокращаем дробь на 10, поскольку запись числителя и знаменателя оканчиваются на нуль. Затем новую дробь сокращаем на 6. В результате приходим все к тому же ответу — шесть седьмых — но уже гораздо быстрее.

    Как сокращать дроби удобнее? Разумеется, так, чтобы как можно быстрее получить окончательный ответ — несократимую дробь. Как научиться сокращать дроби таким образом? В этом нам поможет следующий план решения.

    Чтобы сократить дробь:

    1) Проверяем, а не делится ли бо?льшее число на меньшее (числитель на знаменатель или знаменатель на числитель). Если делится, то дробь сокращаем на меньшее из чисел.

    2) Если и числитель, и знаменатель оканчиваются на нуль, можно сократить дробь на 10; если и числитель, и знаменатель оканчиваются двумя нулями — на 100 и т.д.

    3) При сокращении дробей удобно использовать таблицу умножения. Если и числитель, и знаменатель есть в одной колонке (то есть делятся на одно и то же число), то сокращаем дробь на это число. При этом, если числитель и знаменатель присутствуют в двух или трех колонках, выбираем из чисел, на которые можно сократить, наибольшее.

    В следующий раз рассмотрим примеры сокращения дробей.

    Алгебраические дроби. Сокращение алгебраических дробей

    Прежде чем перейти к изучению алгебраических дробей рекомендуем вспомнить, как работать с обыкновенными дробями.

    Любая дробь, в которой есть буквенный множитель, называется алгебраической дробью.

    Примеры алгебраических дробей.

    a
    2

    ;

    a ? b
    a + b

    ;

    2x
    3

    ;

    m + n
    n

    ;

    7(x + 1)
    3

    Как и у обыкновенной дроби, в алгебраической дроби есть числитель (наверху) и знаменатель (внизу).

    Сокращение алгебраической дроби

    Алгебраическую дробь можно сокращать. При сокращении пользуются правилами сокращения обыкновенных дробей.

    Напоминаем, что при сокращении обыкновенной дроби мы делили и числитель, и знаменатель на одно и тоже число.

    Алгебраическую дробь сокращают таким же образом, но только числитель и знаменатель делят на один и тот же многочлен.

    Рассмотрим пример сокращения алгебраической дроби.

    Определим наименьшую степень, в которой стоит одночлен « a » . Наименьшая степень для одночлена « a » находится в знаменателе — это вторая степень.

    Разделим, и числитель, и знаменатель на « a 2 ». При делении одночленов используем свойство степени частного.

    Напоминаем, что любая буква или число в нулевой степени — это единица.

    Нет необходимости каждый раз подробно записывать, на что сокращали алгебраическую дробь. Достаточно держать в уме степень, на которую сокращали, и записывать только результат.

    Краткая запись сокращения алгебраической дроби выглядит следующим образом.

    Сокращать можно только одинаковые буквенные множители.

    Нельзя сокращать

    Можно сокращать

    Другие примеры сокращения алгебраических дробей.

    Как сократить дробь с многочленами

    Рассмотрим другой пример алгебраической дроби. Требуется сократить алгебраическую дробь, у которой в числителе стоит многочлен.

    Сокращать многочлен в скобках можно только с точно таким же многочленом в скобках!

    Ни в коем случае нельзя сокращать часть многочлена внутри скобок!

    Неправильно

    Правильно

    Определить, где заканчивается многочлен, очень просто. Между многочленами может быть только знак умножения. Весь многочлен находится внутри скобок.

    После того, как мы определили многочлены алгебраической дроби, сократим многочлен « (m ? n) » в числителе с многочленом « (m ? n) » в знаменателе.

    Примеры сокращения алгебраических дробей с многочленами.

    Вынесение общего множителя при сокращении дробей

    Чтобы в алгебраических дробях появились одинаковые многочлены иногда нужно вынести общий множитель за скобки.

    В таком виде сократить алгебраическую дробь нельзя, так как многочлен
    « (3f + k) » можно сократить только со многочленом « (3f + k) ».

    Поэтому, чтобы в числителе получить « (3f + k) », вынесем общий множитель « 5 ».

    Сокращение дробей с помощью формул сокращенного умножения

    В других примерах для сокращения алгебраических дробей требуется
    применение формул сокращенного умножения.

    В первоначальном виде сократить алгебраическую дробь нельзя, так как нет одинаковых многочленов.

    Но если применить формулу разности квадратов для многочлена « (a 2 ? b 2 ) », то одинаковые многочлены появятся.

    Другие примеры сокращения алгебраических дробей с помощью формул сокращенного умножения.

    Сокращение дробей

    С помощью дробей одну и ту же часть целого предмета можно записать разными способами.

    На рисунке закрашена половина круга

    1
    2

    . Если этот же круг разделить на 4 части, то эту же половину круга можно представить как

    2
    4

    .
    Если этот же круг разделить на 8 частей, то эту же половину круга можно представить как

    4
    8

    .

    Таким образом, все эти дроби равны.

    Дробь

    2
    4

    мы получили из дроби

    1
    2

    , умножив её числитель и знаменатель на 2 . А чтобы получить

    4
    8

    , мы числитель и знаменатель

    1
    2

    умножили на 4 .

    Для удобства дополнительный множитель записывают на наклонной черте справа над дробью .

    Вернёмся ещё раз к нашим дробям и запишем их в другом порядке.

    Дробь, равную данной, можно получить, если числитель и знаменатель дроби одновременно разделить на одно и то же число, не равное нулю.

    Такое преобразование дроби называют сокращением дроби.

    Сокращение дроби обычно записывают следующим образом.

    Числитель и знаменатель зачёркиваются чёрточками, и рядом с ними записываются результаты деления (частные) числителя и знаменателя на одно и то же число.

    Число, на которое делили числитель и знаменатель, держим в уме.

    В нашем примере мы сокращали (то есть делили и числитель, и знаменатель) дробь на двойку, которую держали в уме.

    Сокращение дроби можно проводить последовательно.

    Основное свойство дроби

    Сформулируем основное свойство дроби.

    Если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же число, не равное нулю, то получится дробь, равная данной.

    Запишем это свойство в виде буквенных выражений.

    , где « a », « b » и « k » — натуральные числа.

    Сокращение дробей: правила и примеры

    Разберемся в том, что такое сокращение дробей, зачем и как сокращать дроби, приведем правило сокращения дробей и примеры его использования.

    Что такое «сокращение дробей»

    Сократить дробь — значит разделить ее числитель и знаменатель на общий делитель, положительный и отличный от единицы.

    В результате такого действия получится дробь с новым числителем и знаменателем, равная исходной дроби.

    К примеру, возьмем обыкновенную дробь 6 24 и сократим ее. Разделим числитель и знаменатель на 2 , в результате чего получим 6 24 = 6 ? 2 24 ? 2 = 3 12 . В этом примере мы сократили исходную дробь на 2 .

    Приведение дробей к несократимому виду

    В предыдущем примере мы сократили дробь 6 24 на 2 , в результате чего получили дробь 3 12 . Нетрудно заметить, что эту дробь можно сократить еще. Как правило, целью сокращения дробей является получение в итоге несократимой дроби. Как привести дробь к несократимому виду?

    Это можно сделать, если сократить числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель (НОД). Тогда, по свойству наибольшего общего делителя, в числителе и в знаменателе будут взаимно простые числа, и дробь окажется несократимой.

    a b = a ? Н О Д ( a , b ) b ? Н О Д ( a , b )

    Приведение дроби к несократимому виду

    Чтобы привести дробь к несократимому виду нужно ее числитель и знаменатель разделить на их НОД.

    Вернемся к дроби 6 24 из первого примера и приведем ее к несократимому виду. Наибольший общий делитель чисел 6 и 24 равен 6 . Сократим дробь:

    6 24 = 6 ? 6 24 ? 6 = 1 4

    Сокращение дробей удобно применять, чтобы не работать с большими цифрами. Вообще, в математике существует негласное правило: если можно упростить какое-либо выражение, то нужно это делать. Под сокращением дроби чаще всего подразумевают ее приведение к несократимому виду, а не просто сокращение на общий делитель числителя и знаменателя.

    Правило сокращения дробей

    Чтобы сокращать дроби достаточно запомнить правило, которое состоит из двух шагов.

    Правило сокращения дробей

    Чтобы сократить дробь нужно:

    1. Найти НОД числителя и знаменателя.
    2. Разделить числитель и знаменатель на их НОД.

    Рассмотрим практические примеры.

    Пример 1. Сократим дробь.

    Дана дробь 182 195 . Сократим ее.

    Найдем НОД числителя и знаменателя. Для этого в данном случае удобнее всего воспользоваться алгоритмом Евклида.

    195 = 182 · 1 + 13 182 = 13 · 14 Н О Д ( 182 , 195 ) = 13

    Разделим числитель и знаменатель на 13 . Получим:

    182 195 = 182 ? 13 195 ? 13 = 14 15

    Готово. Мы получили несократимую дробь, которая равна исходной дроби.

    Как еще можно сокращать дроби? В некоторых случаях удобно разложить числитель и знаменатель на простые множители, а потом из верхней и нижней частей дроби убрать все общие множители.

    Пример 2. Сократим дробь

    Дана дробь 360 2940 . Сократим ее.

    Для этого представим исходную дробь в виде:

    360 2940 = 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 5 2 · 2 · 3 · 5 · 7 · 7

    Избавимся от общих множителей в числителе и знаменателе, в результате чего получим:

    360 2940 = 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 5 2 · 2 · 3 · 5 · 7 · 7 = 2 · 3 7 · 7 = 6 49

    Наконец, рассмотрим еще один способ сокращения дробей. Это так называемое последовательное сокращение. С использованием этого способа сокращение производится в несколько этапов, на каждом из которых дробь сокращается на какой-то очевидный общий делитель.

    Пример 3. Сократим дробь

    Сократим дробь 2000 4400 .

    Сразу видно, что числитель и знаменатель имеют общий множитель 100 . Сокращаем дробь на 100 и получаем:

    2000 4400 = 2000 ? 100 4400 ? 100 = 20 44

    Далее замечаем, что числитель и знаменатель дроби 20 44 делятся на 2 . Сокращаем и приходим к виду:

    20 44 = 20 ? 2 44 ? 2 = 10 22

    Получившийся результат снова сокращаем на 2 и получаем уже несократимую дробь:

    Как научиться сокращать и расслаблять мышцы промежности?

      Валентина Городенская 9 месяцев назад Просмотров:

    1 Беременность и роды являются основным фактором развития опущения и выпадения органов малого таза. Что это за патология? Матка, мочевой пузырь, прямая кишка опускаются под воздействием притяжения земли и внутрибрюшного давления. Причина травмированный во время родов связочный аппарат таза. Представьте, что органы в тазу подвешены как в гамаке. Веревки, на которых держится гамак, это связки таза. Теперь представьте, что эти веревки растянулись или порвались. Опущение органов малого таза занимает третье место в структуре гинекологической заболеваемости. 15% всех гинекологических операций производится по поводу этой патологии. Примерно одна из девяти женщин до 80 лет в настоящее время нуждается в операции. Задача гинеколога в сотрудничестве с пациентом во время и правильно проводить профилактику и лечение этого заболевания. Основными факторами риска являются: — беременность и роды через естественные родовые пути — хроническое повышение внутрибрюшного давления (запоры, хронический кашель, подъем тяжестей) — дисплазия соединительной ткани — курение — ожирение — малоподвижный образ жизни Роды через естественные половые пути это основной фактор риска. Во время родов происходит травма связочно-мышечного каркаса тазового дна. Связки и мышцы таза перерастягиваются, истончаются. Тренировка этих мышц после родов укрепляет связочно-мышечный аппарат таза и является эффективным методом профилактики опущения и выпадения органов малого таза. По данным исследований упражнения, о которых мы будем говорить, являются эффективными в 60% случаев в женщин до 40 лет. Как же тренировать мышцы промежности? В середине XX века американский гинеколог A. Кегель разработал комплекс упражнений для укрепления мышц и связок таза. Как научиться сокращать и расслаблять мышцы промежности? Как определить, какие мышцы сокращать и расслаблять? Постарайтесь сократить мышцы заднего прохода, как будто вы пытаетесь предотвратить выход газа. Расслабьте мышцы. Повторите это несколько раз пока не сфокусируетесь на нужной мышце. Старайтесь,

    2 чтобы ягодицы не участвовали в сокращении. Во время мочеиспускания остановите струю. Если получилось, значит вы заставили сократиться правильные мышцы. Развивайте технику упражнений. Опорожните пузырь и лягте на спину. В начале лучше выполнять упражнения лежа для хорошего их понимания, фокусировки на правильном сокращении «правильных» мышц. Заставьте мышцы промежности сократиться, сохраняйте их в таком состоянии 5 секунд. Дайте им отдохнуть 5 секунд. Для начала повторяйте упражнение 4-5 раз. Тренируйтесь чтобы достигнуть 10 секундного сокращения. Давайте мышцам отдохнуть между сокращениями промежуток времени равный времени сокращения. Старайтесь сфокусироваться на мышцах промежности. Чтобы достичь лучшего результата сокращайте только мышцы промежности. То есть не давайте другим мышцам (брюшного пресса, бедрам, ягодицам) участвовать в работе. Не задерживайте дыхание. Дышите нормально. Занимайтесь три раза в день. Постепенно увеличивайте количество подходов. Задача довести их количество до десяти. Не нужно выполнять упражнения при мочеиспускании. Это вредно. Может привести к неполному опорожнению мочевого пузыря, увеличивает риск мочевой инфекции. Когда выполнять упражнения Кегеля? Пусть эти упражнения сопутствуют повседневным делам. Их можно выполнять незаметно для окружающих. Например, сидя на рабочем месте или отдыхая в кресле, на диване. Постарайтесь приурочить выполнение упражнений к какому-то регулярному делу. Например, когда наносите макияж, разговариваете по телефону, едете на работу в метро или на машине, при готовке, глажке, когда принимаете душ, кормите грудью ребенка. Со временем постарайтесь сформировать привычку фиксировать (запирать) мышцы промежности каждый раз перед поднятием тяжести, кашлем или чиханием. Если у вас что-то не получается. Если у вас возникают трудности при выполнении упражнений не стесняйтесь обратиться к врачу. Он расскажет как правильно выполнять упражнения, как найти правильные мышцы, как сделать упражнения эффективными. Как долго выполнять упражнения Кегеля? Выполнять упражнения Кегеля должны все женщины после родов (кесарева сечения) независимо от наличия или отсутствия симптомов несостоятельности мышц промежности. Симптомы легкой формы несостоятельности мышц промежности, такие как недержание мочи или газов при сильном кашле или чихании, пройдут или уменьшатся через несколько месяцев регулярного выполнения упражнений. Упражнения Кегеля должны навсегда стать частью вашей повседневной жизни.

    3 В комлекс физкультуры мышц таза кроме упражнений Кегеля обязательно должен входить комплекс упражнений с влагалищными конусами. Влагалищные конусы это специальные грузики разного веса каплевидной формы, которые используюся в упражнениях для укрепления мышц и связок тазового дна (рис 1). рис 1 Упражнения с конусами. Данный комплекс направлен на укрепление мускулатуры брюшного пресса, промежности и мышц влагалища одновременно. Все упражнения следует выполнять с введенным во влагалище конусом. Во время упражнений конус, под воздействием внутрибрюшного давления, стремится выскользнуть. Женщина сознательно (путем напряжения мышц промежности) и непроизвольно (сокращение гладкой мускулатуры влагалища) удерживает конус во влагалище. Такую тренировку необходимо проводить ежедневно. Количество повторений каждого упражнения раз. С опытом число повторений можно увеличить до 30. Упражнение 1.

    4 Ложимся на спину. Руки вдоль тела, ладони вниз. Поясница прижата к полу. Поднимите прямые ноги до вертикального положения, опустите ноги в исходное положение. Упражнение 2. Ложимся на спину. Руки вдоль тела, ладони вниз. Поясница прижата к полу. Согните ноги в коленях, как показано на рисунке. Подтяните, согнутые в коленях ноги к груди. Верните ноги в исходное положение. Упражнения 3. Примите исходное положение, как в упражнении 2. Выполняйте такие же движения ногами, как в упражнении 2 попеременно. Упражнение 4. Примите исходное положение, как в упражнении 2, поднимите таз как можно выше, опираясь на стопы и верхнюю часть спины. Медленно опустите таз. Не касаясь пола, приступите к повторению. Упражнение 5. Встаньте на колени, обопритесь на ладони. Делайте махи ногами поочередно, как показано на рисунке. Согнутое колено прижимаем к груди. Упражнение 6 (велосипед).

    5 Примите исходное положение, как в упражнении 2. Напрягая мышцы брюшного пресса, медленно подтягиваем левое колено к груди. Теперь выпрямляете левую ногу и одновременно подтягиваете к груди правое колено. Последовательное притягивание коленей к груди будет считаться одним повторением. Этим упражнением вы имитируете движение ног, как при езде на велосипеде. Упражнение 7 Для выполнения этого упражнения вам понадобится низкая (около20 см) платформа или ступенька. Делаем шаг на платформу правой ногой, приставляем к ней левую, затем спускаемся, вначале правой, а затем левой ногой. Упражнения 8 (пингвин несет яйцо) Нужно шагать по комнате (20-30 шагов) с зажатым между бедрами мячом. Комбинация комлексов Кегеля и с конусами является эффективным методом профилактики и лечения опущения органов малого таза.

    Преобразование выражений. Подробная теория (2020)

    Хочешь подготовиться к ОГЭ или ЕГЭ по математике на отлично?

    Хочешь проверить свои силы и узнать результат насколько ты готов к ЕГЭ или ОГЭ?

    Важное замечание!
    Если вместо формул ты видишь абракадабру, почисти кэш. Как это сделать в твоем браузере написано здесь: «Как почистить кэш браузера».

    Часто мы слышим эту неприятную фразу: «упростите выражение». Обычно при этом перед нами какое-то страшилище типа этого:

    «Да куда уж проще» – говорим мы, но такой ответ обычно не прокатывает.

    Сейчас я научу тебя не бояться никаких подобных задач.

    Более того, в конце занятия ты сам упростишь этот пример до (всего лишь!) обычного числа (да-да, к черту эти буквы).

    Но прежде чем приступить к этому занятию, тебе необходимо уметь обращаться с дробями и раскладывать многочлены на множители.

    Поэтому, если ты этого не сделал раньше, обязательно освой темы «Дроби, рациональные числа» и «Разложение на множители».

    Прочитал? Если да, то теперь ты готов.

    Let’s go! (Поехали!)

    Базовые операции упрощения выражений

    Сейчас разберем основные приемы, которые используются при упрощении выражений.

    Самый простой из них – это

    1. Приведение подобных

    Что такое подобные? Ты проходил это в 7 классе, как только впервые в математике появились буквы вместо чисел.

    Подобные – это слагаемые (одночлены) с одинаковой буквенной частью.

    Например, в сумме подобные слагаемые – это и .

    Привести подобные – значит сложить несколько подобных слагаемых друг с другом и получить одно слагаемое.

    А как же нам сложить друг с другом буквы? – спросишь ты.

    Это очень легко понять, если представить, что буквы – это какие-то предметы.

    Например, буква – это стул. Тогда чему равно выражение ?

    Два стула плюс три стула, сколько будет? Правильно, стульев: .

    А теперь попробуй такое выражение: .

    Чтобы не запутаться, пусть разные буквы обозначают разны предметы.

    Например, – это (как обычно) стул, а – это стол.

    стула стола стул столов стульев стульев столов

    Числа, на которые умножаются буквы в таких слагаемых называются коэффициентами.

    Например, в одночлене коэффициент равен . А в он равен .

    Итак, правило приведения подобных:

    Чтобы сложить (привести) подобные слагаемые, надо сложить их коэффициенты и приписать буквенную часть.

    Примеры:

    Ответы:

    2. ( и подобны, так как , следовательно у этих слагаемых одинаковая буквенная часть).

    2. Разложение на множители

    Это обычно самая важная часть в упрощении выражений.

    После того как ты привел подобные, чаще всего полученное выражение нужно разложить на множители, то есть представить в виде произведения.

    Особенно это важно в дробях: ведь чтобы можно было сократить дробь, числитель и знаменатель должны быть представлены в виде произведения.

    Подробно способы разложения выражений на множители ты проходил в теме «Разложение на множители», поэтому здесь тебе остается только вспомнить выученное.

    Для этого реши несколько примеров (нужно разложить на множители)

    Примеры:

    Решения:

    3. Сокращение дроби.

    Ну что может быть приятнее, чем зачеркнуть часть числителя и знаменателя, и выбросить их из своей жизни?

    В этом вся прелесть сокращения.

    Если числитель и знаменатель содержат одинаковые множители, их можно сократить, то есть убрать из дроби.

    Это правило вытекает из основного свойства дроби:

    То есть суть операции сокращения в том, что числитель и знаменатель дроби делим на одно и то же число (или на одно и то же выражение).

    Чтобы сократить дробь, нужно:

    1) числитель и знаменатель разложить на множители

    2) если в числителе и знаменателе есть общие множители, их можно вычеркнуть.

    Принцип, я думаю, понятен?

    Хочу обратить внимание на одну типичную ошибку при сокращении. Хоть эта тема и простая, но очень многие делают все неправильно, не понимая, что сократить – это значит поделить числитель и знаменатель на одно и то же число.

    Сокращать можно только множители.

    Никаких сокращений, если в числителе или знаменателе сумма.

    Например: надо упростить .

    Некоторые делают так: , что абсолютно неверно.

    Еще пример: сократить .

    «Самые умные» сделают так:

    Скажи мне, что здесь неверно? Казалось бы: – это множитель, значит можно сокращать.

    Но нет: – это множитель только одного слагаемого в числителе, но сам числитель в целом на множители не разложен.

    Вот другой пример: .

    – это выражение разложено на множители, значит, можно сократить, то есть поделить числитель и знаменатель на , а потом и на :

    Можно и сразу поделить на :

    Чтобы не допускать подобных ошибок, запомни легкий способ, как определить, разложено ли выражение на множители:

    Арифметическое действие, которое выполняется последним при подсчете значения выражения, является «главным».

    То есть, если ты подставишь вместо букв какие-нибудь (любые) числа, и попытаешься вычислить значение выражения, то если последним действием будет умножение – значит, у нас произведение (выражение разложено на множители).

    Если последним действием будет сложение или вычитание, это значит, что выражение не разложено на множители (а значит, сокращать нельзя).

    Для закрепления реши самостоятельно несколько примеров:

    Решения:

    4. Сложение и вычитание дробей. Приведение дробей к общему знаменателю.

    Сложение и вычитание обычных дробей – операция хорошо знакомая: ищем общий знаменатель, домножаем каждую дробь на недостающий множитель и складываем/вычитаем числители.

    Давай вспомним:

    1. Знаменатели и – взаимно простые, то есть у них нет общих множителей. Следовательно, НОК этих чисел равен их произведению. Это и будет общий знаменатель:

    2. Здесь общий знаменатель равен :

    3. Здесь первым делом смешанные дроби превращаем в неправильные, а дальше – по привычной схеме:

    Совсем другое дело, если дроби содержат буквы, например:

    Начнем с простого:

    a) Знаменатели не содержат букв

    Здесь все то же, что и с обычными числовыми дробями: находим общий знаменатель, домножаем каждую дробь на недостающий множитель и складываем/вычитаем числители:

    теперь в числителе можно приводить подобные, если есть, и раскладывать на множители:

    Попробуй сам:

    b) Знаменатели содержат буквы

    Давай вспомним принцип нахождения общего знаменателя без букв:

    · в первую очередь мы определяем общие множители;

    · затем выписываем все общие множители по одному разу;

    · и домножаем их на все остальные множители, не общие.

    Чтобы определить общие множители знаменателей, сперва разложим их на простые множители:

    Подчеркнем общие множители:

    Теперь выпишем общие множители по одному разу и допишем к ним все необщие (не подчеркнутые) множители:

    – это и есть общий знаменатель.

    Вернемся к буквам. Знаменатели приводятся по точно такой же схеме:

    · раскладываем знаменатели на множители;

    · определяем общие (одинаковые) множители;

    · выписываем все общие множители по одному разу;

    · домножаем их на все остальные множители, не общие.

    Итак, по порядку:

    1) раскладываем знаменатели на множители:

    2) определяем общие (одинаковые) множители:

    3) выписываем все общие множители по одному разу и домножаем их на все остальные (неподчеркнутые) множители:

    Значит, общий знаменатель здесь . Первую дробь нужно домножить на , вторую – на :

    Кстати, есть одна хитрость:

    Если в разных знаменателях есть один и тот же множитель в разной степени, то в общем знаменателе такой множитель будет в максимальной из этих степеней.

    Видим в знаменателях одни и те же множители, только все с разными показателями. В общий знаменатель пойдут:

    Как сделать у дробей одинаковый знаменатель?

    Если ты сейчас бросился вычитать в первой дроби из единицу, то ты очень и очень неправ!

    Давай вспомним основное свойство дроби:

    Числитель и знаменатель дроби можно умножать или делить на одно и то же ненулевое число, от чего величина дроби не изменяется.

    Нигде не сказано, что из числителя и знаменателя дроби можно вычитать (или прибавлять) одно и то же число. Потому что это неверно!

    Убедись сам: возьми любую дробь, например, , и прибавь к числителю и знаменателю какое-нибудь число, например, . Что поучилось?

    Итак, очередное незыблемое правило:

    Когда приводишь дроби к общему знаменателю, пользуйся только операцией умножения!

    Но на что же надо домножить , чтобы получить ?

    Вот на и домножай. А домножай на :

    Выражения, которые невозможно разложить на множители будем называть «элементарными множителями».

    Например, – это элементарный множитель. – тоже. А вот – нет: он раскладывается на множители .

    Это как в физике: элементарная частица – это неделимая частица, то есть она не состоит ни из каких других частиц. Например, молекула – это не элементарная частица, так как она состоит из нескольких атомов. Атом – тоже не элементарная, так как состоит из протонов, нейтронов и электронов. А вот эти протоны, нейтроны и электроны поделить нельзя. Значит, они – элементарные частицы.

    Что скажешь насчет выражения ? Оно элементарное?

    Нет, поскольку его можно разложить на множители:

    (о разложении на множители ты уже читал в теме «Разложение на множители»).

    Так вот, элементарные множители, на которые ты раскладываешь выражение с буквами – это аналог простых множителей, на которые ты раскладываешь числа. И поступать с ними будем таким же образом.

    Видим, что в обоих знаменателях есть множитель . Он пойдет в общий знаменатель в степени (помнишь, почему?).

    Множитель – элементарный, и он у них не общий, значит первую дробь на него придется просто домножить:

    Еще пример:

    Решение:

    Предже, чем в панике перемножать эти знаменатели, надо подумать, как их разложить на множители? Оба они представляют формулы сокращенного умножения:

    Еще пример:

    Как обычно, разложим знаменатели на множители. В первом знаменателе просто выносим за скобки ; во втором – разность квадратов:

    Казалось бы, общих множителей нет. Но если присмотреться, то и так похожи… И правда:

    То есть получилось так: внутри скобки мы поменяли местами слагаемые, и при этом знак перед дробью поменялся на противоположный. Возьми на заметку, так поступать придется часто.

    Теперь приводим к общему знаменателю:

    Усвоил? Сейчас проверим.

    Задачи для самостоятельного решения:

    5. Умножение и деление дробей.

    Ну что же, самое сложное теперь позади. А впереди у нас самое простое, но при этом самое важное:

    Порядок действий

    Какой порядок действий при подсчете числового выражения? Вспомни, посчитав значение такого выражения:

    Первым делом вычисляется степень.

    Вторым – умножение и деление. Если умножений и делений одновременно несколько, делать их можно в любом порядке.

    И напоследок выполняем сложение и вычитание. Опять же, в любом порядке.

    Но: выражение в скобках вычисляется вне очереди!

    Если несколько скобок умножаются или делятся друг на друга, вычисляем сначала выражение в каждой из скобок, а потом умножаем или дели их.

    А если внутри скобок есть еще одни скобки? Ну давай подумаем: внутри скобок написано какое-то выражение. А при вычислении выражения в первую очередь надо делать что? Правильно, вычислять скобки. Ну вот и разобрались: сначала вычисляем внутренние скобки, потом все остальное.

    Итак, порядок действий для выражения выше такой (красным выделено текущее дествие, то есть действие, которое выполняю прямо сейчас):

    Хорошо, это все просто.

    Но это ведь не то же самое, что выражение с буквами?

    Нет, это то же самое! Только вместо арифметических действий надо делать алгебраические, то есть действия, описанные в предыдущем разделе: приведение подобных, сложение дробей, сокращение дробей и так далее. Единственным отличием будет действие разложения многочленов на множители (его мы часто применяем при работе с дробями). Чаще всего для разложения на множители нужно применять формулы сокращенного умножения или просто выносить общий множитель за скобки.

    Обычно наша цель – представить выражение в виде произведения или частного.

    Например:

    1) Первым упрощаем выражение в скобках. Там у нас разность дробей, а наша цель – представить ее как произведение или частное. Значит, приводим дроби к общему знаменателю и складываем:

    Больше это выражение упростить невозможно, все множители здесь – элементарные (ты еще помнишь, что это значит?).

    Умножение дробей: что может быть проще.

    3) Теперь можно и сократить:

    Ну вот и все. Ничего сложного, правда?

    Сначала попробуй решить сам, и уж только потом посмотри решение.

    Перво-наперво определим порядок действий.

    Сначала выполним сложение дробей в скобках, получится вместо двух дробей одна.

    Потом выполним деление дробей. Ну и результат сложим с последней дробью.

    Схематически пронумерую действия:

    Напоследок дам тебе два полезных совета:

    1. Если есть подобные, их надо немедленно привести. В какой бы момент у нас ни образовались подобные, их желательно приводить сразу.

    2. То же самое касается сокращения дробей: как только появляется возможность сократить, ей надо воспользоваться. Исключение составляют дроби, которые ты складываешь или вычитаешь: если у них сейчас одинаковые знаменатели, то сокращение нужно оставить на потом.

    Вот тебе задачи для самостоятельного решения:

    И обещанная в самом начале:

    Решения (краткие):

    Если ты справился хотя бы с первыми тремя примерами, то тему ты, считай, освоил.

    Теперь вперед к обучению!

    ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ВЫРАЖЕНИЙ. КРАТКОЕ ИЗЛОЖЕНИЕ И ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ

    Базовые операции упрощения:

    • Приведение подобных : чтобы сложить (привести) подобные слагаемые, надо сложить их коэффициенты и приписать буквенную часть.
    • Разложение на множители: вынесение общего множителя за скобки, применение формул сокращенного умножения и т.д.
    • Сокращение дроби : числитель и знаменатель дроби можно умножать или делить на одно и то же ненулевое число, от чего величина дроби не изменяется.
      1) числитель и знаменатель разложить на множители
      2) если в числителе и знаменателе есть общие множители , их можно вычеркнуть.

      ВАЖНО: сокращать можно только множители!

    • Сложение и вычитание дробей:
      ;
    • Умножение и деление дробей:
      ;
    • P.S. ПОСЛЕДНИЙ БЕСЦЕННЫЙ СОВЕТ 🙂

      Ну вот, тема закончена. Если ты читаешь эти строки, значит ты очень крут.

      Потому что только 5% людей способны освоить что-то самостоятельно. И если ты дочитал до конца, значит ты попал в эти 5%!

      Теперь самое главное.

      Ты разобрался с теорией по этой теме. И, повторюсь, это… это просто супер! Ты уже лучше, чем абсолютное большинство твоих сверстников.

      Проблема в том, что этого может не хватить…

      Для успешной сдачи ЕГЭ, для поступления в институт на бюджет и, САМОЕ ГЛАВНОЕ, для жизни.

      Я не буду тебя ни в чем убеждать, просто скажу одну вещь…

      Люди, получившие хорошее образование, зарабатывают намного больше, чем те, кто его не получил. Это статистика.

      Но и это — не главное.

      Главное то, что они БОЛЕЕ СЧАСТЛИВЫ (есть такие исследования). Возможно потому, что перед ними открывается гораздо больше возможностей и жизнь становится ярче? Не знаю.

      Что нужно, чтобы быть наверняка лучше других на ЕГЭ и быть в конечном итоге… более счастливым?

      НАБИТЬ РУКУ, РЕШАЯ ЗАДАЧИ ПО ЭТОЙ ТЕМЕ.

      На экзамене у тебя не будут спрашивать теорию.

      Тебе нужно будет решать задачи на время.

      И, если ты не решал их (МНОГО!), ты обязательно где-нибудь глупо ошибешься или просто не успеешь.

      Это как в спорте — нужно много раз повторить, чтобы выиграть наверняка.

      Найди где хочешь сборник, обязательно с решениями, подробным разбором и решай, решай, решай!

      Я рекомендую использовать для этих целей наш учебник «YouClever» (который ты сейчас читаешь) и решебник и программу подготовки «100gia».

      И сейчас у меня есть специальное предложение, посвященное переезду учебника «YouClever» на новую платформу.

      Не пропусти это предложение, оно больше не повторится.

      СПЕЦИАЛЬНОЕ ПРЕДЛОЖЕНИЕ НА УЧЕБНИК «YOUCLEVER» И РЕШЕБНИК И ПРОГРАММУ ПОДГОТОВКИ «100GIA»

      Кликай по ссылке. Длительность акции — 1 неделя (до 8 ноября, 24 часов)

      И в заключение.

      Если наши задачи тебе не нравятся, найди другие. Только не останавливайся на теории.

      “Понял” и “Умею решать” — это совершенно разные навыки. Тебе нужны оба.

      Читайте так же:

      • Как научиться плести браслеты из резинок без станка Плетение из резинок — 2: простой браслет без станка, 5 вариантов Уроки (мастер классы) модного плетения из резинок для начинающих: как сплести самый простой браслет - цепочку из резинок […]
      • Как по математике научиться решать задачи 2 класса Как научить ребенка решать задачи? Ох уж эти задачи! Сколько мемов и шуток ходит в интернете, сколько фотографий перечеркнутых на первый взгляд правильных решений! Сколько родителей и […]
      • Как побороть страх познакомиться Как побороть страх и подойти к девушке Достаточно часто встречается, что даже самые смелые, уверенные в себе парни, которые, казалось бы, не боятся ничего, не могут подойти и познакомиться […]
      • Как научиться есть меньше но чаще Как правильно есть чтобы похудеть Похудеть, избавится от вздутия живота улучшить пищеварение возможно, если изменить свои привычки, научится правильно есть и заниматься спортом. У каждого […]
      • Как научиться искусству презентации Читать презентации или проводить презентации? Презентации Есть люди, читающие презентации. Это понятно. Таких много. В первом случае оратор читает текст. Зачем? Не знаю. Традиция такая. […]
      • Как научиться на автокаде 2010 Бесплатный самоучитель autocad Приветствую Вас на страницах полезного и познавательного самоучителя autocad. Итак, у Вас появилось желание или необходимость научиться работать в самой […]

    Leave a Reply

    Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *